第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
【课程标准】 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体等)的直观图.
教|材|回|顾
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相________且________ 多边形 互相________且________
侧棱 互相________且________ 相交于__________，但不一定相等 延长线交于________
侧面 形状 平行四边形 三角形 梯形
(2)旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
母线 互相平行且相等，________于底面 长度相等且相交于________ 延长线交于__________
轴截面 全等的________ 全等的____________ 全等的__________ 圆
侧面 展开图 ________ 扇形 扇环
[微点清] 球的截面的性质：①球的任何截面都是圆面；②球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面；③球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝.
2．立体图形的直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直；②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；③平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的________．
3．几何体的表面积与体积公式
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱 圆锥 圆台
侧面 展开图
侧面 积公式 S圆柱侧＝________ S圆锥侧＝________ S圆台侧＝________
(2)空间几何体的表面积与体积公式
表面积 体积
柱体 (棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h
锥体 (棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h
台体 (棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下 ＋)h
球 S＝4πR2 V＝πR3
微|点|延|伸
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等(祖暅原理)．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图．
小|题|快|练
1. (人A必二P106T8改编)如图，若长方体ABCDA′B′C′D′中截去体积较小的一部分，其中EH∥B′C′∥FG，则剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
2. 如图，Rt△O′B′A′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B．
C．2 D．4
3．正四棱台的上、下底面边长分别为1 cm,3 cm，侧棱长为 cm，则正四棱台的侧面积为( )
A．4 cm2 B．8 cm2
C．4 cm2 D．8 cm2
4. (人A必二P119T1改编)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为3 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是________cm2.
5. 如图，把一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
类型一 基本立体图形自练自悟
1.(多选题)下列说法正确的是( )
A．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
2．(多选题)对如图所示的组合体的结构特征有以下几种说法，其中正确的是( )
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成
3．如图，△A′O′B′是水平放置的△AOB的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知O′为坐标原点，顶点A′，B′均在坐标轴上，且△AOB的面积为12，则O′B′的长度为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4. 扇面是中国书画作品的一种重要表现形式．一幅扇面书法作品如图所示，经测量，上、下两条弧分别是半径为27,12的两个同心圆上的弧，侧边两条线段的延长线交于同心圆的圆心且圆心角为.若某几何体的侧面展开图恰好与图中扇面的形状、大小一致，则该几何体的高为( )
A．15 B． C．10 D．12
1．辨别空间几何体的两种方法
(1)定义法：紧扣定义进行判定．
(2)反例法：要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可．
2．在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段：平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
3．展开图问题要确定几何图形与其展开图哪些量发生变化，哪些量不发生变化.
类型二 空间几何体的表面积
【例1】 (1)《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为( )
A．25π B．26π
C．30π D．56π
(2) (2025·周口模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为( )
A．4＋4 B．4＋4
C．12 D．8＋4
求空间几何体表面积的技巧
(1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)组合体的表面积应注意重合部分的处理．
(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．
【训练】 (1)若正四棱柱ABCDA1B1C1D1与以正方形ABCD的外接圆为底面的圆柱的体积相同，则正四棱柱与该圆柱的侧面积之比为( )
A． B．
C．π D．2π
(2)已知正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，高为3，则其表面积为________.
类型三 空间几何体的体积
考向 ：直接法求体积
【例2】 (2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
规则几何体的体积，直接利用体积公式求解．
考向 ：换底法求体积
【例3】 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，则三棱锥ANMD1的体积为________．
一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决有关锥体的体积，特别是三棱锥的体积．
考向 ：割补法求体积
【例4】 (2024·天津高考) 一个五面体ABCDEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( )
A． B．＋
C． D．－
在求不规则几何体的体积时，可以把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体，然后再计算体积．
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.已知正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面的边长分别为6和12，且棱台的侧面与底面所成的二面角为60°，则此三棱台的体积为( )
A．27 B．45
C．63 D．81
2．(2025·云南昆明模拟)如图，在三棱锥SABC中，AS，AB，AC两两垂直，且AS＝AB＝AC＝2，点E，F分别是棱AS，BS的中点，点G是棱SC上靠近点C的三等分点，则空间几何体EFGABC的体积为( )
A． B． C．2 D．
1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台ABCA1B1C1的体积为 ，AB＝6，A1B1＝2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )
A． B．1
C．2 D．3
2．(2023·全国乙卷)已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，∠AOB＝，若△PAB的面积等于，则该圆锥的体积为( )
A．π B．π
C．3π D．3π
3．(2022·新课标Ⅰ卷)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109m3 B．1.2×109m3
C．1.4×109m3 D．1.6×109m3
4．(2024·全国甲卷)已知圆台甲、乙的上底面半径均为r1，下底面半径均为r2，圆台的母线长分别为2(r2－r1)，3(r2－r1)，则圆台甲与乙的体积之比为________．
5．(2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为________．
第一节 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)平行 全等 平行 相似 平行 相等 一点 一点
(2)垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形 矩形
2．(2)不变 一半
3．(1)2πrl πrl π(r＋r′)l
小题快练
1．C 2.C
3．B 解析 由题意，正四棱台的侧面是等腰梯形，且其上、下底面边长分别为1 cm,3 cm，腰长为 cm，所以斜高为h′＝＝1.所以侧面积为S＝(1＋3)×1×4＝8(cm2)．故选B.
4．18
5．1∶47 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出棱锥的体积为V1＝××a×b×c＝abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－abc＝abc，所以V1∶V2＝1∶47.
关键能力·落实
1．AD 解析 若底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直，则该四棱柱底面为正方形，且侧棱垂直于底面，所以该四棱柱为正四棱柱，故A正确；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．故选AD.
2．AB 解析 如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成，故选AB.
3．B 解析
解法一：如图，画出△AOB的原图，为直角三角形，且OA＝O′A′＝6，因为OB·OA＝12，所以OB＝4，所以O′B′＝OB＝2.故选B.
解法二：S直观图＝S原图形＝3，又S直观图＝O′A′·O′B′·sin∠A′O′B′，所以O′B′＝2.故选B.
4．C 解析 由题意得，该几何体是圆台．取一个圆锥，其侧面展开图是半径为27，圆心角为的扇形，设该圆锥的底面半径为r，则2πr＝×27，解得r＝9，所以该圆锥的高h1＝＝18.同理可得，侧面展开图是半径为12，圆心角为的扇形的圆锥的高h2＝8，所以所求几何体，即圆台的高h＝h1－h2＝18－8＝10.故选C.
【例1】 (1)D 解析 由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示，则圆亭的高h＝O1O2＝BE＝3，上底面半径r＝O2B＝1，下底面半径R＝O1A＝5，母线l＝AB＝＝5，所以圆台的表面积S＝π(r＋R)l＋πr2＋πR2＝56π.故选D.
(2)A 解析 连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4.故选A.
【训练】 (1)B 解析 依题意，设正四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面边长为a，高为h1，圆柱的高为h2，则圆柱的底面半径为a，则有a2h1＝π2h2，整理得＝，正四棱柱与圆柱的侧面积之比为＝.故选B.
(2)20＋12 解析 作出示意图如图所示，设正四棱台上、下底面的中心分别为O，O1，CD为正四棱台的斜高，过C作CE⊥O1D，交O1D于点E，由题意得O1O＝3，OC＝1，O1D＝2，所以CD＝＝，所以正四棱台的上、下底面的面积之和S1＝22＋42＝20，侧面积S2＝××4＝12，则其表面积S＝S1＋S2＝20＋12.
【例2】 B 解析 设圆柱和圆锥的底面半径均为r，因为它们的高均为，且侧面积相等，所以2πr×＝πr，得r2＝9，所以圆锥的体积V＝πr2×＝3π.故选B.
【例3】 解析 如图，因为正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为BB1，AB的中点，所以S△AMN＝×1×1＝，所以VA NMD1＝VD1 AMN＝××2＝.
【例4】 C 解析 因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝.故选C.
【题组对点练】
1．C 解析 由题意可知，正三棱台ABC A1B1C1的上底面面积为×6×6×＝9，下底面面积为×12×12×＝36.如图，设AB，A1B1的中点分别为D，D1，H，H1分别为下、上底面中心，连接DD1，CD，HH1，D1C1，过D1作D1E⊥底面ABC交CD于E，由正三棱台的性质可知DD1⊥AB，CD⊥AB，因为平面A1B1BA∩平面ABC＝AB，所以∠D1DC为棱台的侧面与底面所成的二面角的平面角，即∠D1DC＝60°.因为DH＝DC＝××12＝2，D1H1＝D1C1＝××6＝，所以DE＝DH－D1H1＝，D1E＝DE·tan 60°＝3.所以此三棱台的体积为×(9＋36＋)×3＝63.故选C.
2．D 解析 过点G作GH∥AC，交SA于点H，如图．因为AC⊥AB，AC⊥AS，AB∩AS＝A，AB，AS 平面SAB，所以AC⊥平面SAB，又GH∥AC，所以GH⊥平面SAB，且＝＝，GH＝AC＝.因为E，F分别为SA，BS的中点，所以S△SEF＝S△ABS＝××(2)2＝1，所以VG SEF＝S△SEF·GH＝×1×＝，VC SAB＝S△SAB·AC＝××(2)3＝，因此VEFG ABC＝VC SAB－VG SEF＝－＝.故选D.
高考真题·重温
1．B 解析 设正三棱台ABC A1B1C1的高为h，三条侧棱延长后交于一点P，作PO⊥平面ABC于点O，PO交平面A1B1C1于点O1，连接OA，O1A1，如图所示．由AB＝3A1B1，可得PO1＝h，PO＝h，又S△A1B1C1＝×22×＝，S△ABC＝×62×＝9，所以正三棱台ABC A1B1C1的体积V＝VP ABC－VP A1B1C1＝×9×h－××h＝，解得h＝，故PO＝h＝2.由正三棱台的性质可知，O为底面ABC的中心，则OA＝×＝2，因为PO⊥平面ABC，所以∠PAO是A1A与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中，tan∠PAO＝＝1.故选B.
2．B 解析 在△AOB中，∠AOB＝，而OA＝OB＝，取AB的中点C，连接OC，PC，则OC⊥AB，PC⊥AB，如图，∠ABO＝，OC＝，AB＝2BC＝3，由△PAB的面积为，得×3×PC＝，解得PC＝，于是PO＝＝＝，所以圆锥的体积V＝π×OA2×PO＝π×()2×＝π.故选B.
3．C 解析 由棱台的体积公式，得增加的水量约为×(157.5－148.5)×(140×106＋180×106＋)＝3×106×(140＋180＋60)≈3×106×(140＋180＋60×2.65)≈1.4×109(m3)．故选C.
4.∶4 解析 两圆台的上、下底面积对应相等，则两圆台的体积之比为高之比，根据母线与半径的关系可得甲与乙的体积之比为＝＝.
5. 解析 正四棱台ABCD A1B1C1D1如图所示．设其上、下底面中心分别为O1，O，连接O1O，O1A1，OA，由正四棱台的定义可知O1O⊥平面ABCD，O1O⊥平面A1B1C1D1，四边形ABCD，A1B1C1D1均为正方形．因为AB＝2，A1B1＝1，所以AO＝，A1O1＝，易知AO∥A1O1，又因为AA1＝，所以在直角梯形A1O1OA中，O1O＝＝，所以V正四棱台ABCD A1B1C1D1＝×(1＋4＋)×＝.(共53张PPT)
第一节
第七章 立体几何与空间向量
基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
基本立体图形 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
空间几何体的表面积
解析
解析
解析
解析
类型三
空间几何体的体积
解析
解析
解析
解析
解析
解析
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
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轻州
也連花之君
厘头留W领
网学4太的州
世粱外
建者巴牡分鉴之富貴古
无古巴意前之慶國法解
世至增W嫩
可遠而不可亵說焉子
秋“州
每亭回学尼骨
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C微练(五十四) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
基础过关
一、单项选择题
1．下列命题正确的是( )
A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台
B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形
D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台
2．三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为( )
A．18 B．21
C．24 D．27
3．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是( )
A．面积为6的矩形
B．面积为的矩形
C．面积为6的菱形
D．面积为的菱形
4. 如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA1＝4，一小虫从点A途经三个侧面爬到点A1，则小虫爬行的最短距离为( )
A．4 B．5
C． D．
5．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥AB1CD1的体积为( )
A． B．
C．4 D．6
6．(2025·贵阳适应性考试)如图是一个圆台的侧面展开图，已知BA＝12，BD＝6且∠ABC＝120°，则该圆台的体积为( )
A．112π B．π
C．π D．π
7．(2025·温州统一测试)中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如图，其中O1O3＝20 cm，O1O2＝2 cm，AB＝16 cm，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是(参考数据：π≈3，铜的密度为8.96 g/cm3)( )
A．1 kg B．2 kg
C．3 kg D．0.5 kg
8．已知直三棱柱ABCA1B1C1外接球的直径为6，且AB⊥BC，BC＝2，则该棱柱体积的最大值为( )
A．8 B．12
C．16 D．24
二、多项选择题
9．如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则( )
A．三棱锥的直度的最大值为1
B．直度为的三棱锥只有一种
C．四棱锥的直度的最大值为1
D．四棱锥的直度的最大值为
10．(2025·长沙模拟)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，则( )
A．该圆台的高为1 cm
B．该圆台轴截面面积为3 cm2
C．该圆台的体积为 cm3
D．一只小虫从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为5 cm
三、填空题
11．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________．
12．(2024·九省联考)已知轴截面为正三角形的圆锥MM′的高与球O的直径相等，则圆锥MM′的体积与球O的体积的比值是________，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值是________．
13．(2024·北京高考)汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65 mm，325 mm，325 mm，且斛量器的高为230 mm，则斗量器的高为________ mm，升量器的高为________ mm.(不计量器的厚度)．
素养提升
14．(多选题)如图所示，长方体ABCDEFGH的表面积为6，AE＝1，则( )
A．该长方体不可能为正方体
B．该长方体体积的最大值为1
C．若长方体下底面的一条边长为2，则三棱锥HAFC的体积为
D．该长方体外接球表面积的最小值为3π
15．如图，正四面体ABCD的体积为，E，F分别是棱DA，DB上靠近点D的三等分点，G是棱BC上靠近点B的三等分点，H是棱AC上靠近点A的三等分点，则多面体ABFEHG的体积为________．
微练(五十四) 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．C 解析 只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，当平面不平行于圆锥底面时，得到的几何体并非圆锥和圆台，所以A错误；棱柱的侧棱都相等且平行，且侧面是平行四边形，但其底面多边形各边不一定相等，则侧面并不一定全等，所以B错误；圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形，所以C正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以D错误．故选C.
2．B 解析 三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分．故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为3×7＝21.故选B.
3．C 解析 因为∠D′O′A′＝45°，O′C′＝C′D′＝1，所以O′D′＝，故在原图中，OD＝2，CD＝C′D′＝1，OC＝＝＝3，所以四边形OABC为菱形(如图所示)，OA＝3，则原图形面积为S＝OA×OD＝6.故选C.
4．C 解析 三棱柱的侧面展开图为一个矩形AA′A′1A1，如图所示，因为正三角形ABC的边长为3，侧棱AA1＝4，所以AA′＝9，所以A′A1＝＝＝，即小虫爬行的最短距离为.故选C.
5．B 解析 解法一：如图，三棱锥AB1CD1是由正方体ABCDA1B1C1D1截去四个小三棱锥AA1B1D1，CB1C1D1，B1ABC，D1ACD得到的，又VABCDA1B1C1D1＝23＝8，VAA1B1D1＝VCB1C1D1＝VB1ABC＝VD1ACD＝××23＝，所以VAB1CD1＝8－4×＝.故选B.
解法二：如图，图可知，三棱锥AB1CD1是棱长为2的正四面体D1AB1C，设D1在底面的射影为O，可得AO＝＝.因为D1O＝＝.所以三棱锥AB1CD1的体积为V＝××2×2××＝.故选B.
6．D 解析 由题意知，BD＝6，AB＝12，∠ABC＝120°，所以圆台上、下底面的周长分别为2π×6×＝4π，2π×12×＝8π.记圆台上、下底面的半径分别为r1，r2，则2πr1＝4π，2πr2＝8π，所以r1＝2，r2＝4，所以圆台上底面面积S＝πr＝4π，下底面面积S′＝πr＝16π.圆台的轴截面如图所示，为等腰梯形，AD＝6，过点D作DG⊥AM，垂足为G，则DG为圆台的高，AG＝2，所以DG＝＝4，所以圆台的体积V＝(S＋S′＋)·DG＝，故选D.
7．A 解析 由题意可知该惊鸟铃的体积为×π×82×20－×π×82×(20－2)≈128(cm3)，所以该惊鸟铃的质量约为128×8.96＝1 146.88(g)≈1(kg)．故选A.
8．C 解析 设AB＝a，AA1＝h.因为三棱柱为直三棱柱且AB⊥BC，所以可将其补形为一个长方体，如图，则该长方体的外接球即三棱柱ABCA1B1C1的外接球，所以外接球的直径为＝6，所以a2＋h2＝32.该三棱柱的体积V＝S△ABC·h＝·2a·h＝ah≤＝16，当且仅当a＝h时等号成立，故选C.
9．AD 解析 如图，借助于正方体模型，图①中三棱锥DABC的四个面都是直角三角形，其直度为1，A正确；图①中三棱锥EBCD，三个面CED，CBD，BCE都是直角三角形，面BDE为正三角形，其直度为.图②中三棱锥DABC，三个面ABD，CBD，ABC都是直角三角形，面ACD为正三角形，其直度为，故直度为的三棱锥不止一种，B错误；四棱锥共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；图③中的四棱锥PABCD的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，故四棱锥的直度的最大值为，D正确．故选AD.
10．BCD 解析 对于A，如图①，过点B作BE⊥CD于点E，则CE＝＝1，所以BE＝＝＝，即圆台的高为 cm，故A不正确．对于B，圆台的轴截面面积为×(2＋4)×＝3(cm2)，故B正确．对于C，圆台的体积为××(π＋4π＋)＝(cm3)，故C正确．
①
对于D，将该圆台侧面的一半展开，得到如图②所示的扇环ADCB，再将其补成扇形PDC，则弧CD长为2π，半径PC长为4，所以圆心角∠CPD＝，取AD的中点为M，连接CM，则从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点M的最短路径即扇环中线段CM的长，CM＝＝＝5(cm)，故D正确．综上所述，选BCD.
②
11．28 解析 由于＝，而截去的正四棱锥的高为3，所以原正四棱锥的高为6，所以正四棱锥的体积为×(4×4)×6＝32，截去的正四棱锥的体积为×(2×2)×3＝4，所以棱台的体积为32－4＝28.
12. 1 解析 设正三角形的边长为2r，则正三角形的高为r，此时圆锥MM′的底面半径为r，母线长l＝2r，高为r，故圆锥MM′的体积V1＝×πr2×r＝πr3，圆锥MM′的表面积S1＝πr2＋πrl＝3πr2.因为正三角形的高与球O的直径相等，所以球O的半径R＝r，故球O的体积V2＝πR3＝πr3，球O的表面积S2＝4πR2＝3πr2.因此，圆锥MM′的体积与球O的体积的比值为＝＝，圆锥MM′的表面积与球O的表面积的比值为＝1.
13．23 57.5 解析 设升、斗量器的高分别为h1 mm，h2 mm，升、斗、斛量器的容积分别为V1 mm3，V2 mm3，V3 mm3，因为升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，所以V3＝10V2，即π×2×230＝10×π×2×h2，解得h2＝23.又V2＝10V1，即π×2×23＝10×π×2×h1，所以h1＝57.5，所以升、斗量器的高分别为57.5 mm,23 mm.
14．BD 解析 对于A，当长方体的所有棱长都为1时，表面积为6，长方体为正方体，错误．对于B，设AD＝a，AB＝b，则2(ab＋a＋b)＝6，ab＋a＋b＝3，V长方体＝ab·1＝ab＝3－(a＋b)≤3－2，解得0
15. 解析 连接BE，EG，CE，DG，DH，因为S△BFG＝×S△BCD，所以VEBFG＝×VEBCD＝××VABCD＝.因为S△CHG＝×S△ABC，所以VEABGH＝VDABGH＝×VDABC＝，所以多面体ABFEHG的体积为VEBFG＋VEABGH＝.(共31张PPT)
基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
微练(五十四)
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