第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
【课程标准】 1.理解空间点、直线、平面的位置关系的定义，并了解平面的基本性质；2.能利用平面的基本性质及空间直线、平面的位置关系证明一些空间位置关系的简单命题.
教|材|回|顾
1．平面的基本性质
(1)基本事实1：____________________，有且只有一个平面．
(2)基本事实2：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
(3)基本事实3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下列推论．
①推论1：经过______________，有且只有一个平面．
②推论2：经过______________，有且只有一个平面．
③推论3：经过______________，有且只有一个平面．
[微点清] 三点不一定能确定一个平面．当三点共线时，过这三点的平面有无数个，所以必须是不在一条直线上的三点才能确定一个平面．
2．空间两直线的位置关系
(1)空间两条直线的位置关系
[微点清] 不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线为异面直线．
(2)异面直线所成的角
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
(1)直线与平面的位置关系有__________________三种情况．
(2)平面与平面的位置关系有__________两种情况．
[微点清] 直线l和平面α相交、直线l和平面α平行统称为直线l在平面α外，记作l α.
微|点|延|伸
1．证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2．判断异面直线的一种方法
平面外一点A和平面内一点B的连线与平面内不经过点B的直线是异面直线．
小|题|快|练
1．下列命题中正确的是( )
A．过三点确定一个平面
B．四边形是平面图形
C．三条两两相交的直线确定一个平面
D．两个相交平面把空间分成四个区域
2．若直线a不平行于平面α，且a α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内存在唯一的直线与a平行
D．α内的直线与a都相交
3．如果直线a 平面α，直线b 平面β，且α∥β，则a与b( )
A．共面
B．平行
C．是异面直线
D．可能平行，也可能是异面直线
4. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
5．已知直线a，b和平面α，若a∥b，且直线b在平面α内，则直线a与平面α的位置关系是________.
类型一 平面的基本性质及应用
【例1】 已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；
(3)DE，BF，CC1三线交于一点．
1．证明点(或线)共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．
2．证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．
3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．
【训练1】 (1) 如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C l，则平面ABC与平面β的交线是( )
A．直线AC B．直线AB
C．直线CD D．直线BC
(2)(多选题)给出以下说法，其中正确的是( )
A．不共面的四点中，其中任意三点不共线
B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D．过直线外一点和直线上三点的三条直线共面
类型二 空间中两条直线的位置关系
【例2】 (1)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是的中点，F是AB的中点，则( )
A．AE＝CF，AC与EF是共面直线
B．AE≠CF，AC与EF是共面直线
C．AE＝CF，AC与EF是异面直线
D．AE≠CF，AC与EF是异面直线
(2)正四面体PABC中，点M是BC的中点，则异面直线PM与AB所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断；二是排除法．特别地，对于异面直线的判定常用到结论：“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．”
【训练2】 (1)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
(2)(2025·衡水检测)如图，在圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝3，SE＝SB，则异面直线SC与OE所成角的正切值为( )
A． B． C． D．
类型三 空间中直线、平面的位置关系
【例3】 (1)已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是( )
A．α∩β＝a，b α a∥b
B．α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β
C．a∥β，b∥β，a α，b α α∥β
D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
(2)(多选题)用一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是( )
A．这两部分的表面积一定不相等
B．截面不会是三角形
C．截面不会是五边形
D．截面可以是正六边形
空间中点、线、面位置关系的判定方法
1．应用平面的基本性质及有关定理进行判断．
2．采用穷举法判断，即对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观作用．
3．对关于空间直线与平面的平行或垂直等位置关系的命题的真假判断，常采用构图法(尤其是长方体)、实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等．
4．应用线、面平行和垂直的判定定理和性质定理进行判断，注意使用的前提条件．
【训练3】 (1)已知a，b是两条直线，α，β是两个平面，则下列说法中正确的为( )
A．若a平行于α内的无数条直线，则a∥α
B．若α∥β，a α，b β，则a与b是异面直线
C．若α∥β，a α，则a∥β
D．若α∩β＝b，a α，则a与β一定相交
(2)如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．
第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)过不在一条直线上的三个点 (2)两个点 (3)一个 ①一条直线和这条直线外一点 ②两条相交直线 ③两条平行直线
2．(1)相交直线 平行直线 不同在任何一个平面内，没有公共点
3．(1)相交、平行、直线在平面内 (2)平行、相交
小题快练
1．D 解析 对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．故选D.
2．B 解析 若直线a不平行于平面α，且a α，则线面相交．A不正确，α内存在直线与a相交；B正确，C不正确，因为α内的直线与直线a的位置关系是相交或者异面，不可能平行；D不正确，α内只有过直线a与平面的交点的直线与a相交．故选B.
3．D 解析 α∥β，说明a与b无公共点，所以a与b可能平行也可能是异面直线．故选D.
4．C 解析 与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条，故选C.
5．a∥α或a α 解析 当a α时，由a∥b，b α，得a∥α；当a α时，满足题中条件．综上，直线a与平面α的位置关系是a∥α或a α.
关键能力·落实
【例1】 证明 (1)如图所示，连接B1D1.因为EF是△C1D1B1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体ABCDA1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
(3)因为EF∥BD且EF【训练1】 (1)C 解析 由题意知，D∈l，l β，所以D∈β.又D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上，又C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩β＝CD.故选C.
(2)AD 解析 在A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；在B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，且点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，但点A，B，C，D，E不共面，B不正确；显然选项C不正确，选项D正确．故选AD.
【例2】 (1)D 解析 如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是的中点，连接BE，则BE＝，因为F是AB的中点，又AB＝2，则BF＝1，AE＝＝＝，CF＝＝＝，所以AE≠CF，在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，连接OF，则OF∥AC，所以AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则E在平面ACOF内，显然不成立，故AC与EF是异面直线．故选D.
(2)B 解析 如图，设正四面体的棱长为2，取AC的中点N，连接PN，MN，则PN＝PM＝，MN∥AB，且MN＝1，∠PMN即PM与AB所成的角．因为△PMN为等腰三角形，所以取MN的中点O，连接PO，则PO⊥MN，cos∠PMN＝＝＝.故选B.
【训练2】 (1)B 解析 因为N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，连接BD，所以BM 平面BDE，EN 平面BDE，又BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线，所以BM，EN是相交直线，设DE＝a，则BD＝a，BE＝＝a，所以BM＝a，EN＝＝a，所以BM≠EN.故选B.
(2)D 解析 如图，过点S作SF∥OE，交AB于点F，连接CF，则∠CSF(或其补角)为异面直线SC与OE所成的角．因为SE＝SB，所以SE＝BE.又OB＝3，所以OF＝OB＝1.因为SO⊥OC，SO＝OC＝3，所以SC＝3.因为SO⊥OF，所以SF＝＝.因为OC⊥OF，所以CF＝.所以在等腰△SCF中，tan∠CSF＝＝.故选D.
【例3】 (1)D 解析 选项A中，α∩β＝a，b α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或平面β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a α，b α，根据面面平行的判定定理，再加上条件直线a与直线b相交，才能得出α∥β，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言．故选D.
(2)BCD 解析 如图，一个平面α截正方体，把正方体分为体积相等的两部分，则平面α一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形(如图)．故选BCD.
【训练3】 (1)C 解析 A中忽略了a在平面α内这一情况，故A错误；B中直线a与b没有交点，所以直线a与b可能异面也可能平行，故B错误；C中直线a与平面β没有公共点，所以a∥β，故C正确；D中直线a与平面β可能相交也可能平行，故D错误．故选C.
(2)4 解析 因为AB∥CD，由题图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个平面相交．(共40张PPT)
第二节
第七章 立体几何与空间向量
空间点、直线、平面之间的位置关系
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
平面的基本性质及应用
证明
证明
证明
解析
解析
类型二
空间中两条直线的位置关系
解析
解析
解析
解析
类型三
空间中直线、平面的位置关系
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
Ay
Ci
B
A
C
B
D
1
E
C
B
i
I
I
I
●
R
C
A
B
a
B
D
B
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D
B
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B
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I
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1
A
C
D
a
B微练(五十六) 空间点、直线、平面之间的位置关系
基础过关
一、单项选择题
1．若直线上有两个点在平面外，则( )
A．直线上至少有一个点在平面内
B．直线上有无穷多个点在平面内
C．直线上所有点都在平面外
D．直线上至多有一个点在平面内
2．在三棱锥ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG＝P，那么点P( )
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
3．(2025·山东日照一模)已知l，m是两条不同的直线，α为平面，m α，下列说法中正确的是( )
A．若l∩α＝A，且l与α不垂直，则l与m一定不垂直
B．若l与α不平行，则l与m互为异面直线
C．若l∩α＝A，且A m，则l与m可能平行
D．若l∥α，则l与m可能垂直
4. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是( )
A．DD1 B．AC
C．AD1 D．B1C
5．(2025·广东模拟)已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a α，b β，c γ，则直线a，b，c不可能是以下哪种关系( )
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
6．如图所示是某个正方体的表面展开图，l1，l2是两条面对角线，则在正方体中，有下面关于l1与l2的四个选项，其中正确的是( )
A．互相平行
B．异面垂直
C．异面且夹角为
D．相交且夹角为
二、多项选择题
7．下列命题中不正确的是( )
A．空间四点共面，则其中必有三点共线
B．空间四点不共面，则其中任意三点不共线
C．空间四点中有三点共线，则此四点不共面
D．空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面
8. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则下列说法正确的有( )
A．直线AM与CC1是相交直线
B．直线AM与BN是平行直线
C．直线BN与MB1是异面直线
D．直线A1M与BN是相交直线
9．在正方体ABCDA′B′C′D′中，E，F，G分别为棱BB′，DD′，CC′上的一点，且＝＝＝λ，H是B′C′的中点，I是棱C′D′上的动点，则( )
A．当λ＝时，G∈平面AEF
B．当λ＝时，AC′ 平面AEF
C．当0<λ<1时，存在点I，使A，F，H，I四点共面
D．当0<λ<1时，存在点I，使FI，EH，CC′三条直线交于同一点
三、填空题
10．圆心和圆上任意两点可确定的平面有________．
11．已知a，b，c是不同直线，α是平面，若a∥b，b∩c＝A，则直线a与直线c的位置关系是________；若a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是________．
12. 如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面的中点，C1是圆柱上底面的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．
四、解答题
13．(2025·安徽联考)如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l的位置，并说明作图依据；
(2)正方体被平面DMN截成两部分，求较小部分几何体的体积．
14.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
素养提升
15. 我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABCA1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，M，N分别是BB1和A1C1的中点，则平面AMN截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形的面积为( )
A． B． C． D．
16．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，边长为4，E为AB的中点，PE⊥平面ABCD．
(1)若△PAB为等边三角形，求四棱锥PABCD的体积；
(2)若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的正切值．
微练(五十六) 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．D 解析 根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内．故选D.
2．B 解析 由题意知EF 平面ABC，GH 平面ADC.因为EF∩HG＝P，所以P∈平面ADC，P∈平面ABC.又因为平面ABC∩平面ADC＝AC，所以点P一定在直线AC上．因为B∈平面ABC，D∈平面ADC，又BD不在平面ABC和平面ADC内，所以P BD.故选B.
3．D 解析 对于A，在平面α内，存在无数条直线与l垂直，故l与m可能垂直，故A错误；对于B，当l α时，l与m共面，故B错误；对于C，若l∩α＝A，且A m，则l与m互为异面直线，故C错误；对于D，若l∥α，则在α内存在无数条直线与l垂直，故l与m可能垂直，故D正确．选D.
4．B 解析 对于A，如图①，当点P为A1C1的中点时，连接B1D1，BD，则P在B1D1上，BP 平面BDD1B1，又DD1 平面BDD1B1，所以BP与DD1共面，故A不正确；对于B，如图②，连接AC，易知AC 平面ACC1A1，BP 平面ACC1A1，且BP∩平面ACC1A1＝P，P不在AC上，所以BP与AC为异面直线，故B正确；当点P与点C1重合时，由正方体的性质，易知BP∥AD1，BP与B1C相交，故C，D不正确．故选B.
5．B 解析 如图①，可得a，b，c可能两两垂直；如图②，可得a，b，c可能两两相交；如图③，可得a，b，c可能两两异面．故选B.
6．D 解析 将展开图还原成正方体，如图所示，则B，C两点重合，故l1与l2相交，连接AD，则△ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D.
7．ACD 解析 对于平面四边形来说不成立，故A不正确；空间四点不共面，则其中任意三点不共线，否则由直线与直线外一点确定一个平面，这空间四点共面，故B正确；由B的分析可知C不正确；平面四边形的四个顶点中任意三点不共线，但四点共面，故D不正确．故选ACD.
8．CD 解析 对于A，因为M∈平面C1D1DC，A1 平面C1D1DC，CC1 平面C1D1DC，且M CC1，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；对于B，如图，连接AD1，BC1，因为A，B，M∈平面AD1C1B，N 平面AD1C1B，且直线BN不过M点，所以直线AM与BN是异面直线，故B错误；对于C，如图，连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，因为A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1D1CB是平行四边形，A1B∥D1C，所以MN∥A1B，A1，B，N，M四点共面，又BN 平面A1BNM，M∈平面A1BNM，B1 平面A1BNM，M BN，所以直线BN与MB1是异面直线，故C正确；对于D，由C选项可知，MN∥A1B，MN＝D1C＝A1B，所以直线A1M与BN是相交直线，故D正确．故选CD.
9．BCD 解析 对于A，当λ＝时，如图①，在CC′上取点M，使MC′＝CC′，取CD的中点N，连接MD，GN，易知GN∥MD∥EA，GN 平面AEF，故G 平面AEF，所以选项A错误．对于B，如图②，当λ＝时，E，F，G分别为BB′，DD′，CC′的中点，连接BG，EC′，GF，易知四边形BGC′E与ABGF均为平行四边形，则BG∥AF，BG∥EC′，所以AF∥EC′，则A，F，E，C′四点共面，则AC′ 平面AEF，所以选项B正确．对于C，如图③，延长AF与A′D′的延长线交于点M，连接MH交C′D′于点I，此时A，F，H，I四点共面，所以选项C正确．对于D，如图④，连接EH并延长与CC′的延长线交于点N，连接FN交C′D′于点I，此时FI，EH，CC′三条直线交于同一点N，所以选项D正确．故选BCD.
10．1个或无数个 解析 若圆心和圆上的两点共线，则可确定无数个平面；若圆心和圆上的两点不共线，则可确定1个平面．
11．相交或异面 a∥α或a α 解析 a，b，c是不同直线，α是平面，因为a∥b，b∩c＝A，所以直线a与直线c的位置关系是相交或异面．因为a⊥b，b⊥α，则直线a与平面α的位置关系是a∥α或a α.
12. 解析
取圆柱下底面的另一中点D，连接C1D，AD，因为AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为.所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.
13．解 (1)如图，直线NE即为直线l的位置．依据如下：延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE.因为N，E∈平面DMN，所以NE 平面DMN.因为N，E∈平面A1B1C1D1，所以NE 平面A1B1C1D1.所以平面DMN∩平面A1B1C1D1＝EN，则直线NE即为直线l的位置．
(2)如图，设直线l与A1B1交于点P，连接MP，则P为A1B1四等分点，正方体被平面DMN截成两部分，较小部分为三棱台A1PMD1ND，其体积为V＝(S△A1PM＋S△D1ND＋)·A1D1＝a·＝a3.
14．解 (1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D四点在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾．故直线EF与BD是异面直线．
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角，即异面直线EF与BD所成的角(或其补角)．又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.
15．A 解析 延长AN，与CC1的延长线交于点P，则P∈平面BB1C1C，连接PM，与B1C1交于点E，连接NE，得到的四边形AMEN是平面AMN截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形，由题意解三角形可得NE＝ME＝，AM＝AN＝，MN＝，所以△AMN中MN边上的高h1＝＝，△EMN中MN边上的高h2＝＝.所以AMN截“堑堵”ABCA1B1C1所得截面图形的面积S＝S△AMN＋S△EMN＝MN·(h1＋h2)＝××＝.故选A.
16．解 (1)因为正方形ABCD的边长为4，且△PAB为等边三角形，E为AB的中点，所以PE＝PB·sin∠PBE＝AB·sin 60°＝2，又PE⊥平面ABCD，所以四棱锥PABCD的体积VPABCD＝×42×2＝.
(2) 如图，连接EF，因为AD∥BC，所以∠PCB即PC与AD所成的角．因为PE⊥平面ABCD，EF，BC 平面ABCD，所以PE⊥EF，PE⊥BC，又PF与平面ABCD所成角为45°，即∠PFE＝45°，所以PE＝EF·tan∠PFE＝4，所以PB＝＝＝2.又BC⊥AB，PE∩AB＝E，PE，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB 平面PAB，所以BC⊥PB，所以tan∠PCB＝＝，所以PC与AD所成角的正切值为.(共35张PPT)
空间点、直线、平面之间的位置关系
微练(五十六)
基础过关
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