微专题强化八 球的切、接问题
类型一 外接球
考向 ：定义法
【例1】 (2022·新课标Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．100π B．128π
C．144π D．192π
到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可．
【训练1】 已知四面体ABCD的各顶点都在同一球面上，若AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝2，平面ABD⊥平面BCD，则该球的表面积是( )
A．100π B．40π
C．20π D．16π
考向 ：补形法
【例2】 (2023·全国乙卷)已知点S，A，B，C均在半径为2的球面上，△ABC是边长为3的等边三角形，SA⊥平面ABC，则SA＝________.
这种类型补成长方体、正方体或直棱柱，利用这些特殊的几何体求外接球的半径．
【训练2】 已知三棱锥PABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3，PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________．
考向 ：截面法
【例3】 (2025·福建适应性考试)已知圆台O1O2的高为6，AB，CD分别为上、下底面的一条直径，且AB＝4，CD＝8，则圆台O1O2的体积为________；若A，B，C，D四点不共面，且它们都在同一个球面上，则该球的表面积为________．
与球截面有关的解题策略
(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径．
(2)作截面：选准最佳角度作出截面，实现空间问题平面化的目的．
【训练3】 已知正六棱锥的侧棱长为2，其各顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，则该正六棱锥的体积为________．
类型二 内切球
【例4】 (1)(2025·天津模拟)一个球与一个正三棱柱(底面为等边三角形，侧棱与底面垂直)的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为48，则球的表面积为( )
A．16π B．4π
C．8π D．32π
(2)已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，则该棱锥的内切球的半径为________．
1．正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心．
2．求多面体内切球半径，往往可用“等体积法”，V多＝S表·R内切·.
3．正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的.
4．并非所有多面体都有内切球(或外接球)．
【训练4】 如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为( )
A．π B． C． D．π
微专题强化八 球的切、接问题
【例1】 A 解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4.设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O1，O2，连接O1O2(图略)，则O1O2＝1，其外接球的球心O在直线O1O2上．设球O的半径为R，当球心O在线段O1O2上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；当球心O不在线段O1O2上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO2)2，解得OO2＝3，所以R2＝25，所以该球的表面积为4πR2＝100π.故选A.
【训练1】 C 解析 如图所示，取BD的中点为M，连接AM，CM，因为△ABD与△BCD均为正三角形，所以AM⊥BD，CM⊥BD，又因为平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，AM 平面ABD，CM 平面BCD，所以AM⊥平面BCD，CM⊥平面ABD.分别取△BCD与△ABD的中心为O1，O2，分别过点O1，O2作O1O∥AM，O2O∥CM，且O1O∩O2O＝O，所以O1O⊥平面BCD，OO2⊥平面ABD，则点O为四面体ABCD的外接球球心．因为△ABD与△BCD的边长均为2，所以AM＝CM＝3，O2M＝O1M＝1，O1C＝2，且O1O＝O2M＝1，连接OC，则外接球的半径R＝OC＝＝＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝20π，故选C.
【例2】 2 解析 如图，将三棱锥S ABC转化为直三棱柱SMN ABC，设△ABC的外接圆圆心为O1，半径为r，则2r＝＝＝2，可得r＝，设三棱锥S ABC的外接球球心为O，连接OA，OO1，则OA＝2，OO1＝SA，因为OA2＝OO＋O1A2，即4＝SA2＋3，解得SA＝2.
【训练2】 34π 解析 根据题意，三棱锥P ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以该三棱锥的外接球的半径R＝＝＝，所以该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝34π.
【例3】 56π 80π 解析 圆台上底面面积S′＝π·22＝4π，下底面面积S＝π·42＝16π，所以圆台的体积V＝(S′＋S＋)h＝(4π＋16π＋)×6＝56π.连接O1O2，因为O1，O2分别为AB，CD的中点，且AB，CD都与O1O2垂直，所以A，B，C，D四点共面或者不共面，它们都在圆台的外接球面上．记外接球球心为O，半径为R.若A，B，C，D四点共面，且外接球球心在AB，CD的同侧，如图①，连接OO2，OA，OC，根据勾股定理得22＋(6＋OO2)2＝R2＝42＋OO，解得OO2＝－2(舍)；若A，B，C，D四点共面，且外接球球心在AB，CD的异侧，如图②，连接OA，OC，根据勾股定理得22＋OO＝R2＝42＋(6－OO1)2，解得OO1＝4，R2＝22＋42＝20，所以该球的表面积S＝4πR2＝80π.
【训练3】 解析
如图，记该正六棱锥的顶点为A，底面正六边形的中心为O1，连接O1A.记该球的球心为O，由题意得该球的球心在直线O1A上，连接OB，O1B.记该球的半径为R，则4πR2＝16π，得R＝2.设正六棱锥的高为h，底面边长为a，则在Rt△OO1B中，有(h－R)2＋a2＝R2，即(h－2)2＋a2＝4，所以h2－4h＋a2＝0.又h2＋a2＝(2)2＝12，所以h＝3，a＝，则正六棱锥的体积V＝×6×××××3＝.
【例4】 (1)A 解析 由题意，设正三棱柱的底面边长为a，则其内切球的半径r＝×a＝a，所以正三棱柱的高h＝2r＝a.棱柱的体积V＝a2·h＝a2·a＝＝48，得a＝4，所以球的表面积S＝4πr2＝4π·2＝a2＝16π.故选A.
(2)－1 解析 解法一(等体积法)：如图，在正三棱锥P ABC中，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长，交BC于点E，连接PE，易知D为△ABC的中心．因为AB＝2，PD＝1，易求得S△ABC＝3，DE＝1，PE＝，所以S△PBC＝×2×＝，所以三棱锥的体积V＝×3×1＝.设内切球半径为R，球心为O，易知O在PD上，连接OA，OB，OC，则V＝VO ABC＋VO PBC＋VO PAC＋VO PAB＝S△ABC·R＋3×S△PBC·R＝(＋)R＝，可得R＝－1.
解法二(直接法)：如图，在正三棱锥P ABC中，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长，交BC于点E，连接PE，易知D为△ABC的中心．由题知三棱锥P ABC的内切球球心O在PD上．设球与面PBC的切点为H，连接OH，设OD＝OH＝R，所以PO＝1－R.易得DE＝1，PE＝.因为＝，即＝，所以R＝－1.
【训练4】 C 解析 平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，如图．因为正方体的棱长为1，所以AC＝CD1＝AD1＝，所以内切圆的半径r＝，所以S＝πr2＝π×＝.故选C.(共25张PPT)
球的切、接问题
微专题强化八
类型一
外接球
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
内切球
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
A
1
1
1
M
0
1
C
B
S
N
M
1
A
-、
C
B
P
B
1
1
1
1
1
1
1
I
I
1
I
C
1
I
十
1
1
C
1
A
B
0
C
1
D
0
2
①
A
B
01
C
D
2
2
A
I
I
B
P
A
C
D
E
B
P
A
C
D
E
B
D
1
C
1
一
C
A
B
D
E
r
30°
0
A
C微练(五十五) 球的切、接问题
基础过关
一、单项选择题
1．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A．12π B．π
C．8π D．4π
2．一个圆柱的内切球的表面积为36π，则这个圆柱的表面积为( )
A．45π B．27π
C．54π D．36π
3．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E，F分别是BC，AD的中点，将四边形ABEF沿EF折起，使得二面角A1EFD的大小为90°，如图②，则三棱锥A1CDE的外接球的表面积为( )
A．33π B．34π
C．35π D．36π
4．在四面体ABCD中，若AB＝CD＝，AC＝BD＝2，AD＝BC＝，则四面体ABCD的外接球的表面积为( )
A．2π B．4π
C．6π D．8π
5．(2025·福建莆田模拟)柏拉图多面体是指每个面都是全等正多边形的正多面体，具有严格对称、结构等价的特点．六氟化硫具有良好的绝缘性和广泛的应用性．将六氟化硫分子中的氟原子按图①所示方式连接可得正八面体(如图②)．若正八面体外接球的体积为，则此正八面体的表面积为( )
A． B．
C．2 D．4
6．(2024·湖南邵阳二模)已知三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝60°，PA＝AC＝2，则此三棱锥外接球的表面积为( )
A． B．
C．10π D．5π
二、填空题
7．已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的表面积为12π，则该三棱柱的体积为________．
8．半球内有一个内接正方体，若正方体的棱长为，则这个半球的体积为________．
9．已知一个圆台的上、下底面半径分别为1和3，高为2.若圆台内有一个球，则该球体积的最大值为________．(球的厚度可忽略不计)
10．(2025·大连一模)在边长为4的正方形ABCD中，如图①所示，E，F，M分别为BC，CD，BE的中点，分别沿AE，AF及EF所在直线把△AEB，△AFD和△EFC折起，使B，C，D三点重合于点P，得到三棱锥PAEF，如图②所示，则三棱锥PAEF外接球的表面积是________；过点M的平面截三棱锥PAEF外接球所得截面的面积的取值范围是________．
微练(五十五) 球的切、接问题
1．A 解析 设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝2，即R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.故选A.
2．C 解析 设圆柱的内切球的半径为r，则4πr2＝36π，可得r＝3，所以该圆柱的底面圆半径为R＝3，圆柱的高为h＝2r＝6，因此该圆柱的表面积为S＝2πRh＋2πR2＝2π×3×6＋2π×32＝54π.故选C.
3．B 解析 如图，易知A1F⊥EF，DF⊥EF，所以二面角A1 EF D的平面角为∠A1FD＝90°，所以A1F，EF，DF三条直线两两垂直，三棱锥A1 CDE可补形为长方体，三棱锥A1 CDE的外接球即长方体的外接球，其直径2R＝A1C＝＝＝，则外接球的表面积为S球＝4πR2＝34π.故选B.
4．C 解析 由题意可采用补形法，考虑到四面体ABCD的对棱相等，所以将四面体放入如图所示的长、宽、高分别为x，y，z的长方体中，并且x2＋y2＝3，x2＋z2＝5，y2＋z2＝4，则有(2R)2＝x2＋y2＋z2＝6(R为外接球的半径)，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝6π.故选C.
5．D 解析 如图，连接AC，BD，PE，设AC∩BD＝O，根据正八面体的对称性可知，PE过点O，PO⊥平面ABCD，又AO 平面ABCD，所以PO⊥AO.设正八面体的棱长为a，易知OA＝a，则OP＝＝a，同理OE＝a，则正八面体的外接球球心为O，且外接球半径为a.由3＝可得a＝.故该八面体的表面积S＝8×a2sin 60°＝4.故选D.
6．B 解析 设△ABC外接圆的圆心为O1，三棱锥P ABC外接球的球心为O，连接AO1，OO1，OA，则OO1⊥平面ABC.因为PA⊥平面ABC，所以PA∥OO1.作OF⊥PA，又∠FAO1＝∠OO1A＝90°，所以四边形OFAO1是矩形，所以AF＝OO1.连接OP，则OP＝OA，则AF＝PA，即OO1＝PA.设△ABC的外接圆的半径为r，三棱锥外接球的半径为R.由正弦定理得2r＝＝＝，可得r＝，所以R＝＝＝，则外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×2＝π.故选B.
7．3 解析 设外接球半径为R，△A1B1C1，△ABC中心分别为M，N，连接MN，由题意，外接球球心为MN的中点，设为O，连接OA，AN，则OA＝R，由4πR2＝12π，得R＝OA＝，又易得AN＝，由勾股定理可知ON＝1，所以MN＝2，即三棱柱的高h＝2，所以该三棱柱的体积为×()2×2＝3.
8．18π 解析 解法一：记正方体为ABCD A1B1C1D1，过正方体的对角面AA1C1C作截面如图所示，设半球的半径为R，半球球心为O，因为正方体的棱长为，所以CC1＝，OC＝×＝.连接OC1，在Rt△C1CO中，由勾股定理，得CC＋OC2＝OC，即()2＋()2＝R2，所以R＝3，故V半球＝πR3＝18π.
解法二：将其补成球和内接长方体，原正方体的棱长为，则(2R)2＝6＋6＋(2)2，所以R＝3.故V半球＝πR3＝18π.
9．4π 解析 当球与下底面和侧面均相切时，圆台及球的轴截面如图所示，设E，F分别为梯形上、下底的中点，连接EF，则CE＝1，DF＝3.过点C作CH⊥AD，交AD于点H，记点G为侧面的切点，O为球心，连接OG，OC，则FD＝DG＝3，CH＝EF＝2，FH＝EC，所以CD＝＝＝4，所以CG＝CD－DG＝1，所以CE＝CG，所以Rt△OEC≌Rt△OGC，所以OE＝OG，即球与上底面也相切，故此时球的半径R＝＝，所以该球体积的最大值为πR3＝π·()3＝4π.
10．24π [π，6π] 解析 由题意得PA⊥PE，PA⊥PF，PE⊥PF，所以可将三棱锥P AEF补形为长、宽、高分别为2,2,4的长方体，如图所示，则三棱锥P AEF的外接球即该长方体的外接球，记外接球的半径为R，则(2R)2＝22＋22＋42＝24，得R＝，所以三棱锥P AEF外接球的表面积S＝4πR2＝24π.记外接球的球心为O，则O为长方体的中心，连接OM，则OM＝＝.过点M的平面截三棱锥P AEF的外接球所得截面为圆，当过点M的平面过球心O时，截面圆的面积最大，为πR2＝π()2＝6π.当过点M的平面垂直于OM时，截面圆的面积最小，记此时截面圆的半径为r，则r＝＝＝1，截面圆的面积最小为πr2＝π.所以过点M的平面截三棱锥P AEF的外接球所得截面的面积的取值范围为[π，6π]．(共18张PPT)
球的切、接问题
微练(五十五)
基础过关
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