第三节 空间直线、平面的平行
【课程标准】 1.以立体几何的定义、基本事实和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、面面平行的有关性质与判定定理；2.能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题.
教|材|回|顾
1．直线与直线平行
(1)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线________．
(2)定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角____________．
2．直线与平面平行
(1)直线与平面平行的定义
直线l与平面α没有公共点，则称直线l与平面α平行．
(2)直线与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的__________平行，那么该直线与此平面平行 a α，b α，且a∥b a∥α
性质定理 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与______平行 a∥α，a β，α∩β＝b a∥b
3.平面与平面平行
(1)平面与平面平行的定义
没有公共点的两个平面叫做平行平面．
(2)平面与平面平行的判定定理与性质定理
文字语言 图形表示 符号表示
判定定理 如果一个平面内的两条________与另一个平面平行，那么这两个平面平行 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β
性质 两个平面平行，则其中一个平面内的直线______于另一个平面 α∥β，a α a∥β
性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面__________，那么两条__________平行 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
微|点|延|伸
1．平行关系中的三个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(2)平行于同一平面的两个平面平行．
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行．
2．三种平行关系的转化
(1)平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想，解题过程中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．
(2)在应用判定定理与性质定理时，一定要写全定理满足的条件，否则可能是假命题．
小|题|快|练
1．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线( )
A．只有一条，不在平面α内
B．只有一条，且在平面α内
C．有无数条，一定在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
2．α，β是两个平面，m，n是两条直线，下列四个命题中正确的是( )
A．若m∥n，n∥α，则m∥α
B．若m∥α，n α，则m∥n
C．若α∥β，m α，则m∥β
D．若m∥n，m α，n β，则α∥β
3．(多选题)下列命题中，正确的是( )
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
4．如图，空间图形A1B1C1ABC是三棱台，在点A1，B1，C1，A，B，C中取3个点确定平面α，α∩平面A1B1C1＝m，且m∥AB，则所取的这3个点可以是________．
5.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为____________．
类型一 直线与平面平行
考向 ：直线与平面平行的判定
【例1】 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，PD＝AD＝AB＝2，CD＝4，E为PC的中点．求证：BE∥平面PAD．
判断或证明线面平行的常用方法
1．利用线面平行的定义(无公共点)．
2．利用线面平行的判定定理(a α，b α，a∥b a∥α)．
3．利用面面平行的性质(α∥β，a α a∥β)．
4．利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α a∥β)．
【训练1】 (多选题)(2025·江西南昌模拟)在下列底面是平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则满足MN∥平面ABC的有( )
考向 ：直线与平面平行的性质
【例2】 如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.求证：PA∥GH.
在应用线面平行的性质定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行．
【训练2】 如图，四面体ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，下列条件中，不能证明EH∥FG的是( )
A．E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点
B．＝，＝
C．BD∥平面EFGH
D．＝，＝
类型二 平面与平面平行
【例3】 (2025·潍坊质检)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G分别为棱B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明面面平行的常用方法
1．利用面面平行的判定定理．
2．利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β α∥β)．
3．利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ α∥γ)．
【训练3】 如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
类型三 探究性问题
【例4】 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为对角线BD，CD1上的点，且＝＝.
(1)求证：PQ∥平面A1D1DA；
(2)若R是AB上的点，的值为多少时，能使平面PQR∥平面A1D1DA？请给出证明．
解决这种数值或存在性问题的题目时，注意先给出具体的值或先假设存在，然后再证明．
【训练4】 如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，点D在面对角线A1B上且A1D＝2DB，点E是棱B1C1上的动点．当为多少时，直线DE∥平面ACC1A1
第三节 空间直线、平面的平行
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)平行 (2)相等或互补
2．(2)一条直线 交线
3．(2)相交直线 平行 相交 交线
小题快练
1．B 解析 过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面α内，且l∥α，所以这条直线也应该在平面α内．故选B.
2．C 解析 若m∥n，n∥α，则m∥α或m α，故A不正确；若m∥α，n α，则m∥n或m与n异面，故B不正确；若α∥β，则α与β没有公共点，又因为m α，所以m与β没有公共点，所以m∥β，故C正确；若m∥n，m α，n β，则α∥β或α与β相交，故D不正确．故选C.
3．BCD 解析 对于A，平行于同一条直线的两个平面也可能相交，故A错误；对于B，平行于同一平面的两个平面平行，故B正确；对于C，平行于同一平面的两直线关系不确定，可以平行、相交，也可以异面，故C正确；对于D，根据两个平面平行的性质，两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面，故D正确．故选BCD.
4．A，B，C1(答案不唯一) 解析 由空间图形A1B1C1 ABC是三棱台，可得平面ABC∥平面A1B1C1，当平面ABC1为平面α，平面α∩平面A1B1C1＝m时，又平面α∩平面ABC＝AB，所以由面面平行的性质定理可知m∥AB，所取的这3个点可以是A，B，C1.
5．平行四边形 解析 因为平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，所以EF∥HG.同理，EH∥FG，所以四边形EFGH是平行四边形．
关键能力·落实
【例1】 证明 证法一：如图，取PD的中点F，连接EF，FA.由题意知EF为△PDC的中位线，所以EF∥CD，且EF＝CD＝2.又因为AB∥CD，AB＝2，CD＝4，所以AB綉EF，所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.又AF 平面PAD，BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
证法二：如图，延长DA，CB相交于H，连接PH，因为AB∥CD，AB＝2，CD＝4，所以＝＝，即B为HC的中点，又E为PC的中点，所以BE∥PH，又BE 平面PAD，PH 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
证法三：如图，取CD的中点H，连接BH，HE，因为E为PC的中点，所以EH∥PD，又EH 平面PAD，PD 平面PAD，所以EH∥平面PAD，又由题意知AB綉DH，所以四边形ABHD为平行四边形，所以BH∥AD，又AD 平面PAD，BH 平面PAD，所以BH∥平面PAD，又BH∩EH＝H，BH，EH 平面BHE，所以平面BHE∥平面PAD，又BE 平面BHE，所以BE∥平面PAD.
【训练1】 AB 解析 对于A，B选项：如图①，图②，取AB的中点P，连接CP，PM，则MP綉CN，所以四边形MNCP为平行四边形，所以MN∥CP，又MN 平面ABC，CP 平面ABC，所以MN∥平面ABC.故A，B符合题意．对于C选项：如图③，延长BC交FE的延长线于点D，连接AD，EM，由C，M为所在棱的中点知EM∥BC，易证EM∥平面ABC.假设MN∥平面ABC，由EM∩MN＝M，EM，MN 平面MNE，可证平面MNE∥平面ABC，又NE 平面MNE，所以NE∥平面ABC，这与NE∩平面ABC＝A矛盾，所以假设不成立，即MN与平面ABC不平行，故C不符合题意．对于D选项：如图④，连接FN，设FN∩AC＝O，连接BO.若MN∥平面ABC，则由平面FMN∩平面ABC＝BO，可证得MN∥BO.由B为FM的中点知BO为△FNM的中位线，从而O为FN的中点，实际上FN的中点在底面平行四边形两条对角线的交点处，该交点显然不是图中点O，故D不符合题意．故选AB.
【例2】 证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，因为四边形ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以PA∥OM，又OM 平面BMD，PA 平面BMD，所以PA∥平面BMD，又平面PAHG∩平面BMD＝GH，所以PA∥GH.
【训练2】 D 解析 对于A，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，则EH∥BD，FG∥BD，所以EH∥FG，故A中条件可以证明EH∥FG；对于B，因为＝，所以EH∥BD，又＝，所以FG∥BD，所以EH∥FG，故B中条件可以证明EH∥FG；对于C，因为BD∥平面EFGH，BD 平面ABD，且平面ABD∩平面EFGH＝EH，所以BD∥EH，同理可得BD∥FG，所以EH∥FG，故C中条件可以证明EH∥FG；对于D，若＝，＝，则EF∥AC，HG∥AC，所以EF∥HG，但EF不一定等于HG，所以四边形EFGH不一定是平行四边形，所以EH不一定平行于FG，故D中条件不能证明EH∥FG.故选D.
【例3】 证明 (1)因为E，F分别为B1C1，A1B1的中点，所以EF∥A1C1.因为A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，所以EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，所以A1F＝BG，又A1F∥BG，所以四边形A1GBF为平行四边形，所以BF∥A1G.因为A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，所以BF∥平面A1C1G，又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，所以平面A1C1G∥平面BEF.
(2)因为平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，经过点G的直线交BC于H，则A1C1∥GH，得GH∥AC，因为G为AB的中点，所以H为BC的中点．
【训练3】 证明 (1)因为在三棱柱ABC A1B1C1中，所以平面ABC∥平面A1B1C1，又因为平面BCHG∩平面ABC＝BC，且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，所以由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)因为E，F分别为AB，AC的中点，所以EF∥BC，因为EF 平面BCHG，BC 平面BCHG，所以EF∥平面BCHG.又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，所以A1G綉EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1E∥GB.因为A1E 平面BCHG，GB 平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG.又因为A1E∩EF＝E，A1E，EF 平面EFA1，所以平面EFA1∥平面BCHG.
【例4】 解 (1)证明：如图，连接CP并延长与DA的延长线交于M点，连接MD1，因为四边形ABCD为正方形，所以BC∥AD，故△PBC∽△PDM，所以＝＝，又因为＝＝，所以＝＝，所以PQ∥MD1.又MD1 平面A1D1DA，PQ 平面A1D1DA，故PQ∥平面A1D1DA.
(2)当的值为时，能使平面PQR∥平面A1D1DA.如图，证明如下：因为＝，即＝，故＝，所以PR∥DA.又DA 平面A1D1DA，PR 平面A1D1DA，所以PR∥平面A1D1DA.又由(1)知PQ∥平面A1D1DA，PQ∩PR＝P，PQ，PR 平面PQR，所以平面PQR∥平面A1D1DA.
【训练4】 解 当＝时，DE∥平面ACC1A1.证：过点D作DF∥A1A，交A1B1于点F，过点F作EF∥A1C1交B1C1于点E，连接DE.因为EF∥A1C1，EF 平面ACC1A1，A1C1 平面ACC1A1，所以EF∥平面ACC1A1.因为FD∥A1A，FD 平面ACC1A1，A1A 平面ACC1A1，所以FD∥平面ACC1A1.又EF∩FD＝F，EF 平面EFD，FD 平面EFD，所以平面EFD∥平面ACC1A1，因为DE 平面EFD，所以DE∥平面ACC1A1，所以＝＝＝，所以当＝时，DE∥平面ACC1A1.(共44张PPT)
第三节
第七章 立体几何与空间向量
空间直线、平面的平行
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
直线与平面平行
证明
证明
证明
解析
解析
证明
解析
解析
类型二
平面与平面平行
证明
解
证明
证明
类型三
探究性问题
解
解
解
解
R
赢在欲点
a
b
0
a
B
b
Q
B
Q
a
O
B
Q
a
B
C
B
C
B
A
H
G
1
I
I
I
I
F
I
E
D
C
A
B
P
E
I
C
A
B
P
B
C
A
B
P
E
I
C
A
B
H
P
E
I
H
C
A
B
A
A
M
!!
MA
Bi
B
C
N
N
A
B
A
M
N
B
M
B
A
C
C
N
C
D
A
A
P
M
P
B
B
C
N
N
①
2
A
M
B
E
C
D
3
M
B
A
C
N
4
P
1
M
G
C
A
B
P
1
M
1
1
C
A
B
A
H
E
I
D
G
1
B
F
C
Ay
E
F
B
1
A
C
G
H
B
H
G
B
1
A
C
E
B
D
1
c
I
B
l
I
I
I
Q
I
I
D
C
D
A
B
D
1
C
B
1
I
I
C
A
M
B
D
1
C
Ar
B
1
1
I
I
I
C
A
R
B
A
C
B
E
I
D
A
C
B
Ar
C
F
B
E
D
A
C
B微练(五十七) 空间直线、平面的平行
基础过关
一、单项选择题
1．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，则“m∥α”的充分条件是( )
A．n α，m∥n B．α⊥β，m⊥β
C．n∥α，m∥n D．α∥β，m β
2．过长方体ABCDA1B1C1D1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )
A．4条 B．6条
C．8条 D．12条
3. 在如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是( )
A．异面
B．平行
C．相交
D．以上均有可能
4. 如图，在三棱锥PABC中，点D，E分别为棱PB，BC的中点．若点F在线段AC上，且满足AD∥平面PEF，则的值为( )
A．1 B．2
C． D．
5. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面分别交底面△ABC的边BC，AC于点E，F，则( )
A．MF∥EB
B．A1B1∥NE
C．四边形MNEF为平行四边形
D．四边形MNEF为梯形
6．(2025·四川成都一诊)在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是平面A1B1C1D1内的一动点，M为线段DC的中点，则下列说法错误的是( )
A．平面PAM内任意一条直线都不与BC平行
B．平面PAB和平面PCM的交线不与平面ABCD平行
C．平面PBC内存在无数条直线与平面PAM平行
D．平面PAM和平面PBC的交线不与平面ABCD平行
二、多项选择题
7．如图，在下列4个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这4个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的正方体是( )
8. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则( )
A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1与点D到平面AEF的距离相等
三、填空题
9. 如图，平面α∥平面β，△PAB所在的平面与α，β分别交于CD，AB，若PC＝2，CA＝3，CD＝1，则AB＝________.
10. 如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，AB＝4，M为线段SA上一点，且AM＝2MS，平面MCD与侧棱BS交于点N，则MN＝________.
11. (2025·山东潍坊模拟)如图，四棱锥PABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，ED与AF相交于点H，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，且PG＝λGD，则λ＝________，GH＝________.
四、解答题
12．如图所示，在四棱锥PABCD中，BC∥平面PAD，BC＝AD，E是PD的中点．求证：
(1)BC∥AD；
(2)EC∥平面PAB．
13．(2025·陕西联考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC＝2BC＝CC1＝2，D，E，F分别是棱A1C1，BC，AC的中点，AB⊥BC．
(1)证明：平面ABD∥平面FEC1；
(2)求点F到平面ABD的距离．
素养提升
14．(2024·昆明一模)已知正方体ABCDA1B1C1D1，平面α满足AC∥α，BC1∥α，若直线AC到平面α的距离与BC1到平面α的距离相等，平面α与此正方体的面相交，则交线围成的图形为( )
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
15. 如图，三棱锥VABC的三条侧棱VA，VB，VC两两垂直，且VA＝VB＝VC＝1.点P是侧面VAC内一点，过点P作一个既平行于侧棱VB，又平行于底边AC的三棱锥的截面，则该截面面积的最大值为________．
微练(五十七) 空间直线、平面的平行
1．D 解析 若n α，m∥n，则m α或m∥α，故A错误；若α⊥β，m⊥β，则m α或m∥α，故B错误；若n∥α，m∥n，则m∥α或m α，故C错误；若α∥β，m β，则m∥α，故D正确．故选D.
2．D 解析
如图，分别取A1D1，A1B1，AB，AD的中点E，F，G，H，连接EF，FG，GH，HE，EG，FH，由长方体的性质，知EF，FG，GH，HE，EG，HF 6条直线均与平面BB1D1D平行．同理，在平面BB1D1D的另一侧还有6条直线与平面BB1D1D平行．故选D.
3．B 解析 在三棱柱ABCA1B1C1中，AB∥A1B1，因为AB 平面ABC，A1B1 平面ABC，所以A1B1∥平面ABC.因为过A1B1的平面与平面ABC交于DE，所以DE∥A1B1，所以DE∥AB.故选B.
4．C 解析 如图，连接CD，交PE于点G，连接FG，因为AD∥平面PEF，AD 平面ADC，平面ADC∩平面PEF＝FG，所以AD∥FG，因为点D，E分别为棱PB，BC的中点，所以G是△PBC的重心，所以＝＝.故选C.
5．D 解析 由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，M 平面BEF，EB不过点F，故MF，EB为异面直线，故A错误；由于B1，N，E三点共面，B1∈平面B1NE，A1 平面B1NE，NE不过点B1，故A1B1，NE为异面直线，故B错误；因为在平行四边形AA1B1B中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，所以AM∥BN，AM＝BN，故四边形AMNB为平行四边形，所以MN∥AB.又MN 平面ABC，AB 平面ABC，所以MN∥平面ABC.又MN 平面MNEF，平面MNEF∩平面ABC＝EF，所以MN∥EF，所以EF∥AB，显然在△ABC中，EF≠AB，所以EF≠MN，所以四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．
6．B 解析 对A，因为BC，AM均在平面ABCD内且不平行，所以BC与AM相交，故BC与平面PAM相交，若平面PAM内存在一条直线与BC平行，则BC∥平面PAM，矛盾，故A正确．对B，因为AB∥CM，AB 平面PCM，CM 平面PCM，所以AB∥平面PCM.如图①，设平面PAB和平面PCM的交线为l，由线面平行的性质可得AB∥l，又l 平面ABCD，AB 平面ABCD，所以l∥平面ABCD，故B错误．对C，D，分别延长AM，BC，交于点E，连接PE，如图②，平面PAM和平面PBC的交线即直线PE，故当平面PBC内的直线与PE平行时，与平面PAM也平行，故C正确，交线PE与平面ABCD交于点E，故D正确．故选B.
7．BCD 解析 对于A，如图，O为底面对角线的交点，连接OQ，易得AB∥OQ，又OQ∩平面MNQ＝Q，所以直线AB与平面MNQ不平行；对于B，易得AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行；对于C，易得AB∥MQ，结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行；对于D，易得AB∥NQ，结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行．所以在这4个正方体中，直线AB与平面MNQ平行的正方体有3个．故选BCD.
8．BCD 解析 因为CC1与AF不垂直，而DD1∥CC1，所以AF与DD1不垂直，故A错误；如图，取B1C1的中点N，连接A1N，GN，则A1N∥AE，GN∥EF，又AE 平面AEF，A1N 平面AEF，EF 平面AEF，GN 平面AEF，所以A1N∥平面AEF，GN∥平面AEF，又A1N∩GN＝N，所以平面A1GN∥平面AEF，又直线A1G 平面A1GN，所以直线A1G∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由四边形AEFD1为等腰梯形，可得平面AEF截正方体所得的截面面积S＝××＝，故C正确；显然点A1与点D到平面AEFD1的距离相等，故D正确．综上，选BCD.
9. 解析 因为平面α∥平面β，所以CD∥AB，则＝，所以AB＝＝＝.
10. 解析 如图，连接NC，因为AB∥CD，AB 平面SAB，CD 平面SAB，所以CD∥平面SAB.又因为平面CDMN∩平面SAB＝MN，CD 平面CDMN，所以CD∥MN，所以AB∥MN，所以＝＝，所以MN＝.
11．1 解析 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD且AB＝CD.又因为E，F分别是AB，CD的中点，所以AE＝FD.又因为∠EAH＝∠DFH，∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，所以EH＝DH.因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，则G是PD的中点，即PG＝GD，故λ＝1.因为PA＝PB＝AB＝2，所以PE＝，所以GH＝PE＝.
12．证明 (1)在四棱锥PABCD中，BC∥平面PAD，BC 平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，所以BC∥AD.
(2)如图，取PA的中点为F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，所以EF∥AD.EF＝AD.由(1)可得BC∥AD，又BC＝AD，所以BC∥EF，BC＝EF，所以四边形BCEF是平行四边形，所以EC∥FB.因为EC 平面PAB，FB 平面PAB，所以EC∥平面PAB.
13．解 (1)证明：在△ABC中，因为E，F分别是BC，AC的中点，所以AB∥EF.因为AB 平面FEC1，EF 平面FEC1，所以AB∥平面FEC1.因为AC∥A1C1，AF＝AC＝A1C1＝DC1，所以四边形AFC1D为平行四边形，所以AD∥FC1.同理可得AD∥平面FEC1.又AD∩AB＝A，AB，AD 平面ABD，所以平面ABD∥平面FEC1.
(2)如图所示，连接BF，DF，易得DF⊥平面ABC，则DF⊥BF，利用勾股定理计算得AB＝＝，AD＝＝，BD＝＝，所以S△ABD＝AB×＝××＝，S△ABF＝××1×＝.设点F到平面ABD的距离为h，由VFABD＝VDABF，得S△ABD×h＝S△ABF×DF，即h＝××2，解得h＝，即点F到平面ABD的距离为.
14．D 解析 如图，分别取AB，BC，CC1的中点为M，N，P，连接MN，NP，MP，则AC∥MN，又AC 平面MNP，MN 平面MNP，所以AC∥平面MNP，同理可得BC1∥平面MNP.因为点A到平面MNP的距离等于直线AC到平面MNP的距离，点B到平面MNP的距离等于直线BC1到平面MNP的距离，直线AB∩平面MNP＝M，M为线段AB的中点，所以点A和点B到平面MNP的距离相等，所以直线AC到平面MNP的距离与BC1到平面MNP的距离相等，所以平面MNP为平面α.延长线段MN与线段DC的延长线相交于点O，则CO＝AM＝AB，点O为平面MNP与平面DCC1D1的公共点，所以平面MNP∩平面DCC1D1＝OP，延长线段OP交C1D1于点Q，易知点Q为C1D1的中点，平面MNP与平面A1B1C1D1的交线过点Q且与MN平行，取A1D1的中点为R，连接QR，则平面MNP∩平面A1B1C1D1＝QR，取A1A的中点为S，连接RS，SM，同理可得平面MNP与平面ADD1A1和平面ABB1A1的交线分别为RS，SM，即平面α与正方体的交线围成的图形为六边形MNPQRS，故选D.
15. 解析 如图所示，在平面VAC内过点P作EF∥AC，分别交VA，VC于点F，E，在平面VBC内过点E作EQ∥VB，交BC于点Q，在平面VAB内过点F作FD∥VB，交BA于点D，连接DQ，由EQ∥VB，FD∥VB，得EQ∥FD，于是E，F，D，Q四点共面．由EQ∥VB，VB 平面DFEQ，EQ 平面DFEQ，得VB∥平面DFEQ，同理可证得AC∥平面DFEQ，则四边形DFEQ即过点P且既平行于直线VB又平行于直线AC的截面．由AC∥平面DFEQ，平面ABC∩平面DFEQ＝DQ，AC 平面ABC，得AC∥DQ，又EF∥AC，所以DQ∥EF，结合EQ∥FD可得，四边形DFEQ是平行四边形．因为VB⊥VC，VB⊥VA，VA∩VC＝V，VA，VC 平面VAC，所以VB⊥平面VAC，又EF 平面VAC，所以VB⊥EF.又EQ∥VB，所以EQ⊥EF，所以平行四边形DFEQ是矩形．因为EF∥AC，所以△VEF∽△VCA，设相似比为k，则＝＝＝k，易得AC＝，所以EF＝k.因为FD∥VB，所以△AFD∽△AVB，则＝＝，因为＝＝1－k，所以＝＝1－k，即FD＝1－k，故S矩形FEQD＝EF·FD＝k·(1－k)＝－2＋，所以当k＝时，S矩形FEQD取得最大值.(共32张PPT)
空间直线、平面的平行
微练(五十七)
基础过关
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