第五节 空间向量及空间位置关系
【课程标准】 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式；2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；3.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直；5.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
教|材|回|顾
1．空间向量的有关概念
名称 定义
空间向量 在空间中，具有________和________的量
相等向量 方向________且模________的向量
相反向量 方向________且模________的向量
共线向量 (或平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相________或________的向量
共面向量 平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________．
(2)共面向量基本定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝______.
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝________.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．
3．空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是________，若〈a，b〉＝，则称a与b________，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝____________.0·a＝0.
(3)空间向量数量积的运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；
②a·b＝b·a(交换律)；
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
4．空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示 坐标表示
线性运算 a±b ________________
数量积 a·b ________________
共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) ________________
垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) ________________
模 |a|＝ ________________
夹角 cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l____________，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
6．空间位置关系的向量表示
位置关系 向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2 l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2
l1⊥l2 u1⊥u2 ____________
直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，l α l∥α u⊥n ____________
l⊥α u∥n λ∈R，使得u＝λn
平面α，β的法向量分别为n1，n2 α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2
α⊥β n1⊥n2 ____________
微|点|延|伸
1．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面 ＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．
2．在利用＝x＋y证明MN∥平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内．
小|题|快|练
1．若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与m，n构成空间的一个基底的另一个基向量是( )
A．a B．b
C．c D．2a
2．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AC与BD的交点为点M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c
B．a＋b＋c
C．－a－b－c
D．－a－b＋c
3．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．垂直 D．不能确定
4．若直线l的方向向量a＝(1,2，－1)，平面α的一个法向量m＝(－2，－4，k)，且l⊥α，则实数k＝________.
5．O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________.
类型一 空间向量的线性运算自练自悟
1. 如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，若＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为( )
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若＝，则C的坐标是( )
A．
B．
C．
D．
3．已知向量a＝(2m＋1,3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为( )
A． B．－2
C．0 D．或－2
4. 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________.
进行向量的线性运算，有以下几个关键点
1．结合图形，以图形为指导是解题的关键，明确图形中各线段的几何关系．
2．正确运用向量加法、减法与数乘运算的几何意义．
3．平面向量加法的三角形法则、平行四边形法则在空间向量中仍然成立.
类型二 共线、共面向量定理的应用
【例1】 如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．
(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
P，A，B三点共线 空间四点M，P，A，B共面
＝λ ＝x＋y
对空间任一点O， ＝＋t 对空间任一点O， ＝＋x＋y
对空间任一点O， ＝x＋(1－x)· 对空间任一点O， ＝x＋y＋(1－x－y)
【训练1】 (1)若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三点共线，则m＋n＝________.
(2)已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________.
类型三 空间向量数量积的应用
【例2】 如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.
(1)求线段AC1的长；
(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；
(3)求证：AA1⊥BD．
空间向量数量积的3个应用
求夹角 设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝，进而可求两向量所在直线所成的角
求长度 (距离) 利用公式|a|2＝a·a，可将线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题
解决垂 直问题 利用a⊥b a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题
【训练2】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.求：
(1)AC1的长；
(2)与夹角的余弦值．
类型四 向量法证明平行与垂直
【例3】 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．
(1)求证：B1E⊥AD1；
(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
运用向量知识判定空间位置关系时，离不开立体几何的相关定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
【训练3】 如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD．
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF.
第五节 空间向量及空间位置关系
必备知识·梳理
教材回顾
1．大小 方向 相同 相等 相反 相等 平行 重合
2．(1)a＝λb (2)唯一 xa＋yb (3)xa＋yb＋zc
3．(1)[0，π] 互相垂直 (2)|a||b|cos〈a，b〉
4．(a1±b1，a2±b2，a3±b3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
5．(1)平行或重合
6．u1·u2＝0 u·n＝0 n1·n2＝0
小题快练
1．C 解析 由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[(a＋b)＋(a－b)]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[(a＋b)－(a－b)]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A，得2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C.
2．C 解析 ＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－a－b－c.故选C.
3．B 解析 分别以C1B1，C1D1，C1C所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．因为A1M＝AN＝，所以M，N，所以 ＝，又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，所以＝(0，a,0)，所以·＝0，所以⊥.因为是平面BB1C1C的一个法向量，且MN 平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.故选B.
4．2 解析 因为l⊥α，所以l的方向向量a＝(1,2，－1)与平面的法向量m＝(－2，－4，k)共线，所以存在实数λ，使a＝λm，即解得
5. 解析 因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，解得t＝.
关键能力·落实
1．A 解析 连接OD，＝＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选A.
2．A 解析 设点C的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．又＝(－3，－2，－4)，＝，所以x＝－，y＝－，z＝－.故选A.
3．B 解析 因为a∥b，所以＝＝，解得m＝－2.故选B.
4.＋＋ 解析 ＝＋＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
【例1】 解 (1)因为＝k，＝k，所以＝＋＋＝k＋＋k＝k(＋)＋＝k(＋)＋＝k＋＝－k＝－k(＋)＝(1－k)－k，所以由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内．当0＜k≤1时，MN不在平面ABB1A1内，又由(1)知与，共面，所以MN∥平面ABB1A1.
【训练1】 (1)－3 解析 因为＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ，即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，所以解得所以m＋n＝－3.
(2) 解析 由题意，可设a＝xb＋yc，故(2，－1,3)＝x(－1，4，－2)＋y(7,5，λ)＝(－x＋7y,4x＋5y，－2x＋λy)，即解得λ＝.
【例2】 解 (1)设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1.因为＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，所以||＝|a＋b＋c|＝＝＝＝.所以线段AC1的长为.
(2)设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，则cos θ＝|cos〈，〉|＝.因为＝a＋b＋c，＝b－c，所以·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，||＝＝＝＝.所以cos θ＝＝＝.故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.
(3)证明：因为＝c，＝b－a，所以·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，所以⊥，即AA1⊥BD.
【训练2】 解 设＝a，＝b，＝c，这三个向量不共面，{a，b，c}构成空间的一个基底，则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，所以a·b＝b·c＝c·a＝.
(1)因为||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×＝6，所以||＝，即AC1的长为.
(2)因为＝b＋c－a，＝a＋b，所以||＝，||＝，·＝(b＋c－a)·(a＋b)＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，所以cos〈，〉＝＝，即与夹角的余弦值为.
【例3】 解 (1)证明：以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝a，则A(0，0,0)，D(0，1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)．故＝(0,1,1)，＝.因为·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以⊥，即B1E⊥AD1.
(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，0≤z0≤1，使得DP∥平面B1AE，此时＝(0，－1，z0)．设平面B1AE的法向量为n＝(x，y，z).＝(a,0,1)，＝.因为n⊥平面B1AE，所以n⊥，n⊥，得取x＝1，则故n＝是平面B1AE的一个法向量．要使DP∥平面B1AE，只需n⊥，即－az0＝0，解得z0＝.所以存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.
【训练3】 证明 如图，取BC的中点H，连接OH，则OH∥BD，又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以OH⊥AC，故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(3，0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0，0，)，B(1,2,0)．所以＝(－2，－2,0)，＝(1,0，)，＝(－1，－2，)．
(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)．则即取z＝1，得n＝(－，，1)是平面BCF的一个法向量．又四边形BDEF为平行四边形，所以＝＝(－1，－2，)，所以＝＋＝＋＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，因为·n＝3－4＋＝0，所以⊥n，又AE 平面BCF，所以AE∥平面BCF.
(2)因为＝(－3,0，)，·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，所以⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE.又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，所以CF⊥平面AEF.(共48张PPT)
第五节
第七章 立体几何与空间向量
空间向量及空间位置关系
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
空间向量的线性运算 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
共线、共面向量定理的应用
解
解
解析
解析
类型三
空间向量数量积的应用
解
解
解
解
解
类型四
向量法证明平行与垂直
解析
解
解
证明
证明
证明
R
赢在欲点
D
1
9
Al
I
B
1
i
I
D
C
M
A
B
C
D
N
B
A
I
1
I
I
M
D
1
B
个Z
C
D
N
B
i
1
A
i
1
C
M
D
y
B
Al
上X
0
A
C
D
B
D
1
C
I
I
1
1
B
1
1
I
1
1
V4
C
A
B
9
Ar
l
I
B
I
I
1
M
!
C
1
N
A
B
D
A
B
L
C
A
B
D
9
1
1
I
D
C
A
B
A
D
1
1
B
1
==二二
1
I
1
D
A
E
B
C
A
D
1
C
B
1
==二二二
I
1
I
D
A
y
B
E
C
X
E
F
I
i
1
D
C
G
A
B
E
F
D
二2
C
G
H
A
B
y微练(六十) 空间向量及空间位置关系
基础过关
一、单项选择题
1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A． B．2
C． D．1
2. (2025·河北联考)如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，且＝2，＝，则＝( )
A．a＋b＋c B．a＋b－c
C．－a＋b＋c D．a－b＋c
3．(2025·济宁模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
4. 如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB垂直，若AB＝，AC＝1，BD＝2，则CD的长为( )
A．2 B．3
C．2 D．4
5．在四面体ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为( )
A． B．
C． D．－
6. 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是BB1，DD1的中点，则下列结论正确的是( )
A．A1O∥EF
B．A1O⊥EF
C．A1O∥平面EFB1
D．A1O⊥平面EFB1
二、多项选择题
7．已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(－1,3,1)，则( )
A．与是共线向量
B．的单位向量是(1,1,0)
C．与夹角的余弦值是－
D．平面ABC的一个法向量是(1，－2,5)
8．(2025·山东联考)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A，B，C，D四个顶点在同一平面内，则下列结论正确的是( )
A．AE∥平面CDF
B．平面ABE∥平面CDF
C．AB⊥DE
D．平面ACE⊥平面BDF
三、填空题
9．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则x＝________，y＝________，z＝________.
10. 已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，DA＝DD1＝1，DC＝，E是B1C1的中点，建立空间直角坐标系Dxyz如图所示，则||＝________.
11．在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．
四、解答题
12．如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，E，F，G分别为棱DD1，A1D1，BB1的中点．
(1)求·的值；
(2)证明：C，E，F，G四点共面．
13．如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：
(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD．
素养提升
14. (多选题)(2025·福建福州测试)如图，在各棱长均为2的正三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是CC1，BB1的中点，设＝λ，λ∈[0,1]，则( )
A．当λ＝时，CF⊥AD
B． λ∈[0,1]，CF⊥平面ABD
C． λ∈[0,1]，EF∥平面ABD
D．当λ＝时，AF与平面ABD所成的角为60°
15. 如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形，E为棱AB的中点，＝，＝2，AC1与平面EFG交于点M，则＝________.
微练(六十) 空间向量及空间位置关系
1．A 解析 因为a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，所以a·b＝－1，|a|＝，|b|＝.又ka＋b与2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝0，即2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，即4k＋k－2－5＝0，所以k＝.故选A.
2．C 解析 连接ON(图略)，因为＝，所以＝(＋)，因为＝2，所以＝，所以＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c.故选C.
3．D 解析 建立如图所示空间直角坐标系，则A(1,0,0)，O1，C1(0,1,1)，＝，＝(－1,1,1)，·＝·(－1,1,1)＝＋＋1＝2.故选D.
4．B 解析 因为＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·，因为⊥，⊥，所以·＝0，·＝0，又·＝||||cos(180°－120°)＝1×2×＝1，所以2＝1＋2＋4＋2×1＝9，所以||＝3.故选B.
5．B 解析 取BD的中点O，连接AO，OC，由CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝，得AO⊥BD，CO⊥BD，且OC＝，AO＝1.在△AOC中，AC2＝AO2＋OC2，故AO⊥OC，又BD∩OC＝O，BD，OC 平面BCD，所以AO⊥平面BCD，以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)，所以＝(1,0，－1)，＝(－1，－，0)，设异面直线AB与CD所成角为θ，则cos θ＝＝＝，即异面直线AB与CD所成角的余弦值为.故选B.
6．B 解析 在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令AB＝2a，DD1＝2b(a>0，b>0)，则O(a，a,0)，A1(2a,0,2b)，E(2a,2a，b)，B1(2a,2a,2b)，F(0，0，b)，＝(a，－a,2b)，＝(2a,2a,0)，＝(0,0，b)，显然与不共线，即A1O与EF不平行，A不正确；因为·＝a·2a＋(－a)·2a＋2b·0＝0，则⊥，即A1O⊥EF，B正确；设平面EFB1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得n＝(1，－1,0)，·n＝2a>0，因此与n不垂直，即A1O不平行于平面EFB1，C不正确；由选项C知，与n不共线，即A1O不垂直于平面EFB1，D不正确．故选B.
7．CD 解析 由题意，对于A，＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，因为≠λ，所以与不是共线向量，所以A不正确；对于B，因为＝(2,1,0)，所以的单位向量为±，所以B不正确；对于C，向量＝(2,1,0)，＝(－3,1,1)，所以cos〈，〉＝＝－，所以C正确；对于D，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(2,1,0)，＝(－1,2,1)，所以即令x＝1，得n＝(1，－2,5)是平面ABC的一个法向量，所以D正确．故选CD.
8．ABD 解析 如图，O为AC与BD的交点，连接OE，易得OB，OC，OE两两垂直，以O为原点，直线OB，OC，OE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正八面体的棱长为2，则A(0，－，0)，E(0,0，)，C(0，，0)，D(－，0,0)，F(0,0，－)，所以＝(0，，)，＝(－，－，0)，＝(0，－，－)．设平面CDF的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1,1)，又·n＝－＋＝0，所以⊥n，因为AE 平面CDF，所以AE∥平面CDF，A正确．因为AB∥CD，AB 平面CDF，CD 平面CDF，所以AB∥平面CDF，又AB∩AE＝A，AE，AB 平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，B正确．因为B(，0,0)，所以＝(，，0)，又＝(，0，)，所以·＝2，所以AB与DE不垂直，C错误．易知平面ACE的一个法向量为m1＝(1,0,0)，平面BDF的一个法向量为m2＝(0,1,0)，因为m1·m2＝0，所以平面ACE⊥平面BDF，D正确．故选ABD.
9. － 4 解析 由题意得解得x＝，y＝－，z＝4.
10. 解析 在长方体ABCD A1B1C1D1中，DA＝DD1＝1，DC＝，E是B1C1的中点，则A(1，0,0)，E，所以＝，所以||＝＝.
11．15 解析 如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以M为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系．因为底面边长为1，侧棱长为2，所以A，B1，C，C1，M(0,0,0)，＝.因为＝λ，所以N，所以＝.又因为AB1⊥MN，所以·＝0.所以－＋＝0，所以λ＝15.
12．解 (1)在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB⊥AD，易得AD，AA1，AB两两垂直，故以A为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．因为AA1＝AB＝2AD＝2CD＝4，所以C(2,0,2)，E(2,2,0)，F(1,4,0)，G(0,2,4)．所以＝(－2,2,2)，＝(－1,2,0).·＝－2×(－1)＋2×2＋0＝6.
(2)证明：由(1)得＝(0,2，－2)．令＝m＋n，即解得所以＝－＋2.故C，E，F，G四点共面．
13．证明 依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系如图所示，可得B(1,0,0)，C(2，2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．
(1)因为＝(0,1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，所以BE⊥DC.
(2)由(1)知＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以BE⊥AB，又BE 平面PAD，所以BE∥平面PAD.
(3)由(1)知＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，＝(0,2，－2)，＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．且n·＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以n⊥.所以平面PCD⊥平面PAD.
14．AC 解析 取AC的中点O，A1C1的中点G，连接OB，OG，则OB，OC，OG三线两两垂直．如图，以点O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OG所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(0，－1,0)，D(0,1,1)，C(0,1,0)，C1(0,1,2)，A1(0，－1,2)，B(，0,0)，E(，0,1)，所以＝(0,2,0)．连接OF，OA1，则由＝λ可得＝＋λ＝(0,2λ－1,2)，所以F(0，2λ－1,2)，＝(0,2λ－2,2)．下面依次分析四个选项．对于A，当λ＝时，F(0,0,2)，所以＝(0，－1，2)．又＝(0,2,1)，所以·＝0－1×2＋2×1＝0，所以⊥，即CF⊥AD，A正确．对于B，＝(0,2,1)，＝(，1,0)，设n＝(x，y，z)是平面ABD的法向量，则有即取x＝1，则n＝(1，－，2)是平面ABD的一个法向量．若CF⊥平面ABD，则∥n，而＝(0,2λ－2,2)，显然，n不共线，B错误．对于C，＝(－，2λ－1,1)，要使EF∥平面ABD，则应有⊥n，所以·n＝－－(2λ－1)＋2＝0，解得λ＝1，满足题意，C正确．对于D，当λ＝时，F，则＝.设AF与平面ABD所成角为θ，所以sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝≠sin 60°，D错误．故选AC.
15. 解析 由题图设＝λ(0＜λ＜1)，由已知，得＝＋＋＝2＋3＋，所以＝2λ＋3λ＋.因为M，E，F，G四点共面，所以2λ＋3λ＋＝1，解得λ＝.(共35张PPT)
微练(六十)
空间向量及空间位置关系
基础过关
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
证明
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
素养提升
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
