5.2 简单的轴对称图形（第2课时）教学设计 北师大版（2024）数学七年级下册

第五章 图形的轴对称
5.2 简单的轴对称图形
第2课时
一、 教学目标
1.了解线段垂直平分线的概念及性质.
2.探索并了解线段垂直平分线的有关性质，并能应用它们进行简单的推理说明.
3.会用尺规作线段的垂直平分线.
4.经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念.
二、 教学重难点
　　重点：利用线段垂直平分线的有关性质进行推理说明.
难点：运用线段垂直平分线的有关性质解决相关问题．
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：先提出问题，学生思考后回答问题.
问题1：什么是轴对称图形？它的对称轴是什么？
预设：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
问题2：下面哪些图形是轴对称图形？
预设：第一、三两个图形是轴对称图形.
思考： 线段是轴对称图形吗？
设计意图：通过复习回顾，引出新的问题，为本节课要学习的内容作准备.
环节二 探究新知
【思考】
教师活动：展示动画，通过对线段的轴对称性的探究，引导学生得出结论.
问题：你发现了什么？
预设：线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴.
【归纳】
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线(简称中垂线).
符号语言：∵直线 l⊥AB，AO=BO
∴直线 l 垂直平分线段AB
设计意图：通过对线段轴对称性的探究，得出线段的轴对称性，引出线段垂直平分线的定义.
【尝试思考】
如图，直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，点 C 是 l 上的任意一点.在线段 AB 上画出以直线 l 为对称轴的一组对应点 D 和 D′.，连接CD和CD′.
(1)你认为线段CD和CD′之间有什么关系？说说你的理由.
(2)特别地，当点 D 与点 A 重合时，点 D′ 位于什么位置？此时，线段CD和CD′之间还有(1)中的关系吗？由此你能得到什么结论？
预设：（1）CD＝CD′，因为以直线 l 为对称轴的一组对应点为 D 和D′，所以沿直线 l 折叠，CD与CD′能完全重合，所以CD＝CD′.
（2）当点 D 与点 A 重合时，点D′与点 B 重合.此时线段 CD 与 CD′ 之间还有(1)中的关系.
归纳：线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
设计意图：先从一般情形探究线段关系，再到特殊情况深入分析，最后归纳出线段垂直平分线的性质，让学生体验从特殊到一般的数学研究方法，学会总结归纳几何结论，积累数学研究的经验和方法.
【思考交流】
如图，已知线段AB，如何作出它的垂直平分线？假设线段AB的垂直平分线已作出，请回答下列问题：
（1）这条直线有什么特征
（2）如何确定这条直线上的两个点 如果只用尺规呢
预设：（1）线上的点到这条线段两个端点的距离相等；
（2）需要确定的点是线段对称轴上的点，因此应当从线段两端进行“对称”的操作.
【操作思考】
如图，已知直线 l 和 l 上的一点 P，如何用尺规作 l 的垂线，使它经过点 P？能说明你的作法的道理吗？
作法：
(1)以点 P 为圆心，以任意长为半径作弧，与直线 l 相交于点A，B.
(2)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点 M，作直线 MP，直线 MP 即为所求作的垂线.
理由：
由步骤(1)可知点 P 到线段两端点的距离相等，
由步骤(2)可知点 M 到线段 AB 两端点的距离相等，所以直线 MP 是线段 AB 的
垂直平分线，所以直线MP垂直于直线 l.
设计意图：将线段垂直平分线的理论知识与实际作图操作相结合，让学生在实践中体会理论知识的应用，加深对知识的理解和记忆.
【做一做】
教师活动：展示动画，讲解利用尺规作线段的垂直平分线的过程.
利用尺规，作线段AB(如图)的垂直平分线.
已知：线段AB，如图.
求作：AB的垂直平分线.
作法：(1)分别以点A和B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，两弧相交于点C和点D.
(2)作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.
问题：该作法的原理是什么？
预设：由作法可知AC=BC=AD=BD，所以原理是线段垂直平分线的判定！
教师提示：O就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点.
问题1：利用尺规作如图所示的图形，其中AB=BC=CD=DA.你是怎样作的？
预设：作法：(1)作线段AC.
(2)分别以点A和C为圆心，以AB的长度为半径作弧，两弧相交于点B和点D.
(3)作直线BD.
(4)连接AB，BC，CD，DA.
问题2：如果改变条件为AB=CB，AD=CD，AB≠AD，请作出符合条件的图形，并与同伴交流.
预设：作法：(1)作线段AC.
(2)分别以点A和C为圆心，以AB的长度为半径作弧，两弧在AC上方相交于点B.
(3)分别以点A和C为圆心，以AD的长度为半径作弧，两弧在AC下方相交于点D.
(4)作直线BD.
(5)连接AB，BC，CD，DA.
设计意图：通过对利用尺规作线段的垂直平分线过程的讲解与分析，使学生理解利用尺规作线段的垂直平分线的方法.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例1 如图，MN是线段AB的垂直平分线，下列说法正确的有：_______.
①AB⊥MN；②AD=DB；③MD=DN；
④AB是MN的垂直平分线.
分析：因为MN是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的定义可知AB⊥MN，AD=DB，①②正确.
例2 在△ABC中，AC=5cm，AC边上的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，连接AE，△ABE的周长为9cm，求△ABC的周长.
解：因为DE是AC边上的垂直平分线，
所以AE=CE，
所以△ABC的周长=AB+BC+AC
=AB+BE+CE+AC
=AB+BE+AE+AC
=△ABE的周长+AC
=9+5
=14(cm)
设计意图：让学生理解线段垂直平分线的性质，并会运用线段垂直平分线的尺规作图解决问题.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE.
(1)若∠A=35°,则∠AED= ______；
(2)若BE=3，EC=1，则AC=______.
分析：因为DE是线段AB的垂直平分线，
根据线段垂直平分线的定义可知DE⊥AB，AE=BE.
所以∠AED=90°-∠A=55°，
AC=AE+CE=BE+CE=3+1=4.
2.如图，△ABC中，BD是它的角平分线，BC的垂直平分线EF交BD于点E，交BC于点F，∠ABD=24°，∠ACE=48°，求∠A的度数．
解：因为BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
所以∠DBC=∠ABD=24°，∠ABC=2∠ABD=48°.
因为EF垂直平分BC，所以BE=CE，
所以∠DBC=∠ECB=24°.
因为∠ACE=48°，所以∠ACB=∠ACE+∠ECB=72°.
所以∠A=180°－∠ABC－∠ACB=180°－48°－72°=60°.
3.画一个△ABC，利用尺规求作它的外心.
解：如图所示：
(1)作△ABC.
(2)分别作AB，BC，AC的垂直平分线，
三条垂直平分线交于点O.
(3)点O即为△ABC的外心.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对线段垂直平分线性质的理解，巩固线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线尺规作图的应用.
环节五 总结归纳
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.