5.2简单的轴对称图形（第3课时）教学设计 北师大版（2024）数学七年级下册

第五章 图形的轴对称
5.2简单的轴对称图形
第3课时
一、 教学目标
1.运用作图和实验的方法，探索角平分线的有关性质.
2.能运用角平分线的性质解决实际问题.
3.会用尺规作出已知角的平分线，能规范地写出已知、求作和作法.
4.利用折纸的方法探索角的对称性，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念.
二、 教学重难点
重点：运用作图和实验的方法，探索角平分线的有关性质.
难点：能运用角平分线的性质解决实际问题.
三、教学过程设计
环节一 创设情境
【复习回顾】
教师活动：先提出问题，学生思考后回答问题.
问题1：什么是轴对称图形？
预设：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
问题2：角是轴对称图形吗？如何验证你的结论？
预设：角是轴对称图形.
可以作出一个角对折一下看看角的两边是否重合.
设计意图：通过复习回顾，为本节课要学习的内容作准备.
环节二 探究新知
【操作】
请拿出你作的∠AOB，不利用工具，将它分成两个相等的角.你有什么办法？
预设：对折
教师活动：引导学生按照自己的设想实际操作验证，适时提出问题：打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？
预设：折痕平分了∠AOB.
教师活动：总结并给出结论.
结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
设计意图：通过具体动手操作理解角是轴对称图形.
【尝试思考】
如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以 OP所在直线为对称轴的一组对应点 D和D'，连接 CD和 CD'.
(1)你认为线段 CD 和 CD'之间有什么关系 说说你的理由.
(2)特别地，当CD⊥OA时，CD'与 OB有怎样的位置关系 为什么 此时，线段 CD 和 CD'之间还有(1)中的关系吗 由此你能得到什么结论
预设：（1）CD = CD'，
理由一：用刻度尺测量CD，CD'，得到两条线段的长度相等.
理由二：连接DD'；
因为OP是∠AOB的平分线，点 D和D'关于OP对称，
所以线段DD'被直线OP垂直平分.
又因为点C是OP上的任意一点，所以CD = CD'
（2）当CD⊥OA时，CD'⊥ OB；CD = CD'
结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能尝试证明一下吗？
验证：如图， C为∠AOB的角平分线上一点， CD⊥OB，垂足为点D，CE⊥OA，垂足为点E，求证：CE=CD.
证明：∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠AOC=∠BOC
∵CD⊥OB，CE⊥OA
∴∠CDO= ∠CEO
又∵OC=OC
∴ △CDO≌△ CEO(AAS)
∴CD=CE.
【归纳】
定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
几何语言：
∵ OC平分∠AOB，CD⊥OB，CE⊥AO，
∴ CD=CE.
教师活动：总结强调定理满足条件，引导学生通过下面思考题进行辨析.
设计意图：通过对角平分线定理的证明，帮助学生理解记忆定理内容.
【思考交流】
如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？
假设∠AOB的平分线已作出，那么，
(1)这条射线有什么特征
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
(2)如何确定这条射线上的除端点之外的一个点 用三角尺、量角器、圆规等工具试一试. 如果只用尺规呢 与同伴进行交流.
预设：（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.
设计意图：引导学生探索确定角平分线上点的方法，特别是只用尺规作图的情况，锻炼学生的尺规作图技能，使学生掌握基本的几何作图方法，提高学生的动手操作能力和几何图形绘制能力.
环节三 应用新知
【典型例题】
教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.
例 利用尺规，作∠AOB(如下图)的平分线.
已知：∠AOB，如下图.
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.
分析：①利用构造全等三角形的方法，先在∠AOB的两边OB和OC上截取相等的线段OD、OE分别作为两个三角形的两边.
②在∠AOB内找到点C，使CD=CE.
③则△COD≌△COE (SSS)，得到∠AOC=∠BOC.
作法：
1.以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于D，交OB于E，则OD=OE．
2.分别以D，E为圆心．大于的长度为半径作弧．两弧在∠AOB内交于点C．
3.作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．
设计意图:通过解决例题让学生熟悉尺规作角平分线的步骤.注意引导学生利用构造全等三角形的方法作图.
【思考】
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，垂足为点E.DE与DC相等吗？为什么？
教师引导学生分析转化，让学生独立完成解答.
分析：
①由BD是∠ABC的平分线想到可以应用角平分线定理.
②DC⊥BC，DE⊥AB，满足角平分线定理的两个条件.
③应用角平分线定理可得DE=DC.
预设解答：相等，可以由角平分线定理证明.
证明： ∵BD是∠ABC的平分线
在Rt△ABC中，∠C=90°
∴ DC⊥BC
又∵ DE⊥AB
∴ DE=DC.
【思考交流】
过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点 与同伴进行交流.
预设：都涉及到了一个对称轴的概念.
在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性.
设计意图：通过这种类比思考，培养学生的类比思维能力，让学生学会从不同的几何操作中寻找共性，拓展思维深度和广度，提升学生对几何知识的整体把握能力，为后续学习更复杂的几何内容奠定思维基础.
【回顾反思】
回顾研究等腰三角形、线段、角的过程，你运用了哪些方法 积累了哪些经验
预设：方法：观察法,测量法,折叠与拼接法,推理与论证法.
经验：从特殊到一般，学会利用测量工具（直尺、量角器等）和操作手段（折叠、拼接等）帮助理解图形的性质，同时利用逻辑推理深化对图形本质的认识.
设计意图：有助于学生将这些经验迁移到后续的几何学习中，培养学生自主学习和探索的能力，让学生在面对新的几何问题时，能够运用已有的经验和方法进行分析和解决，提高学生的学习能力和数学素养.
环节四 巩固新知
【随堂练习】
教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.
1.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON，垂足为点A，点Q是射线OM上的一个动点.若PA=2，则线段PQ长度的最小值为多少？请说明理由.
2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，并交 BC于点D，DE⊥AB于点E，若 AB=6cm，则△DEB的周长是多少
3.如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是多少？
参考答案：
1.解：长度最小值为2.
∵ 直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.
∴ 过P做PQ⊥OM，垂足为Q，此时PQ即为所求.
又∵ OP平分∠MON，PA⊥ON.
∴ PQ=PA=2.
2.解：∵∠C=90°∴AC⊥DC
又∵ AD平分∠CAB，DE⊥AB
∴ DE=CD，△ACD≌△AED (AAS)
∴ AC=AE
又∵ AC=BC，∴BC=AE
∴ △ DEB的周长=EB+BD+DE=EB+BD+CD
=EB+BC=EB+AE=AB=6cm.
3.解：∵AD是△ABC中∠BAC的平分线
又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴DF=DE=2，
S△ABC=S△ABD+S△ADC
=AB·DE+AC·DF
∴
解得AC=3.
设计意图：通过课堂练习巩固新知，加深对角平分线定理的理解和的认识.
环节五 总结归纳
以思维导图的形式呈现本节课所讲解的内容.
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.