5.3 垂径定理（教学课件）（共20张PPT）鲁教版五四制九年级数学下册
文档属性
| 名称 | 5.3 垂径定理（教学课件）（共20张PPT）鲁教版五四制九年级数学下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 998.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 15:19:34 | ||
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文档简介
(共20张PPT)
九年级数学(下)第五章圆
5.3 垂径定理
赵 州 桥
赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，
问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
37.4
7.2
学习目标
1、利用圆的轴对称性探索垂径定理，识别垂径定理的常见图形，并能利用垂径定理进行画图、计算、证明.
2、经历探索、操作、推理的过程，进一步体会垂径定理在实际生活中的应用，培养创新意识.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E．
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆是否能重合
你能发现图中有那些相等的线段和相等的弧？
·
O
A
B
C
D
E
结论（1） 线段： AE=BE
（2）弧：AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
探究一：
验证发现
[验证篇]
⌒
已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
⌒
⌒
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
E
证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
归纳总结
结论篇
垂径定理: 垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧。
O
E
D
C
B
A
垂径定理用几何语言怎样表达
CD是直径 CD⊥弦AB
∵
⌒
⌒
⌒
⌒
∴ AE＝BE，
AD= BD ，AC=BC
总结：当直径CD⊥弦AB 时,则CD平分弦AB，
并且平分AB 及ACB
︵
︵
垂径定理的几个基本图形：
如图，AB是⊙O的一条弦，且AE=BE.过点E作直径CD.下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么 你能发现图中有哪些关系 与同伴说说你的想法和理由.
·
O
A
B
C
D
E
结论（1） 线段： CD⊥AB
( 2 )相等弧：AC=BC, AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理的推论
探究二
CD⊥AB,
垂径定理的推论
●O
C
D
CD是直径
AE=BE
可推得
⌒
⌒
AC=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
E
A
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条弦不是直径
．
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点o是 的圆 心)，其中CD=600m,E为 上一点，且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。
C
D
E
F
O
CD
⌒
CD
⌒
CD
⌒
学以致用
总结归纳
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，
弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
若下面的弓形高为h则r、d、h之间有怎样的关系
r=d+h
d
r
a
h
赵州石拱桥
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC=BD
o
o
A
B
C
D
┐E
证明：过O作OE⊥AB于E，
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
练一练
则 AE=BE,CE=DE
∴AE－CE=BE－DE
即AC=BD
体 会. 分 享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
课堂小结
垂径定理
知识方面
数学思想方面
情感方面
垂径定理及推论
辅助线的构造
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
F
E
D
O
C
A
B
挑战自我 做一做
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
·
O
A
B
C
D
E
证明：∵
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
爱因斯坦说过：提出一个问题往往比解决一个问题更重要，对观察过的事物能提出为什么，是我们解决问题走向创新的起点。
教师寄语
九年级数学(下)第五章圆
5.3 垂径定理
赵 州 桥
赵州桥是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．
问题 ：它的主桥是圆弧形,它的跨度
(弧所对的弦的长AB)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)7.2m，
问题情境:你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
37.4
7.2
学习目标
1、利用圆的轴对称性探索垂径定理，识别垂径定理的常见图形，并能利用垂径定理进行画图、计算、证明.
2、经历探索、操作、推理的过程，进一步体会垂径定理在实际生活中的应用，培养创新意识.
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB于E．
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆是否能重合
你能发现图中有那些相等的线段和相等的弧？
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B
C
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结论（1） 线段： AE=BE
（2）弧：AC=BC, AD=BD
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探究一：
验证发现
[验证篇]
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已知：在⊙O中，CD是直径， AB是弦，CD⊥AB，垂足为E。
求证：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD。
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A
B
C
D
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证明：连结OA、OB，则OA＝OB。
归纳总结
结论篇
垂径定理: 垂直于弦的直径，平分弦并且平分弦所对的两条弧。
O
E
D
C
B
A
垂径定理用几何语言怎样表达
CD是直径 CD⊥弦AB
∵
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∴ AE＝BE，
AD= BD ，AC=BC
总结：当直径CD⊥弦AB 时,则CD平分弦AB，
并且平分AB 及ACB
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垂径定理的几个基本图形：
如图，AB是⊙O的一条弦，且AE=BE.过点E作直径CD.下图是轴对称图形吗 如果是,其对称轴是什么 你能发现图中有哪些关系 与同伴说说你的想法和理由.
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结论（1） 线段： CD⊥AB
( 2 )相等弧：AC=BC, AD=BD
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垂径定理的推论
探究二
CD⊥AB,
垂径定理的推论
●O
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CD是直径
AE=BE
可推得
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AC=BC,
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AD=BD.
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平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
被平分的这条弦不是直径
．
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中 ，点o是 的圆 心)，其中CD=600m,E为 上一点，且OE⊥CD ，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。
C
D
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O
CD
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CD
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CD
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学以致用
总结归纳
若圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示，
弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系？
若下面的弓形高为h则r、d、h之间有怎样的关系
r=d+h
d
r
a
h
赵州石拱桥
解：如图，用 表示桥拱， 所在圆的圆心为O，半径为Rm，
经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与 相交于点C.根
据垂径定理，D是AB的中点，C是 的中点，CD就是拱高.
由题设
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
解得 R≈27.9（m）.
答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.
R
D
37.4
7.2
已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。
求证：AC=BD
o
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A
B
C
D
┐E
证明：过O作OE⊥AB于E，
解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。
练一练
则 AE=BE,CE=DE
∴AE－CE=BE－DE
即AC=BD
体 会. 分 享
能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？
课堂小结
垂径定理
知识方面
数学思想方面
情感方面
垂径定理及推论
辅助线的构造
如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， ∠ CEB=30°，DE=6㎝，CE=2㎝，求弦AB的长。
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C
A
B
挑战自我 做一做
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ABOE是正方形．
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A
B
C
D
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证明：∵
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴ AE=AD
∴ 四边形ADOE为正方形.
爱因斯坦说过：提出一个问题往往比解决一个问题更重要，对观察过的事物能提出为什么，是我们解决问题走向创新的起点。
教师寄语