4.6利用相似三角形测高 教学设计 北师大版（2024）数学九年级上册

利用相似三角形测高
一、教学内容分析
本节课是北师大版《数学九年级（上）》第四章第六节.本节课的内容是继《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用．它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学识模和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识．
二、学情分析
学生在本章前面几节课中已经学习了相似三角形的判定，初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备了利用三角形相似来解决现实世界中的具体问题的基本技能；在相关知识的学习过程和学生的实际生活中，学生已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力．
三、学习目标/教学目标
1.使学生能综合运用三角形相似的判定定理和定义解决问题．
2.通过测量旗杆的高度，使学生运用所学知识解决问题，以课后分组合作活动的方法进行实践以及进行全班交流，进一步积累数学活动经验．
四、学习重点、难点
教学重点：综合运用相似三角形判定定理和定义解决实际问题.
教学难点：解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系．
五、教学过程
（一）拓展思维、探究方法
学生课前预习、教师课堂引导、学生课上讨论，归纳总结出测量一些不能直接测量的物体的高度的方法：
1.利用阳光下的影子来测量旗杆的高度.
操作方法：一名学生直立于旗杆影子的顶端处,其他人测出该同学的影长和此时旗杆的影长（如图1）．
点拨：把太阳的光线看成是平行的．
图1
∵太阳的光线是平行的，
∴AE∥CB.
∴∠AEB＝∠CBD.
∵人与旗杆是垂直于地面的，
∴∠ABE＝∠CDB.
∴△ABE∽△CDB.
∴， 即CD=.
因此，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．
2.利用标杆测量旗杆的高度.
操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．
如图2，过点A作AN⊥DC于点N，交EF于点M．
图2
点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，
∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°.
∴人、标杆和旗杆是互相平行的．
∵EF∥CN，
∴∠1＝∠2.
∵∠3＝∠3，
∴△AME∽△ANC.
∴.
∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，
∴能求出CN的长度.
∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°，
∴四边形ABDN为矩形．
∴DN＝AB，
∴能求出旗杆CD的长度．
3.利用镜子的反射.
操作方法：选一名学生作为观测者（如图3）．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆顶端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．
点拨：入射角＝反射角.
图3
∵入射角＝反射角，
∴∠AEB＝∠CED.
∵人、旗杆都垂直于地面，
∴∠B＝∠D＝90°.
∴.
因此，测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度．
【设计意图】本环节是利用三角形相似原理来测量某些不能直接测量的物体的高度，提高了学生学习数学的兴趣和应用数学的意识．
（二）实践活动
将全班学生分成五人小组，选出组长，分头去户外自行寻找测量对象进行实际测量，被测物不一定是旗杆，也可以选择楼房、树等进行测量．
【设计意图】通过实践，提高学生的应用能力．
【注意事项】
1.教师要提前将学生分组，活动工具必须课前准备好，各小组都必须准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具．
2.教师在活动中要加强巡视观察、引导，对学生测量中的不当之处要立即纠正．
（三）丰富联想
通过以下问题的解决，充分发挥学生的聪明才智．
想一想：同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？你认为最优化的方法是哪种？
思路点拨：
1.如果旗杆周围有足够的空地使旗杆在太阳光照射下影子都在平地上，并能测出影子的长度，那么，可以在平地上直立一根小棒，等到小棒的影长恰好等于棒高时，再量旗杆的影子，此时旗杆的影子长度就是这个旗杆的高度．
2.可以直立一个已知长度的参照物在旗杆旁，照相后量出照片中旗杆与参照物的长度，再根据线段成比例来进行计算．
3.拿一根已知长度的直棒，手臂水平伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度，就可以利用三角形相似来进行计算．
（四）课堂小结
1.本节课你学到了哪些知识？
2.在运用科学知识进行实践过程中，你是否想到最优的方法？
3.在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？
4.你的同伴中你认为最值得你学习的是哪几个人？
【设计意图】通过活动，使学生对利用相似三角形的知识进行测量有一定认识，并逐步树立数学建模意识，提升应用能力．
六、作业设计
习题4.10 第1，2，4题.