1.1.1 空间向量及其线性运算 练习 （含答案）2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 1.1.1 空间向量及其线性运算 练习 （含答案）2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 282.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:29:02 | ||
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文档简介
1.1.1 空间向量及其线性运算(1)
一、 单项选择题
1 给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2 关于空间向量，下列说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反
C. 若向量，满足||>||，则>
D. 相等向量其方向必相同
3 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，(＋)－等于( )
A. B. C. D.
4 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A. －a＋b－c
B. a－b＋c
C. －a＋b＋c
D. a＋b－c
5 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是( )
A. －a＋b＋c
B. a＋b＋c
C. －a－b＋c
D. a－b＋c
6 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列关系式中错误的是( )
A. ＝
B. ＝－
C. ＝－
D. ＋＋＝
7如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于( )
A. a＋b＋c
B. a＋b－c
C. －a＋b＋c
D. a－b＋c
8 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为线段A1B，A1C上的点，则“＝且＝”是“M，N，D1三点共线”的( )
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
二、 多项选择题
9 如图，已知在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，CD的中点，则下列等式中正确的有( )
A. ＋＋＝
B. ＋－＝
C. ＋(＋)＝
D. －＋＝
(第9题) (第10题)
10 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间内一点，且满足＝λ＋μ，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法中正确的有( )
A. 当λ＝1时，点P在棱BB1上
B. 当μ＝1时，点P在棱B1C1上
C. 当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上
D. 当λ＝μ时，点P在线段BC1上
三、填空题
11 在三棱柱ABC-A1B1C1中，点M在线段CB1上，且CM＝2MB1，若用，，表示，则＝________.
12 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝x＋y＋z，则x－y－z＝________.
13 已知空间中互不平行的三个向量i，j，k，a＝4i＋λj＋μk，b＝μi＋2j＋3k，若a∥b，则μ＝________．
四、 解答题
14 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c. M是棱C1D1的中点，N是线段CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量：
(1) ；
(2) .
15 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果表示的向量．
(1) －；
(2) ＋＋.
16 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.设＝a，＝b，＝c.
(1) 若＝xa＋yb＋zc，求x，y，z的值；
(2) 求证：E，F，B三点共线．
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
一、 单项选择题
1 (吉林四校月考)下列关于空间向量的说法中，错误的是( )
A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C. 任意两个空间向量不一定共面
D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
2 (江阴六校期中)设a，b，c为空间内三个不共面的向量，＝2a＋3b＋5c，＝a＋2b－2c，＝ka＋b＋3c，若，，共面，则k的值为( )
A. B. C. D.
3 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为平面A1BC内一动点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为( )
A. 0
B. 1
C. 3
D. －1
4 (浙江四校月考)三个非零向量a，b，c，则“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 (雅礼中学月考)已知a，b，c为空间内不共面的三个向量，则下列选项中与向量m＝a－2c，n＝a＋2c不共面的向量是( )
A. a B. b C. c D. a－c
6 (南京玄武高级中学月考)已知a，b，c不共面，则下列向量中不共面的是( )
A. a＋b，a－b，b
B. a－b，a－b＋c，－c
C. a＋2b，a－2b，a＋c
D. a－2b，4b－2a，a＋c
7 (文山期末)对三维空间中不共线的三点A，B，C和任一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.已知A，B，C，D四点共面，O为空间中任意一点，且满足＝3－x－y，其中x>0，y>0，则＋的最小值为( )
A. B. 1 C. D. 4
8 (厦门一中月考)如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面三角形ABC的重心，M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若＝k，＝m，＝n，则＋＋的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、 多项选择题
9 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项中，不共面的一组向量有( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10 (温州十校联考)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是( )
A. ＝＋－
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
D. ＝3－－
三、填空题
11 (泰安二中期初)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，则λ＝________．
12 已知a，b，c是空间中三个不共面的向量，下列各组向量：①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a.其中不共面的是__________(填序号).
13 (南师大附中期末)已知正四面体PABC的棱长为1，空间中一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，则||的最小值为__________．
四、 解答题
14 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱B1B和D1D上，且＝，＝.
(1) 求证：A，E，C1，F四点共面；
(2) 若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
15 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中点，判断AC1上是否存在一点N，使得B，C，M，N四点共面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
16 (连云港惠泽高级中学月考)已知a，b，c是空间中不共面的向量，若＝2a－b＋c，＝a＋2b－c，＝－a＋mb＋nc.
(1) 若B，C，D三点共线，求m，n的值；
(2) 若A，B，C，D四点共面，求mn的最大值．
1．1.1 空间向量及其线性运算(1)
1. D 对于①，零向量的方向是任意的，故①正确；对于②，若两个空间向量相等，则它们方向相同，模长相等，故②错误；对于③，若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定满足向量a与b方向相同，故③错误；对于④，空间中任意两个单位向量的模相等，方向不一定相同，则向量不一定相等，故④错误．故正确命题的个数为1.
2. D 对于A，单位向量不一定同向，故A不正确；对于B，因为|a|＝|b|，所以a与b的长度相等，方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；对于D，由相等向量的定义知，相等向量的方向必相同，故D正确．
3. C 如图，结合向量加法的几何意义可得(＋)－＝＋＝.
4. A 由题意，得＝＋＝＋－＝－＋－＝－a＋b－c.
5. A 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以＝－a＋b＋c.
6. C 对于A，由向量相等可知＝，故A正确；对于B，＝＝－，故B正确；对于C，因为＝－，＝＝＋，则－＝－－，所以≠－，故C错误；对于D，＋＋＝＋＝，故D正确．
7. C 由题意，得＝＋＋＝＋(－)＋＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
8. B 设＝a，＝b，＝c，则＝－＝a－c.又＝，所以＝＝(a－c)，＝＋＝－b＋(a－c)＝(a－3b－c).因为＝＋＝a－c＋b，＝，所以＝＝(a－c＋b)，所以＝＋＝－b＋(a－c＋b)＝(a－3b－c)，所以＝，即∥.又D1是直线D1M和D1N的公共点，所以D1M和D1N共线，即M，N，D1三点在一条直线上．易知由M，N，D1共线无法得到＝且＝.故“＝且＝”是“M，N，D1三点共线”的充分不必要条件．
9. AC 对于A，＋＋＝＋＝，故A正确；对于B，＋－＝－≠，故B错误；对于C，＋(＋)＝＋＝，故C正确；对于D，－＋＝＋≠，故D错误．故选AC.
10. BCD 当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即点P在棱CC1上，故A错误；同理当μ＝1时，∥，故点P在棱B1C1上，故B正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，即＝λ，故点P在线段B1C上，故C正确；当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，故点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD.
11. ＋＋ 因为点M在线段CB1上，且CM＝2MB1，所以＝＝(＋)＝(－＋)，所以＝＋＝＋－＋＝＋＋.
12. －3 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＝－＋＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝1，所以x－y－z＝－3.
13. ±2 由题意，得a＝4i＋λj＋μk，b＝μi＋2j＋3k，显然b不是零向量．若a∥b，则存在实数t使得a＝tb，即解得μ＝±2.
14. (1) ＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(2) ＝＋
＝＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
15. (1) －＝－
＝＋＝＋＝.
(2) ＋＋＝＋＋
＝＋＝.
向量，如图所示．
16. (1) 因为＝，
所以＝，
故＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
又＝xa＋yb＋zc，
所以x＝，y＝，z＝－.
(2) 因为＝2，
所以＝，所以＝＝b.
由(1)知，＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c＝(a－b－c).
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝.
因为与有公共点E，
所以E，F，B三点共线．
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
1. C 任意两个空间向量一定共面，故C错误. 根据空间向量的概念可知，其余选项均正确．
2. D 若，，共面，则存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即2a＋3b＋5c＝λ(a＋2b－2c)＋μ(ka＋b＋3c)＝(λ＋kμ)a＋(2λ＋μ)b＋(－2λ＋3μ)c，则解得
3. B 因为P为平面A1BC内一动点，则P，A1，B，C四点共面，且＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝1.
4. B 若a，b，c共面，当a与b共线时，c＝λa＋μb(λ，μ∈R)不一定成立，所以充分性不成立；若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，根据向量线性运算的性质，可知c可以由a和b线性表示，则a，b，c必然共面，所以必要性成立，故“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的必要不充分条件．
5. B 对于A，由题意，得a＝(a－2c)＋(a＋2c)，故A错误；对于B，设b＝s(a－2c)＋t(a＋2c)，易得s，t不存在，故B正确；对于C，由题意，得c＝－(a－2c)＋(a＋2c)，故C错误；对于D，设a－c＝x(a－2c)＋y(a＋2c)＝(x＋y)a＋(2y－2x)c，则所以x＝，y＝，所以a－c＝(a－2c)＋(a＋2c)，故D错误．
6. C 因为b＝[(a＋b)－(a－b)]，所以a＋b，a－b，b共面，故A错误；因为a－b＋c＝a－b－(－c)，所以a－b，a－b＋c，－c共面，故B错误；因为4b－2a＝－2(a－2b)＋0(a＋c)，所以a－2b，4b－2a，a＋c共面，故D错误；对于C，不存在实数λ，μ，使得a＋2b＝λ(a－2b)＋μ(a＋c)成立，所以a＋2b，a－2b，a＋c不共面．
7. A 由题意，得－＝3－x－y，即＝4－x－y.因为A，B，C，D四点共面，所以4－x－y＝1，即x＋y＝3，所以＋＝(x＋y)＝≥，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以＋的最小值为.
8. D 由题意，得＝＝(＋)＝[＋×(＋)]＝[＋(－)＋(－)]＝＋＋.因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，所以－＝λ(－)＋μ(－)，所以＝(1－λ－μ)·＋λ＋μ＝(1－λ－μ)k＋λm＋μn，所以所以＋＋＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝.
9. AC 对于A，，，两两正交，所以，，不共面，故A正确；对于B，因为＝，所以＝＋＝＋，所以，，共面，故B错误；对于C，因为，在平面A1BCD1上，DC与平面A1BCD1不平行，所以，，不共面，故C正确；对于D，因为＝，所以＝＋＝＋，故，，共面，故D错误．故选AC.
10. ABD 因为A，B，C三点不共线，所以由共面向量定理可得对平面ABC外的任一点O，存在唯一一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即＝(1－λ－μ)＋λ＋μ，所以(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，所以ABD符合题意．故选ABD.
11. 若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，则根据空间向量共面定理，得＋＋λ＝1，解得λ＝.
12. ①③ 对于①，因为 a，b，c 是空间中三个不共面的向量，且 lmn≠0，所以 la，mb，nc 不共面，所以①符合题意；对于②，因为 －9c＋3a＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以 a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a 是共面向量，所以②不符合题意；对于③，若 a＋2b，b＋2c，c＋2a 是共面向量，则存在实数 λ，μ，使c＋2a＝λ(a＋2b)＋μ(b＋2c)，即 (1－2μ)c＝(λ－2)a＋(2λ＋μ)b.因为 a，b，c 是空间中三个不共面的向量，所以 1－2μ＝λ－2＝2λ＋μ＝0，不成立，所以 a＋2b，b＋2c，c＋2a 不共面，所以③符合题意．
13. 因为正四面体P-ABC的棱长为1，空间中一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，所以M，A，B，C四点共面，则||的最小值为三棱锥的高．如图，设点O为点P在平面ABC上的射影，连接OC并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，所以CO＝，故三棱锥的高为＝，所以||的最小值为.
14. (1) 由题意，得＝＋，＝＋.
因为＝，＝，
所以＝＋，＝＋.
由平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
可知＝，＝，即＝，
所以＝＋＝＋，
故A，E，C1，F四点共面．
(2) 因为＝＋＝＋＋
＝＋＋－
＝－＋－
＝－＋＋
＝x＋y＋z，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
故x＋y＋z＝.
15. 存在，理由如下：
令＝a，＝b，＝c，
设＝λ＝λ(a＋b＋c)，则＝－b，＝＋＝c＋(－a)＝c－a，
且＝＋＋＝－b＋(－a)＋λ(a＋b＋c)＝(λ－1)a＋(λ－1)b＋λc.
若B，C，M，N四点共面，则存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
则(λ－1)a＋(λ－1)b＋λc＝x(－b)＋y(c－a)，
则解得λ＝，即＝2.
故AC1上存在点N，使得B，C，M，N四点共面．
16. (1) 因为B，C，D三点共线，所以＝λ.
又＝－＝－a＋3b－2c，＝－＝－3a＋(m＋1)b＋(n－1)c，
则解得
(2) 因为A，B，C，D四点共面，
所以＝x＋y，
所以－a＋mb＋nc＝x(2a－b＋c)＋y(a＋2b－c)，
所以解得3m＋5n＝－1，
所以mn＝m·＝(－3m2－m)，
当m＝－时，取到最大值.
一、 单项选择题
1 给出下列命题：①零向量的方向是任意的；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
2 关于空间向量，下列说法中正确的是( )
A. 单位向量都相等
B. 若|a|＝|b|，则a，b的长度相等，方向相同或相反
C. 若向量，满足||>||，则>
D. 相等向量其方向必相同
3 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，(＋)－等于( )
A. B. C. D.
4 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则等于( )
A. －a＋b－c
B. a－b＋c
C. －a＋b＋c
D. a＋b－c
5 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的是( )
A. －a＋b＋c
B. a＋b＋c
C. －a－b＋c
D. a－b＋c
6 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列关系式中错误的是( )
A. ＝
B. ＝－
C. ＝－
D. ＋＋＝
7如图，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，且OM＝2MA，BN＝NC，则等于( )
A. a＋b＋c
B. a＋b－c
C. －a＋b＋c
D. a－b＋c
8 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为线段A1B，A1C上的点，则“＝且＝”是“M，N，D1三点共线”的( )
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
二、 多项选择题
9 如图，已知在四面体ABCD中，E，F分别是棱BC，CD的中点，则下列等式中正确的有( )
A. ＋＋＝
B. ＋－＝
C. ＋(＋)＝
D. －＋＝
(第9题) (第10题)
10 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为空间内一点，且满足＝λ＋μ，λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列说法中正确的有( )
A. 当λ＝1时，点P在棱BB1上
B. 当μ＝1时，点P在棱B1C1上
C. 当λ＋μ＝1时，点P在线段B1C上
D. 当λ＝μ时，点P在线段BC1上
三、填空题
11 在三棱柱ABC-A1B1C1中，点M在线段CB1上，且CM＝2MB1，若用，，表示，则＝________.
12 在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝x＋y＋z，则x－y－z＝________.
13 已知空间中互不平行的三个向量i，j，k，a＝4i＋λj＋μk，b＝μi＋2j＋3k，若a∥b，则μ＝________．
四、 解答题
14 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c. M是棱C1D1的中点，N是线段CA1上的点，且CN∶NA1＝4∶1.用a，b，c表示以下向量：
(1) ；
(2) .
15 如图，已知长方体ABCD-A′B′C′D′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果表示的向量．
(1) －；
(2) ＋＋.
16 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在棱A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝.设＝a，＝b，＝c.
(1) 若＝xa＋yb＋zc，求x，y，z的值；
(2) 求证：E，F，B三点共线．
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
一、 单项选择题
1 (吉林四校月考)下列关于空间向量的说法中，错误的是( )
A. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量
B. 直线可以由其上一点和它的方向向量确定
C. 任意两个空间向量不一定共面
D. 任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量
2 (江阴六校期中)设a，b，c为空间内三个不共面的向量，＝2a＋3b＋5c，＝a＋2b－2c，＝ka＋b＋3c，若，，共面，则k的值为( )
A. B. C. D.
3 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P为平面A1BC内一动点，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为( )
A. 0
B. 1
C. 3
D. －1
4 (浙江四校月考)三个非零向量a，b，c，则“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 (雅礼中学月考)已知a，b，c为空间内不共面的三个向量，则下列选项中与向量m＝a－2c，n＝a＋2c不共面的向量是( )
A. a B. b C. c D. a－c
6 (南京玄武高级中学月考)已知a，b，c不共面，则下列向量中不共面的是( )
A. a＋b，a－b，b
B. a－b，a－b＋c，－c
C. a＋2b，a－2b，a＋c
D. a－2b，4b－2a，a＋c
7 (文山期末)对三维空间中不共线的三点A，B，C和任一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数组(x，y，z)，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1.已知A，B，C，D四点共面，O为空间中任意一点，且满足＝3－x－y，其中x>0，y>0，则＋的最小值为( )
A. B. 1 C. D. 4
8 (厦门一中月考)如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面三角形ABC的重心，M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若＝k，＝m，＝n，则＋＋的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、 多项选择题
9 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列选项中，不共面的一组向量有( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
10 (温州十校联考)已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是( )
A. ＝＋－
B. ＝＋＋
C. ＝＋＋
D. ＝3－－
三、填空题
11 (泰安二中期初)已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，则λ＝________．
12 已知a，b，c是空间中三个不共面的向量，下列各组向量：①la，mb，nc(lmn≠0)；②a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a；③a＋2b，b＋2c，c＋2a.其中不共面的是__________(填序号).
13 (南师大附中期末)已知正四面体PABC的棱长为1，空间中一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，则||的最小值为__________．
四、 解答题
14 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别在棱B1B和D1D上，且＝，＝.
(1) 求证：A，E，C1，F四点共面；
(2) 若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．
15 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱C1D1的中点，判断AC1上是否存在一点N，使得B，C，M，N四点共面，若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
16 (连云港惠泽高级中学月考)已知a，b，c是空间中不共面的向量，若＝2a－b＋c，＝a＋2b－c，＝－a＋mb＋nc.
(1) 若B，C，D三点共线，求m，n的值；
(2) 若A，B，C，D四点共面，求mn的最大值．
1．1.1 空间向量及其线性运算(1)
1. D 对于①，零向量的方向是任意的，故①正确；对于②，若两个空间向量相等，则它们方向相同，模长相等，故②错误；对于③，若空间向量a，b满足|a|＝|b|，则不一定满足向量a与b方向相同，故③错误；对于④，空间中任意两个单位向量的模相等，方向不一定相同，则向量不一定相等，故④错误．故正确命题的个数为1.
2. D 对于A，单位向量不一定同向，故A不正确；对于B，因为|a|＝|b|，所以a与b的长度相等，方向不一定相同或相反，故B错误；对于C，向量作为矢量不能比较大小，故C错误；对于D，由相等向量的定义知，相等向量的方向必相同，故D正确．
3. C 如图，结合向量加法的几何意义可得(＋)－＝＋＝.
4. A 由题意，得＝＋＝＋－＝－＋－＝－a＋b－c.
5. A 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，＝a，＝b，＝c，则＝＋＋＝－＋＋＝－＋＋(＋)＝－＋＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c，所以＝－a＋b＋c.
6. C 对于A，由向量相等可知＝，故A正确；对于B，＝＝－，故B正确；对于C，因为＝－，＝＝＋，则－＝－－，所以≠－，故C错误；对于D，＋＋＝＋＝，故D正确．
7. C 由题意，得＝＋＋＝＋(－)＋＝－＋＋(－)＝－＋＋＝－a＋b＋c.
8. B 设＝a，＝b，＝c，则＝－＝a－c.又＝，所以＝＝(a－c)，＝＋＝－b＋(a－c)＝(a－3b－c).因为＝＋＝a－c＋b，＝，所以＝＝(a－c＋b)，所以＝＋＝－b＋(a－c＋b)＝(a－3b－c)，所以＝，即∥.又D1是直线D1M和D1N的公共点，所以D1M和D1N共线，即M，N，D1三点在一条直线上．易知由M，N，D1共线无法得到＝且＝.故“＝且＝”是“M，N，D1三点共线”的充分不必要条件．
9. AC 对于A，＋＋＝＋＝，故A正确；对于B，＋－＝－≠，故B错误；对于C，＋(＋)＝＋＝，故C正确；对于D，－＋＝＋≠，故D错误．故选AC.
10. BCD 当λ＝1时，＝＋μ，所以＝μ，则∥，即点P在棱CC1上，故A错误；同理当μ＝1时，∥，故点P在棱B1C1上，故B正确；当λ＋μ＝1时，μ＝1－λ，所以＝λ＋(1－λ)，即＝λ，故点P在线段B1C上，故C正确；当λ＝μ时，＝λ(＋)＝λ，故点P在线段BC1上，故D正确．故选BCD.
11. ＋＋ 因为点M在线段CB1上，且CM＝2MB1，所以＝＝(＋)＝(－＋)，所以＝＋＝＋－＋＝＋＋.
12. －3 如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，＝＋＝－＋＝－＋＋，所以x＝－1，y＝1，z＝1，所以x－y－z＝－3.
13. ±2 由题意，得a＝4i＋λj＋μk，b＝μi＋2j＋3k，显然b不是零向量．若a∥b，则存在实数t使得a＝tb，即解得μ＝±2.
14. (1) ＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(2) ＝＋
＝＋(－)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
15. (1) －＝－
＝＋＝＋＝.
(2) ＋＋＝＋＋
＝＋＝.
向量，如图所示．
16. (1) 因为＝，
所以＝，
故＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.
又＝xa＋yb＋zc，
所以x＝，y＝，z＝－.
(2) 因为＝2，
所以＝，所以＝＝b.
由(1)知，＝a＋b－c，
所以＝－＝a－b－c＝(a－b－c).
又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以＝.
因为与有公共点E，
所以E，F，B三点共线．
1．1.1 空间向量及其线性运算(2)
1. C 任意两个空间向量一定共面，故C错误. 根据空间向量的概念可知，其余选项均正确．
2. D 若，，共面，则存在实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即2a＋3b＋5c＝λ(a＋2b－2c)＋μ(ka＋b＋3c)＝(λ＋kμ)a＋(2λ＋μ)b＋(－2λ＋3μ)c，则解得
3. B 因为P为平面A1BC内一动点，则P，A1，B，C四点共面，且＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝1.
4. B 若a，b，c共面，当a与b共线时，c＝λa＋μb(λ，μ∈R)不一定成立，所以充分性不成立；若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，根据向量线性运算的性质，可知c可以由a和b线性表示，则a，b，c必然共面，所以必要性成立，故“a，b，c共面”是“c＝λa＋μb(λ，μ∈R)”的必要不充分条件．
5. B 对于A，由题意，得a＝(a－2c)＋(a＋2c)，故A错误；对于B，设b＝s(a－2c)＋t(a＋2c)，易得s，t不存在，故B正确；对于C，由题意，得c＝－(a－2c)＋(a＋2c)，故C错误；对于D，设a－c＝x(a－2c)＋y(a＋2c)＝(x＋y)a＋(2y－2x)c，则所以x＝，y＝，所以a－c＝(a－2c)＋(a＋2c)，故D错误．
6. C 因为b＝[(a＋b)－(a－b)]，所以a＋b，a－b，b共面，故A错误；因为a－b＋c＝a－b－(－c)，所以a－b，a－b＋c，－c共面，故B错误；因为4b－2a＝－2(a－2b)＋0(a＋c)，所以a－2b，4b－2a，a＋c共面，故D错误；对于C，不存在实数λ，μ，使得a＋2b＝λ(a－2b)＋μ(a＋c)成立，所以a＋2b，a－2b，a＋c不共面．
7. A 由题意，得－＝3－x－y，即＝4－x－y.因为A，B，C，D四点共面，所以4－x－y＝1，即x＋y＝3，所以＋＝(x＋y)＝≥，当且仅当x＝y＝时，等号成立，所以＋的最小值为.
8. D 由题意，得＝＝(＋)＝[＋×(＋)]＝[＋(－)＋(－)]＝＋＋.因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，所以－＝λ(－)＋μ(－)，所以＝(1－λ－μ)·＋λ＋μ＝(1－λ－μ)k＋λm＋μn，所以所以＋＋＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝.
9. AC 对于A，，，两两正交，所以，，不共面，故A正确；对于B，因为＝，所以＝＋＝＋，所以，，共面，故B错误；对于C，因为，在平面A1BCD1上，DC与平面A1BCD1不平行，所以，，不共面，故C正确；对于D，因为＝，所以＝＋＝＋，故，，共面，故D错误．故选AC.
10. ABD 因为A，B，C三点不共线，所以由共面向量定理可得对平面ABC外的任一点O，存在唯一一对实数λ，μ，使得＝λ＋μ，即＝(1－λ－μ)＋λ＋μ，所以(1－λ－μ)＋λ＋μ＝1，所以ABD符合题意．故选ABD.
11. 若由向量＝＋＋λ确定的点P与A，B，C共面，则根据空间向量共面定理，得＋＋λ＝1，解得λ＝.
12. ①③ 对于①，因为 a，b，c 是空间中三个不共面的向量，且 lmn≠0，所以 la，mb，nc 不共面，所以①符合题意；对于②，因为 －9c＋3a＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，所以 a＋2b，2b＋3c，－9c＋3a 是共面向量，所以②不符合题意；对于③，若 a＋2b，b＋2c，c＋2a 是共面向量，则存在实数 λ，μ，使c＋2a＝λ(a＋2b)＋μ(b＋2c)，即 (1－2μ)c＝(λ－2)a＋(2λ＋μ)b.因为 a，b，c 是空间中三个不共面的向量，所以 1－2μ＝λ－2＝2λ＋μ＝0，不成立，所以 a＋2b，b＋2c，c＋2a 不共面，所以③符合题意．
13. 因为正四面体P-ABC的棱长为1，空间中一点M满足＝x＋y＋z，其中x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1，所以M，A，B，C四点共面，则||的最小值为三棱锥的高．如图，设点O为点P在平面ABC上的射影，连接OC并延长交AB于点H，则CH⊥AB，所以CH＝，所以CO＝，故三棱锥的高为＝，所以||的最小值为.
14. (1) 由题意，得＝＋，＝＋.
因为＝，＝，
所以＝＋，＝＋.
由平行六面体ABCD-A1B1C1D1，
可知＝，＝，即＝，
所以＝＋＝＋，
故A，E，C1，F四点共面．
(2) 因为＝＋＝＋＋
＝＋＋－
＝－＋－
＝－＋＋
＝x＋y＋z，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
故x＋y＋z＝.
15. 存在，理由如下：
令＝a，＝b，＝c，
设＝λ＝λ(a＋b＋c)，则＝－b，＝＋＝c＋(－a)＝c－a，
且＝＋＋＝－b＋(－a)＋λ(a＋b＋c)＝(λ－1)a＋(λ－1)b＋λc.
若B，C，M，N四点共面，则存在实数x，y，使得＝x＋y成立，
则(λ－1)a＋(λ－1)b＋λc＝x(－b)＋y(c－a)，
则解得λ＝，即＝2.
故AC1上存在点N，使得B，C，M，N四点共面．
16. (1) 因为B，C，D三点共线，所以＝λ.
又＝－＝－a＋3b－2c，＝－＝－3a＋(m＋1)b＋(n－1)c，
则解得
(2) 因为A，B，C，D四点共面，
所以＝x＋y，
所以－a＋mb＋nc＝x(2a－b＋c)＋y(a＋2b－c)，
所以解得3m＋5n＝－1，
所以mn＝m·＝(－3m2－m)，
当m＝－时，取到最大值.