1.1.2 空间向量的数量积运算 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 1.1.2 空间向量的数量积运算 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 183.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:29:30 | ||
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文档简介
1．1.2 空间向量的数量积运算
一、 单项选择题
1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝3||2；②·(－)＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 若四面体OABC的四个面均为等边三角形，则cos 〈，〉的值为( )
A. B. C. － D. 0
3 已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋c＝0，|a|＝|b|＝|c|＝1，则a与b的夹角为( )
A. 30° B. 150°
C. 60° D. 120°
4 如图，二面角α-l-β的平面角等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD等于( )
A. 2 B. 2 C. D.
(第4题) (第5题)
5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则·等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
6在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则AC1的长为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 6
7 在正三棱锥P-ABC中，点O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·(＋)的值为( )
A. B. C. D.
8 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足＝x＋y＋(1－x－y)，点N满足＝λ－(λ－1)，当AM，DN最短时，·的值为( )
A. － B. C. － D.
二、 多项选择题
9 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，点S到点A，B，C，D的距离都为2，则下列结论中正确的是( )
A. ＋－－＝0
B. －＋－＝0
C. ·＝·
D. ·＝0
10如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A. AC1＝6
B. AC1⊥DB
C. 向量与的夹角是60°
D. BD1与AC所成角的余弦值为
三、填空题
11 已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝2，|c|＝2，则〈a，b〉＝________.
12 如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，∠AOC＝∠BOC＝60°，OA＝4，OB＝4，OC＝5，＝3，＝，则||的值为________．
13 在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则·的最小值是________．
四、 解答题
14 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，求：
(1) a·(b＋c)；
(2) a·(a＋b＋c)；
(3) (a＋b)·(b＋c).
15 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝2，设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示；
(2) 求MN的长度．
16 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，点M在棱PC上，＝，设＝a，＝b，＝c.
(1) 试用a，b，c表示出向量；
(2) 求与所成的角的余弦值．
1．1.2 空间向量的数量积运算
1. C 对于①，(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3||2，故①正确；对于②，·(－)＝·＝0，故②正确；对于③，因为∥，AD1，AC，D1C分别为面的对角线，所以∠AD1C＝60°，所以与的夹角为120°，故③错误．故正确命题的个数为2.
2. D 由题意，得空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，设棱长均为a.又＝－，所以·(－)＝·－·＝a2·cos －a2·cos ＝0，所以cos 〈，〉＝＝＝0.
3. C 设a与b的夹角为θ，由a＋2b＋c＝0，得a＋2b＝－c，两边平方，得a2＋4a·b＋4b2＝7c2，所以1＋4×1×1×cos θ＋4＝7，解得cos θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.
4. C 由已知，得二面角α-l-β的平面角等于150°，即〈，〉＝150°.因为＝－＝＋－，所以||2＝(＋－)2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝4＋3＋4＋0－0－2×2××＝17，所以CD＝.
5. A 由题意，得·＝(－)·＝(＋－)·＝||2＋·－·.又AA1⊥AD，AB⊥AD，所以·＝·＝0，故原式＝12＋0－0＝1.
6. C 如图，因为＝＋＋＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4＋4＋4＋2×2×2×cos 60°＋2×2×2×cos 60°＋2×2×2×cos 60°＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2，即AC1的长为2.
7. C 如图，取棱AB的中点D，连接PD，CD，OA，则点O在CD上．因为正三角形ABC的边长为2，点O为△ABC的中心，所以AO＝CD＝＝，DO＝CD＝.又PA＝AB＝2，D为棱AB的中点，所以PD＝＝，所以PO＝＝＝，cos ∠DPO＝＝，所以·(＋)＝2·＝2×××＝.
8. A 因为＝x＋y＋(1－x－y)，＝λ－(λ－1)，所以点M在平面BCD上，点N在直线AB上，当AM，DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥AB，所以M为△BCD的中心，N为线段AB的中点，如图所示．又正四面体的棱长为1，所以AD＝1，DM＝·＝，则AM＝.因为AM⊥平面BCD，所以·＝·＝，所以·＝·(－)＝·＝·－||2＝×－＝－.
9. BC 对于A，＋－－＝＋≠0，故A错误；对于B，－＋－＝＋＝0，故B正确；对于C，因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos ∠ASB，·＝2×2cos ∠CSD.又∠ASB＝∠CSD，所以·＝·，故C正确；对于D，在正方形ABCD中，AC＝AB＝，SA＝SC＝2，则SA2＋SC2≠AC2，所以，不垂直，所以·≠0，故D错误．故选BC.
10. AB 因为以A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝|＋＋|＝6，故A正确；·＝(＋＋)·(－)＝1·－·＋||2－·＋·－||2＝0，故B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，故C错误；因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，·＝(＋－)·(＋)＝36，所以cos 〈，〉＝＝＝，故D错误．故选AB.
11. 60° 由题意，得c＝－a－b，则|c|2＝(－a－b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，所以12＝4＋2a·b＋4，则a·b＝2，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以a与b的夹角为60°.
12. 由题意，得＝＋＋＝－＋＋(－)＝－＋＋.又·＝0，·＝4×5×cos 60°＝10，·＝4×5×cos 60°＝10，所以||2＝＝×42＋×52＋×42＋2×××10－2×××10＝4＋＋9＋5－＝.故||的值为.
13. 在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝1，cos ∠PAC＝＝，设＝λ，0≤λ≤1，因为＝＋＝＋λ，＝＋＝＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋λ)＝·＋λ·＋λ·＋λ2||2＝4×－4λ＋4λ2＝－4λ＋4λ2.因为0≤λ≤1，所以当λ＝时，(·)min＝－2＋1＝.
14. (1) a·(b＋c)＝·＝0.
(2) a·(a＋b＋c)＝a·a＋a·b＋a·c＝1＋0＋0＝1.
(3) (a＋b)·(b＋c)＝·＝××cos 60°＝1.
15. (1) ＝＋＋
＝＋＋－
＝＋＋－(＋)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2) 因为＝2，
所以M是线段D1B的中点，
所以A，M，C1三点共线，且M是线段AC1的中点，
所以＝＝(a＋b＋c)，
所以＝－＝－(a＋b＋c)＝a＋b＋c.
因为|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，a·b＝0，a·c＝2×1×cos 60°＝1，b·c＝2×1×cos 60°＝1，
所以||2＝＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋a·c＋b·c＋a·b＝＋＋＋＋＋0＝，
即MN的长度为.
16. (1) 因为＝，
所以＝＋＝＋.
因为四边形ABCD是正方形，
所以＝－＝－(＋)＝－－，＝，
所以＝＋(－－)＝－＋＋.
又＝a，＝b，＝c，
所以＝－a＋b＋c.
(2) 由题意可知|a|＝|b|＝1，|c|＝2，c与a，b的夹角均为60°，a与b的夹角为90°，
所以||2＝＝|a|2＋|b|2＋|c|2－a·b－a·c＋b·c＝＋＋－＋＝，
所以||＝.
因为||＝|c|＝2，
所以·＝·c＝－a·c＋b·c＋|c|2＝－×1×2cos 60°＋×1×2cos 60°＋×4＝.
设与所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝.
一、 单项选择题
1 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝3||2；②·(－)＝0；③与的夹角为60°，其中正确命题的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 若四面体OABC的四个面均为等边三角形，则cos 〈，〉的值为( )
A. B. C. － D. 0
3 已知空间向量a，b，c满足a＋2b＋c＝0，|a|＝|b|＝|c|＝1，则a与b的夹角为( )
A. 30° B. 150°
C. 60° D. 120°
4 如图，二面角α-l-β的平面角等于150°，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面α，β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝2，BD＝，则CD等于( )
A. 2 B. 2 C. D.
(第4题) (第5题)
5 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则·等于( )
A. 1 B. 2 C. 3 D.
6在所有棱长均为2的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠A1AB＝∠A1AD＝∠BAD＝60°，则AC1的长为( )
A. 2 B. 2 C. 2 D. 6
7 在正三棱锥P-ABC中，点O是△ABC的中心，PA＝AB＝2，则·(＋)的值为( )
A. B. C. D.
8 在棱长为1的正四面体ABCD中，点M满足＝x＋y＋(1－x－y)，点N满足＝λ－(λ－1)，当AM，DN最短时，·的值为( )
A. － B. C. － D.
二、 多项选择题
9 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，点S到点A，B，C，D的距离都为2，则下列结论中正确的是( )
A. ＋－－＝0
B. －＋－＝0
C. ·＝·
D. ·＝0
10如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A. AC1＝6
B. AC1⊥DB
C. 向量与的夹角是60°
D. BD1与AC所成角的余弦值为
三、填空题
11 已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝|b|＝2，|c|＝2，则〈a，b〉＝________.
12 如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，∠AOC＝∠BOC＝60°，OA＝4，OB＝4，OC＝5，＝3，＝，则||的值为________．
13 在三棱锥P-ABC中，△PAB和△ABC都是等边三角形，AB＝2，PC＝1，D为棱AB上一点，则·的最小值是________．
四、 解答题
14 如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为1，设＝a，＝b，＝c，求：
(1) a·(b＋c)；
(2) a·(a＋b＋c)；
(3) (a＋b)·(b＋c).
15 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，AD＝AB＝2，AA1＝1，∠A1AB＝∠DAA1＝60°，＝3，＝2，设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示；
(2) 求MN的长度．
16 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，点M在棱PC上，＝，设＝a，＝b，＝c.
(1) 试用a，b，c表示出向量；
(2) 求与所成的角的余弦值．
1．1.2 空间向量的数量积运算
1. C 对于①，(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3||2，故①正确；对于②，·(－)＝·＝0，故②正确；对于③，因为∥，AD1，AC，D1C分别为面的对角线，所以∠AD1C＝60°，所以与的夹角为120°，故③错误．故正确命题的个数为2.
2. D 由题意，得空间四边形OABC的四个面均为等边三角形，设棱长均为a.又＝－，所以·(－)＝·－·＝a2·cos －a2·cos ＝0，所以cos 〈，〉＝＝＝0.
3. C 设a与b的夹角为θ，由a＋2b＋c＝0，得a＋2b＝－c，两边平方，得a2＋4a·b＋4b2＝7c2，所以1＋4×1×1×cos θ＋4＝7，解得cos θ＝.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝60°.
4. C 由已知，得二面角α-l-β的平面角等于150°，即〈，〉＝150°.因为＝－＝＋－，所以||2＝(＋－)2＝||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·＝4＋3＋4＋0－0－2×2××＝17，所以CD＝.
5. A 由题意，得·＝(－)·＝(＋－)·＝||2＋·－·.又AA1⊥AD，AB⊥AD，所以·＝·＝0，故原式＝12＋0－0＝1.
6. C 如图，因为＝＋＋＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝4＋4＋4＋2×2×2×cos 60°＋2×2×2×cos 60°＋2×2×2×cos 60°＝4＋4＋4＋4＋4＋4＝24，所以||＝2，即AC1的长为2.
7. C 如图，取棱AB的中点D，连接PD，CD，OA，则点O在CD上．因为正三角形ABC的边长为2，点O为△ABC的中心，所以AO＝CD＝＝，DO＝CD＝.又PA＝AB＝2，D为棱AB的中点，所以PD＝＝，所以PO＝＝＝，cos ∠DPO＝＝，所以·(＋)＝2·＝2×××＝.
8. A 因为＝x＋y＋(1－x－y)，＝λ－(λ－1)，所以点M在平面BCD上，点N在直线AB上，当AM，DN最短时，AM⊥平面BCD，DN⊥AB，所以M为△BCD的中心，N为线段AB的中点，如图所示．又正四面体的棱长为1，所以AD＝1，DM＝·＝，则AM＝.因为AM⊥平面BCD，所以·＝·＝，所以·＝·(－)＝·＝·－||2＝×－＝－.
9. BC 对于A，＋－－＝＋≠0，故A错误；对于B，－＋－＝＋＝0，故B正确；对于C，因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以·＝2×2×cos ∠ASB，·＝2×2cos ∠CSD.又∠ASB＝∠CSD，所以·＝·，故C正确；对于D，在正方形ABCD中，AC＝AB＝，SA＝SC＝2，则SA2＋SC2≠AC2，所以，不垂直，所以·≠0，故D错误．故选BC.
10. AB 因为以A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以·＝·＝·＝6×6×cos 60°＝18，(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则||＝|＋＋|＝6，故A正确；·＝(＋＋)·(－)＝1·－·＋||2－·＋·－||2＝0，故B正确；显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°.因为＝，且向量与的夹角是120°，所以与的夹角是120°，故C错误；因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝6，||＝＝6，·＝(＋－)·(＋)＝36，所以cos 〈，〉＝＝＝，故D错误．故选AB.
11. 60° 由题意，得c＝－a－b，则|c|2＝(－a－b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2，所以12＝4＋2a·b＋4，则a·b＝2，所以cos 〈a，b〉＝＝＝.因为0°≤〈a，b〉≤180°，所以a与b的夹角为60°.
12. 由题意，得＝＋＋＝－＋＋(－)＝－＋＋.又·＝0，·＝4×5×cos 60°＝10，·＝4×5×cos 60°＝10，所以||2＝＝×42＋×52＋×42＋2×××10－2×××10＝4＋＋9＋5－＝.故||的值为.
13. 在△PAC中，PA＝AC＝2，PC＝1，cos ∠PAC＝＝，设＝λ，0≤λ≤1，因为＝＋＝＋λ，＝＋＝＋λ，所以·＝(＋λ)·(＋λ)＝·＋λ·＋λ·＋λ2||2＝4×－4λ＋4λ2＝－4λ＋4λ2.因为0≤λ≤1，所以当λ＝时，(·)min＝－2＋1＝.
14. (1) a·(b＋c)＝·＝0.
(2) a·(a＋b＋c)＝a·a＋a·b＋a·c＝1＋0＋0＝1.
(3) (a＋b)·(b＋c)＝·＝××cos 60°＝1.
15. (1) ＝＋＋
＝＋＋－
＝＋＋－(＋)
＝＋＋
＝a＋b＋c.
(2) 因为＝2，
所以M是线段D1B的中点，
所以A，M，C1三点共线，且M是线段AC1的中点，
所以＝＝(a＋b＋c)，
所以＝－＝－(a＋b＋c)＝a＋b＋c.
因为|a|＝2，|b|＝2，|c|＝1，a·b＝0，a·c＝2×1×cos 60°＝1，b·c＝2×1×cos 60°＝1，
所以||2＝＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋a·c＋b·c＋a·b＝＋＋＋＋＋0＝，
即MN的长度为.
16. (1) 因为＝，
所以＝＋＝＋.
因为四边形ABCD是正方形，
所以＝－＝－(＋)＝－－，＝，
所以＝＋(－－)＝－＋＋.
又＝a，＝b，＝c，
所以＝－a＋b＋c.
(2) 由题意可知|a|＝|b|＝1，|c|＝2，c与a，b的夹角均为60°，a与b的夹角为90°，
所以||2＝＝|a|2＋|b|2＋|c|2－a·b－a·c＋b·c＝＋＋－＋＝，
所以||＝.
因为||＝|c|＝2，
所以·＝·c＝－a·c＋b·c＋|c|2＝－×1×2cos 60°＋×1×2cos 60°＋×4＝.
设与所成的角为θ，
则cos θ＝＝＝.