1.2 空间向量基本定理 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 1.2 空间向量基本定理 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 390.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:29:54 | ||
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文档简介
1．2 空间向量基本定理
1.2.1 空间向量基本定理(1)
一、 单项选择题
1在下列三个命题，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则，b，c}构成空间的一个基底．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 若a，b，c构成空间的一个基底，则下列向量中能构成空间的一个基底的是( )
A. a＋b，a－c，b B. c，b＋c，b－c
C. b＋c，a＋b＋c，a D. a，a＋b，a－b
3 在四面体OABC中，M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y等于( )
A. － B. C. D. －
4如图，在四面体ABCD中，＝，＝，设＝a，＝b，＝c，若向量＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z等于( )
A. B. 0 C. D.
(第4题) (第5题)
5 如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A. a－b－c B. －a＋b＋c
C. －a＋b＋c D. a－b－c
6 已知空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝4，y＝－5，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7已知点D在△ABC所确定的平面内，O是空间中任意一点，实数x，y满足＝x＋2y－，则x2＋y2的最小值为( )
A. B.
C. 1 D. 2
8已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且＝＋λ＋μ(λ，μ∈R)，若P，A，B，C四点共面，则函数f(x)＝x2－3(λ＋μ)x－1(x∈[－1，2])的最小值是( )
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
二、 多项选择题
9 若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量中可以构成空间基底的是( )
A. a＋b，a－b，a
B. a＋b，a－b，c
C. a＋b，a－b，b＋c
D. a＋b，a＋b＋c，c
10 在四面体OABC中，E，F分别是OA，BC的中点，P为线段EF上一点，且PF＝2EP，设＝a，＝b，＝c，则下列结论中正确的有( )
A. ＝b＋c
B. ＝－a＋b＋c
C. ＝－a＋b＋c
D. ＝a＋b＋c
三、填空题
11 如图，已知E，F分别是四面体ABCD的棱AD，BC的中点，点G在线段EF上，且EG＝2GF，设向量＝a，＝b，＝c，则＝__________．(用向量a，b，c表示)
12 在四面体ABCD中，已知E为线段BC上的点，O为线段DE上的点，且＝，＝，若＝x＋y＋z，则xyz的值为________.
13 在正四棱锥P-ABCD中，若＝，＝，平面AEF与棱PD交于点G，若＝λ，则λ＝__________．
四、 解答题
14 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1) 化简：－－；
(2) 设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，求实数x，y，z的值．
15 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1如图所示，其中∠DD1C1＝∠ADD1＝∠ADC＝120°，AC与BD交于点O，点E在线段B1C1上，且B1E＝C1E，F，G分别是线段AA1，DC的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示，；
(2) 若DA＝DC＝4，DD1＝6，求·的值．
16 在棱长为2的正四面体ABCD中，＝.
(1) 设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示；
(2) 若＝λ，且·＝－，求实数λ的值．
1．2.2 空间向量基本定理(2)
一、 单项选择题
1 若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3，且{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则实数t的值为( )
A. －1 B. 1 C. 0 D. －2
2 已知i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
3 如图，在四面体OABC中，M为线段OA上靠近A的四等分点，N为棱BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为( )
A. B. 1 C. D.
(第3题) (第4题)
4 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝1，AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则线段AC1的长为( )
A. 5 B. 3 C. D.
5在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6 已知三棱锥S-ABC的棱长均为3，若空间中一点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值为( )
A. B. C. D. 1
7如图，在三棱锥A-BCD中，点G为△BCD的重心，＝λ，＝μ，＝3，且λ，μ∈(1，＋∞).若AG交平面EFH于点M，且＝，则的取值范围为( )
A. (3，＋∞)
B. (－∞，1)∪(3，＋∞)
C.
D. ∪(1，＋∞)
8 在正三棱锥P-ABC中，PA＝AB＝2，M为空间中的一点，则·(＋＋)的最小值为( )
A. －16 B. －14 C. －12 D. －8
二、 多项选择题
9已知空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论中正确的是( )
A. 向量i＋j＋k的模是3
B. {i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底
C. 向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为
D. 向量i＋j与k－j共线
10如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A. (＋＋)2＝2||2
B. ·(－)＝0
C. 向量与的夹角是60°
D. BD1与AC所成角的余弦值为
三、填空题
11 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________．
12 如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝60°，M为BC′与B′C的交点，则AM的长为________．
13 已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使＝x＋y，且当点P，A，B共线时，有x＋y＝1.同样，在空间中，若三个向量，，不共面，则对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数(x，y，z)，使得＝x＋y＋z，且当P，A，B，C四点共面时，有x＋y＋z＝1.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设＝x＋y＋z，则＝________，y＋z－2x＝________.
四、 解答题
14如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示；
(2) 求对角线AC1的长；
(3) 求cos 〈，〉的值．
15 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1) 求证：CE⊥A′D；
(2) 求CE与AC′所成角的余弦值．
16 如图，在空间中平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M，E分别是BC′，AA′的中点，N是B′C′上一点．
(1) 若N为B′C′的中点，求证：AM∥EN；
(2) 若AB＝AC＝1，AA′＝2，∠BAC＝60°，∠ACC′＝∠ABB′＝90°，则是否存在点N，使得AM⊥EN
1．2 空间向量基本定理
1．2.1 空间向量基本定理(1)
1. C 对于①，因为{a，b，c}不是空间的一个基底，所以a，b，c共面，故①正确；对于②，因为两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，所以c＝λa，c＝μb，所以a和b为共线向量，故②正确；对于③，若a，b是两个不共线的向量，c＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，当λ＋μ＝1时，a，b，c共面，则{a，b，c}不构成空间的一个基底，故③错误．故真命题的个数为2.
2. A 若a，b，c构成空间的一个基底，即a，b和c为非零向量且不共线．对于A，a＋b≠λ(a－c)＋μb(λ，μ∈R)，故A正确；对于B，c＝(b＋c)－(b－c)，故B错误；对于C，a＋b＋c＝(b＋c)＋a，故C错误；对于D，a＝(a＋b)＋(a－b)，故D错误．
3. B 由题意，得＝，＝(＋).若G，M，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)＝＋＋成立．又＝＋x＋y，所以即λ＝，x＝y＝，故x＋y＝.
4. C 在四面体ABCD中，＝， ＝，＝a，＝b，＝c，所以＝＋＋＝－c＋a＋＝－c＋a＋(b－a)＝a＋b－c.又＝xa＋yb＋zc，所以x＝，y＝，z＝－，故x＋y＋z＝.
5. B 由题意，得＝－＝c－a，＝－＝b－a，则＝(＋)＝(－2a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
6. B 若A，B, C三点共线，则存在非零实数λ，使得＝λ，λ≠1，所以－＝λ(－)，即(λ－1)＝－＋λ，即＝－＋，所以＝m＋n(m，n∈R)，且m＋n＝1.若P, A, B, C四点共面，且A, B, C三点不共线，则存在实数m, n，使得 ＝m＋n，且m＋n≠1，所以－＝m(－)＋n(－)，即(m＋n－1)＝－＋m＋n，所以＝－＋＋，即＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.因为x＝4，y＝－5，z＝2，所以x＋y＋z＝1.又由x＋y＋z＝1不一定能推出x＝4，y＝－5，z＝2，所以“x＝4，y＝－5，z＝2”是“P, A, B, C四点共面”的充分不必要条件．
7. A 因为A，B，C，D四点共面，且平面唯一确定， ＝x＋2y－，所以 x＋2y－1＝1，即 x＝2－2y，所以 x2＋y2＝(2－2y)2＋y2＝5y2－8y＋4.由一元二次函数的图象和性质可得当 y＝－＝ 时， 5y2－8y＋4 取得最小值，所以 (x2＋y2)min＝5×－8×＋4＝.
8. D 因为P，A，B，C四点共面，所以＋λ＋μ＝1，所以λ＋μ＝，所以f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以函数f(x)的最小值为－2.
9. BC 对于A，因为a＝(a＋b)＋(a－b)，所以a＋b，a－b，a三个向量共面，故A错误；对于B，因为a，b，c不共面，所以a＋b，a－b，c不能相互表示出来，故B正确；对于C，因为a，b，c不共面，所以a＋b，a－b，b＋c不能相互表示出来，故C正确；对于D，因为c＝(a＋b＋c)－(a＋b)，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面，故D错误．故选BC.
10. ABD 如图，对于A，因为E，F分别是OA，BC的中点，所以＝(＋)＝＋＝b＋c，故A正确；对于B，＝－＝b＋c－a.因为PF＝2EP，所以EP＝EF，FP＝EF，即＝＝(b＋c－a)＝－a＋b＋c，故B正确；对于C，＝－＝－(b＋c－a)＝a－b－c，故C错误；对于D，＝＋＝a－a＋b＋c＝a＋b＋c，故D正确．故选ABD.
11. a＋b＋c 因为＝(＋), ＝，＝－，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×＝＋＋＝a＋b＋c.
12. 由题意，得＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋，则x＝z＝，y＝，所以xyz＝.
13. 如图，由题意，得＝＋＝＋－，且A，E，F，G四点共面，则可设＝x＋y，则＋＝x(＋)＋y(＋)，所以＋(＋－)＝x＋x＋y＋yλ＝x＋x(－)＋y＋y(λ－λ)，整理，得＋＋＝0.又因为，，不共面，所以解得λ＝.
14. (1) 因为＋＝，＝，
所以－－＝0.
(2) 因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－，
所以x＝，y＝－，z＝－.
15. (1) 由题意，得＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
由题意，得＝＋＋
＝－－＋
＝－a＋b－c.
(2) 由题意，得a·b＝4×4×＝－8，a·c＝4×6×＝－12，
所以·＝a·(－a＋b－c)＝－a2＋a·b－a·c＝－16－4＋6＝－14.
16. (1) 因为＝，所以M是棱BC的中点，
所以＋＝2，
则＝2－＝2b－a，
故＝－＝c－(2b－a)＝a－2b＋c.
(2) 因为＝λ，
所以＝－＝λ－.
在棱长为2的正四面体ABCD中，·＝·＝·＝2，
所以·＝(＋)·(λ－)＝(2λ－22＋2λ－2)＝2λ－3＝－，
解得λ＝.
1．2.2 空间向量基本定理(2)
1. A 因为向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3，且{a，b，c}不能构成空间的一个基底，所以a，b，c共面，即存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以解得
2. B 因为i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，所以＝3i－j－k，＝(λ＋3)i＋2j－6k.又A，B，C，D四点共面，所以存在实数x，y，满足＝x＋y，所以x(i－2j＋2k)＋y(3i－j－k)＝(λ＋3)i＋2j－6k，所以(x＋3y)i＋(－2x－y)j＋(2x－y)k＝(λ＋3)i＋2j－6k，所以解得λ＝1.
3. C 由题意，得＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.因为＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.
4. C 由题意，得·＝·＝0，·＝·＝1×1×＝，·＝·＝1×1×＝.因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋2×＋2×＝5，所以||＝.
5. A 如图，设＝c，＝a，＝b.设棱长均为1，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·b＝，b·c＝，a·c＝.因为＝a＋c，＝b－a＋c，所以·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝－a2＋a·b＋b·c＋c2＝－1＋＋＋1＝1，||＝＝＝＝，||＝＝＝，所以cos 〈，〉＝＝，所以AB1与BC1所成角的余弦值为.
6. A 因为空间中一点P满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以点P在平面ABC内，所以当SP⊥平面ABC，点P为垂足时，||取得最小值．如图，因为三棱锥S-ABC的棱长均为3，所以点P为底面三角形ABC的中心，所以AP＝AD.又AD＝×3＝，所以AP＝×＝.在Rt△APS中，SP＝＝＝.
7. A 如图，连接CG并延长交BD于点N.因为点G为△BCD的重心，所以N为BD的中点．又＝λ，＝μ，＝3，且λ，μ∈(1，＋∞)，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋，所以＝＝＋＋＝λ＋μ＋.又M，E，F，H四点共面，所以λ＋μ＋＝1，即λ＋μ＝3.因为λ，μ∈(1，＋∞)，所以μ＝3－λ>1，解得1<λ<2，则＝＝－1＋.因为1<λ<2，所以－1＋>3，即>3，则的取值范围为(3，＋∞).
8. C 如图，设△ABC的重心为点O，D是棱BC的中点，G是线段PO的中点．在正三棱锥P-ABC中，PA＝AB＝2，所以AO＝AD＝2，PO⊥平面ABC.又AO 平面ABC，所以PO⊥AO，则PO＝＝4.又＋＋＝＋2＝＋＋2(＋)＝3，所以·(＋＋)＝·3＝3(＋)·(＋)＝3(＋)·(－)＝3(||2－||2)＝3(||2－4)，所以当点M与点G重合时，||2取最小值0，此时·(＋＋)的最小值为－12.
9. BC 对于A，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1，且i·j＝0，i·k＝0，j·k＝0，所以|i＋j＋k|＝＝＝，所以向量i＋j＋k的模是，故A错误；对于B，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以i，j，k不共面．又向量i＋j，i－j均与i，j共面，所以i＋j，i－j与k不共面，所以{i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设i＋j＋k与k的夹角为α，则cos α＝＝＝＝，所以向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为，故C正确；对于D，因为i，j，k两两垂直，所以不存在λ，使得i＋j＝λ(k－j)，所以向量i＋j与k－j不共线，故D错误．故选BC.
10. AB 因为以A为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60°，所以设棱长为a.对于A，(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3a2＋3×2a2×＝6a2.因为||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2＝2a2＋2a2×＝3a2，则2||2＝6a2，所以(＋＋)2＝2||2，故A正确；对于B，因为·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋||2－·＋·－||2＝0，故B正确；对于C，因为＝，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，所以向量与的夹角为120°，即向量与的夹角为120°，故C错误；对于D，因为＝＋－，＝＋，则||＝＝a，||＝＝a，所以·＝(＋－)·(＋)＝·＋·－2＋2＋·－·＝a2，所以cos 〈，〉＝＝＝，故D错误．故选AB.
11. 由题意，得＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2 ＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2，所以||＝.
12. 设{，，}为空间的一个基底，则＝＋(＋)，所以||2＝[＋(＋)]2＝||2＋·＋·＋(＋)2＝11，故AM＝.
13. 2 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝ －＋＋.设＝λ＝－＋λ＋λ，因为A，B，E，F四点共面，所以－＋λ＋λ＝1，解得λ＝，故＝. 又＝x＋y＋z，所以x＝－，y＝，z＝，故y＋z－2x＝＋＋＝2.
14. (1) 如图，连接A1B，AC，AC1，
因为＝a，＝b，＝c，
所以在△A1AB中，＝－＝c－a.
因为底面ABCD是平行四边形，
所以＝＋＝a＋b.
因为AC∥A1C1且AC＝A1C1，
所以＝＝a＋b.
又M为线段A1C1的中点，
所以＝＝(a＋b).
在△A1MB中，＝＋＝c－a＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
(2) 因为A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝，a·c＝|a|·|c|cos 60°＝，b·c＝|b|·|c|cos 60°＝.
由(1)可知＝a＋b，
所以在平行四边形A1ACC1中，＝＋＝a＋b＋c，
所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cos 60°＋2|a||c|cos 60°＋2|b||c|cos 60°＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，
所以||＝，故对角线AC1的长为.
(3)由题意，得＝a＋b＋c，＝a，
所以cos 〈，1〉＝
＝＝＝＝.
15. (1) 设＝a，＝b，＝c.
由题意，得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝a·c＝0，
所以＝b＋c，＝－c＋b－a，
所以·＝b2－c2＝0，
所以⊥，
即CE⊥A′D.
(2) 因为＝－a＋c，＝b＋c，
所以||＝|a|，||＝|a|.
又·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，
所以cos 〈，〉＝＝，
即CE与AC′所成角的余弦值为.
16. (1) 当N为B′C′的中点时，
＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝(b＋c)＋a＝(a＋b＋c).
因为＝＋＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋[＋(－)]
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，
所以AM∥EN.
(2) 设＝λ，
则＝＋＝＋＋
＝＋＋λ＝＋＋λ(－)
＝a＋b＋λ(c－b)＝a＋(1－λ)b＋λc.
因为∠ACC′＝∠ABB′＝90°，a·b＝a·c＝0，
所以·＝(a＋b＋c)·[(1－λ)b＋λc＋a]
＝a2＋(1－λ)b2＋b·c＋λc2
＝1＋(1－λ)＋×1×1×＋λ＝，
即·≠0，故不存在点N使得AM⊥EN.
1.2.1 空间向量基本定理(1)
一、 单项选择题
1在下列三个命题，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则，b，c}构成空间的一个基底．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2 若a，b，c构成空间的一个基底，则下列向量中能构成空间的一个基底的是( )
A. a＋b，a－c，b B. c，b＋c，b－c
C. b＋c，a＋b＋c，a D. a，a＋b，a－b
3 在四面体OABC中，M，N分别为OA，BC的中点，若＝＋x＋y，且G，M，N三点共线，则x＋y等于( )
A. － B. C. D. －
4如图，在四面体ABCD中，＝，＝，设＝a，＝b，＝c，若向量＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z等于( )
A. B. 0 C. D.
(第4题) (第5题)
5 如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A. a－b－c B. －a＋b＋c
C. －a＋b＋c D. a－b－c
6 已知空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝4，y＝－5，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的( )
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
7已知点D在△ABC所确定的平面内，O是空间中任意一点，实数x，y满足＝x＋2y－，则x2＋y2的最小值为( )
A. B.
C. 1 D. 2
8已知O，A，B，C为空间中不共面的四点，且＝＋λ＋μ(λ，μ∈R)，若P，A，B，C四点共面，则函数f(x)＝x2－3(λ＋μ)x－1(x∈[－1，2])的最小值是( )
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
二、 多项选择题
9 若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量中可以构成空间基底的是( )
A. a＋b，a－b，a
B. a＋b，a－b，c
C. a＋b，a－b，b＋c
D. a＋b，a＋b＋c，c
10 在四面体OABC中，E，F分别是OA，BC的中点，P为线段EF上一点，且PF＝2EP，设＝a，＝b，＝c，则下列结论中正确的有( )
A. ＝b＋c
B. ＝－a＋b＋c
C. ＝－a＋b＋c
D. ＝a＋b＋c
三、填空题
11 如图，已知E，F分别是四面体ABCD的棱AD，BC的中点，点G在线段EF上，且EG＝2GF，设向量＝a，＝b，＝c，则＝__________．(用向量a，b，c表示)
12 在四面体ABCD中，已知E为线段BC上的点，O为线段DE上的点，且＝，＝，若＝x＋y＋z，则xyz的值为________.
13 在正四棱锥P-ABCD中，若＝，＝，平面AEF与棱PD交于点G，若＝λ，则λ＝__________．
四、 解答题
14 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．
(1) 化简：－－；
(2) 设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，求实数x，y，z的值．
15 已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1如图所示，其中∠DD1C1＝∠ADD1＝∠ADC＝120°，AC与BD交于点O，点E在线段B1C1上，且B1E＝C1E，F，G分别是线段AA1，DC的中点，设＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示，；
(2) 若DA＝DC＝4，DD1＝6，求·的值．
16 在棱长为2的正四面体ABCD中，＝.
(1) 设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示；
(2) 若＝λ，且·＝－，求实数λ的值．
1．2.2 空间向量基本定理(2)
一、 单项选择题
1 若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3，且{a，b，c}不能构成空间的一个基底，则实数t的值为( )
A. －1 B. 1 C. 0 D. －2
2 已知i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，且A，B，C，D四点共面，则实数λ的值为( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
3 如图，在四面体OABC中，M为线段OA上靠近A的四等分点，N为棱BC的中点，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z的值为( )
A. B. 1 C. D.
(第3题) (第4题)
4 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝1，AA1＝1，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，则线段AC1的长为( )
A. 5 B. 3 C. D.
5在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6 已知三棱锥S-ABC的棱长均为3，若空间中一点P满足＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，则||的最小值为( )
A. B. C. D. 1
7如图，在三棱锥A-BCD中，点G为△BCD的重心，＝λ，＝μ，＝3，且λ，μ∈(1，＋∞).若AG交平面EFH于点M，且＝，则的取值范围为( )
A. (3，＋∞)
B. (－∞，1)∪(3，＋∞)
C.
D. ∪(1，＋∞)
8 在正三棱锥P-ABC中，PA＝AB＝2，M为空间中的一点，则·(＋＋)的最小值为( )
A. －16 B. －14 C. －12 D. －8
二、 多项选择题
9已知空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，则下列结论中正确的是( )
A. 向量i＋j＋k的模是3
B. {i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底
C. 向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为
D. 向量i＋j与k－j共线
10如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是( )
A. (＋＋)2＝2||2
B. ·(－)＝0
C. 向量与的夹角是60°
D. BD1与AC所成角的余弦值为
三、填空题
11 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________．
12 如图，在棱长均为2的平行六面体ABCD-A′B′C′D′中，∠A′AB＝∠A′AD＝∠BAD＝60°，M为BC′与B′C的交点，则AM的长为________．
13 已知，是同一平面内一组不共线的向量，对于平面内任意向量，有且只有一对实数x，y使＝x＋y，且当点P，A，B共线时，有x＋y＝1.同样，在空间中，若三个向量，，不共面，则对任意一个空间向量，存在唯一的一组实数(x，y，z)，使得＝x＋y＋z，且当P，A，B，C四点共面时，有x＋y＋z＝1.如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AD＝2BC，E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于点F，设＝x＋y＋z，则＝________，y＋z－2x＝________.
四、 解答题
14如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c.
(1) 用a，b，c表示；
(2) 求对角线AC1的长；
(3) 求cos 〈，〉的值．
15 如图，在三棱柱ABC-A′B′C′中，A′A⊥平面ABC，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．
(1) 求证：CE⊥A′D；
(2) 求CE与AC′所成角的余弦值．
16 如图，在空间中平移△ABC到△A′B′C′，连接对应顶点，设＝a，＝b，＝c，M，E分别是BC′，AA′的中点，N是B′C′上一点．
(1) 若N为B′C′的中点，求证：AM∥EN；
(2) 若AB＝AC＝1，AA′＝2，∠BAC＝60°，∠ACC′＝∠ABB′＝90°，则是否存在点N，使得AM⊥EN
1．2 空间向量基本定理
1．2.1 空间向量基本定理(1)
1. C 对于①，因为{a，b，c}不是空间的一个基底，所以a，b，c共面，故①正确；对于②，因为两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，所以c＝λa，c＝μb，所以a和b为共线向量，故②正确；对于③，若a，b是两个不共线的向量，c＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，当λ＋μ＝1时，a，b，c共面，则{a，b，c}不构成空间的一个基底，故③错误．故真命题的个数为2.
2. A 若a，b，c构成空间的一个基底，即a，b和c为非零向量且不共线．对于A，a＋b≠λ(a－c)＋μb(λ，μ∈R)，故A正确；对于B，c＝(b＋c)－(b－c)，故B错误；对于C，a＋b＋c＝(b＋c)＋a，故C错误；对于D，a＝(a＋b)＋(a－b)，故D错误．
3. B 由题意，得＝，＝(＋).若G，M，N三点共线，则存在实数λ，使得＝λ＋(1－λ)＝＋＋成立．又＝＋x＋y，所以即λ＝，x＝y＝，故x＋y＝.
4. C 在四面体ABCD中，＝， ＝，＝a，＝b，＝c，所以＝＋＋＝－c＋a＋＝－c＋a＋(b－a)＝a＋b－c.又＝xa＋yb＋zc，所以x＝，y＝，z＝－，故x＋y＋z＝.
5. B 由题意，得＝－＝c－a，＝－＝b－a，则＝(＋)＝(－2a＋b＋c)＝－a＋b＋c.
6. B 若A，B, C三点共线，则存在非零实数λ，使得＝λ，λ≠1，所以－＝λ(－)，即(λ－1)＝－＋λ，即＝－＋，所以＝m＋n(m，n∈R)，且m＋n＝1.若P, A, B, C四点共面，且A, B, C三点不共线，则存在实数m, n，使得 ＝m＋n，且m＋n≠1，所以－＝m(－)＋n(－)，即(m＋n－1)＝－＋m＋n，所以＝－＋＋，即＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1.因为x＝4，y＝－5，z＝2，所以x＋y＋z＝1.又由x＋y＋z＝1不一定能推出x＝4，y＝－5，z＝2，所以“x＝4，y＝－5，z＝2”是“P, A, B, C四点共面”的充分不必要条件．
7. A 因为A，B，C，D四点共面，且平面唯一确定， ＝x＋2y－，所以 x＋2y－1＝1，即 x＝2－2y，所以 x2＋y2＝(2－2y)2＋y2＝5y2－8y＋4.由一元二次函数的图象和性质可得当 y＝－＝ 时， 5y2－8y＋4 取得最小值，所以 (x2＋y2)min＝5×－8×＋4＝.
8. D 因为P，A，B，C四点共面，所以＋λ＋μ＝1，所以λ＋μ＝，所以f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2，所以函数f(x)的最小值为－2.
9. BC 对于A，因为a＝(a＋b)＋(a－b)，所以a＋b，a－b，a三个向量共面，故A错误；对于B，因为a，b，c不共面，所以a＋b，a－b，c不能相互表示出来，故B正确；对于C，因为a，b，c不共面，所以a＋b，a－b，b＋c不能相互表示出来，故C正确；对于D，因为c＝(a＋b＋c)－(a＋b)，所以a＋b，a＋b＋c，c三个向量共面，故D错误．故选BC.
10. ABD 如图，对于A，因为E，F分别是OA，BC的中点，所以＝(＋)＝＋＝b＋c，故A正确；对于B，＝－＝b＋c－a.因为PF＝2EP，所以EP＝EF，FP＝EF，即＝＝(b＋c－a)＝－a＋b＋c，故B正确；对于C，＝－＝－(b＋c－a)＝a－b－c，故C错误；对于D，＝＋＝a－a＋b＋c＝a＋b＋c，故D正确．故选ABD.
11. a＋b＋c 因为＝(＋), ＝，＝－，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝×(＋)＋×＝＋＋＝a＋b＋c.
12. 由题意，得＝＋＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋，则x＝z＝，y＝，所以xyz＝.
13. 如图，由题意，得＝＋＝＋－，且A，E，F，G四点共面，则可设＝x＋y，则＋＝x(＋)＋y(＋)，所以＋(＋－)＝x＋x＋y＋yλ＝x＋x(－)＋y＋y(λ－λ)，整理，得＋＋＝0.又因为，，不共面，所以解得λ＝.
14. (1) 因为＋＝，＝，
所以－－＝0.
(2) 因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝－－，
所以x＝，y＝－，z＝－.
15. (1) 由题意，得＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
由题意，得＝＋＋
＝－－＋
＝－a＋b－c.
(2) 由题意，得a·b＝4×4×＝－8，a·c＝4×6×＝－12，
所以·＝a·(－a＋b－c)＝－a2＋a·b－a·c＝－16－4＋6＝－14.
16. (1) 因为＝，所以M是棱BC的中点，
所以＋＝2，
则＝2－＝2b－a，
故＝－＝c－(2b－a)＝a－2b＋c.
(2) 因为＝λ，
所以＝－＝λ－.
在棱长为2的正四面体ABCD中，·＝·＝·＝2，
所以·＝(＋)·(λ－)＝(2λ－22＋2λ－2)＝2λ－3＝－，
解得λ＝.
1．2.2 空间向量基本定理(2)
1. A 因为向量a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋te3，且{a，b，c}不能构成空间的一个基底，所以a，b，c共面，即存在实数x，y，使得c＝xa＋yb，即e1＋te3＝x(e1＋e2)＋y(e2＋e3)＝xe1＋(x＋y)e2＋ye3.因为{e1，e2，e3}是空间的一个基底，所以解得
2. B 因为i，j，k是三个不共面的向量，＝i－2j＋2k，＝2i＋j－3k，＝λi＋3j－5k，所以＝3i－j－k，＝(λ＋3)i＋2j－6k.又A，B，C，D四点共面，所以存在实数x，y，满足＝x＋y，所以x(i－2j＋2k)＋y(3i－j－k)＝(λ＋3)i＋2j－6k，所以(x＋3y)i＋(－2x－y)j＋(2x－y)k＝(λ＋3)i＋2j－6k，所以解得λ＝1.
3. C 由题意，得＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.因为＝x＋y＋z，所以x＋y＋z＝.
4. C 由题意，得·＝·＝0，·＝·＝1×1×＝，·＝·＝1×1×＝.因为＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋0＋2×＋2×＝5，所以||＝.
5. A 如图，设＝c，＝a，＝b.设棱长均为1，且∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·b＝，b·c＝，a·c＝.因为＝a＋c，＝b－a＋c，所以·＝(a＋c)·(b－a＋c)＝－a2＋a·b＋b·c＋c2＝－1＋＋＋1＝1，||＝＝＝＝，||＝＝＝，所以cos 〈，〉＝＝，所以AB1与BC1所成角的余弦值为.
6. A 因为空间中一点P满足＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，所以点P在平面ABC内，所以当SP⊥平面ABC，点P为垂足时，||取得最小值．如图，因为三棱锥S-ABC的棱长均为3，所以点P为底面三角形ABC的中心，所以AP＝AD.又AD＝×3＝，所以AP＝×＝.在Rt△APS中，SP＝＝＝.
7. A 如图，连接CG并延长交BD于点N.因为点G为△BCD的重心，所以N为BD的中点．又＝λ，＝μ，＝3，且λ，μ∈(1，＋∞)，所以＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(－)＋(－)＝＋＋，所以＝＝＋＋＝λ＋μ＋.又M，E，F，H四点共面，所以λ＋μ＋＝1，即λ＋μ＝3.因为λ，μ∈(1，＋∞)，所以μ＝3－λ>1，解得1<λ<2，则＝＝－1＋.因为1<λ<2，所以－1＋>3，即>3，则的取值范围为(3，＋∞).
8. C 如图，设△ABC的重心为点O，D是棱BC的中点，G是线段PO的中点．在正三棱锥P-ABC中，PA＝AB＝2，所以AO＝AD＝2，PO⊥平面ABC.又AO 平面ABC，所以PO⊥AO，则PO＝＝4.又＋＋＝＋2＝＋＋2(＋)＝3，所以·(＋＋)＝·3＝3(＋)·(＋)＝3(＋)·(－)＝3(||2－||2)＝3(||2－4)，所以当点M与点G重合时，||2取最小值0，此时·(＋＋)的最小值为－12.
9. BC 对于A，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以|i|＝|j|＝|k|＝1，且i·j＝0，i·k＝0，j·k＝0，所以|i＋j＋k|＝＝＝，所以向量i＋j＋k的模是，故A错误；对于B，因为空间向量i，j，k都是单位向量，且两两垂直，所以i，j，k不共面．又向量i＋j，i－j均与i，j共面，所以i＋j，i－j与k不共面，所以{i＋j，i－j，k}可以构成空间的一个基底，故B正确；对于C，设i＋j＋k与k的夹角为α，则cos α＝＝＝＝，所以向量i＋j＋k和k夹角的余弦值为，故C正确；对于D，因为i，j，k两两垂直，所以不存在λ，使得i＋j＝λ(k－j)，所以向量i＋j与k－j不共线，故D错误．故选BC.
10. AB 因为以A为端点的三条棱长都相等，且彼此的夹角为60°，所以设棱长为a.对于A，(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3a2＋3×2a2×＝6a2.因为||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2＝2a2＋2a2×＝3a2，则2||2＝6a2，所以(＋＋)2＝2||2，故A正确；对于B，因为·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋||2－·＋·－||2＝0，故B正确；对于C，因为＝，显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，所以向量与的夹角为120°，即向量与的夹角为120°，故C错误；对于D，因为＝＋－，＝＋，则||＝＝a，||＝＝a，所以·＝(＋－)·(＋)＝·＋·－2＋2＋·－·＝a2，所以cos 〈，〉＝＝＝，故D错误．故选AB.
11. 由题意，得＝＋＋，所以||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2 ＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 120°＋2×1×1×cos 60°＝2，所以||＝.
12. 设{，，}为空间的一个基底，则＝＋(＋)，所以||2＝[＋(＋)]2＝||2＋·＋·＋(＋)2＝11，故AM＝.
13. 2 由题意，得＝＋＝＋＝＋(－)＝ －＋＋.设＝λ＝－＋λ＋λ，因为A，B，E，F四点共面，所以－＋λ＋λ＝1，解得λ＝，故＝. 又＝x＋y＋z，所以x＝－，y＝，z＝，故y＋z－2x＝＋＋＝2.
14. (1) 如图，连接A1B，AC，AC1，
因为＝a，＝b，＝c，
所以在△A1AB中，＝－＝c－a.
因为底面ABCD是平行四边形，
所以＝＋＝a＋b.
因为AC∥A1C1且AC＝A1C1，
所以＝＝a＋b.
又M为线段A1C1的中点，
所以＝＝(a＋b).
在△A1MB中，＝＋＝c－a＋(a＋b)＝－a＋b＋c.
(2) 因为A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，
所以a·b＝|a|·|b|cos 60°＝，a·c＝|a|·|c|cos 60°＝，b·c＝|b|·|c|cos 60°＝.
由(1)可知＝a＋b，
所以在平行四边形A1ACC1中，＝＋＝a＋b＋c，
所以||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a||b|cos 60°＋2|a||c|cos 60°＋2|b||c|cos 60°＝1＋1＋1＋2×＋2×＋2×＝6，
所以||＝，故对角线AC1的长为.
(3)由题意，得＝a＋b＋c，＝a，
所以cos 〈，1〉＝
＝＝＝＝.
15. (1) 设＝a，＝b，＝c.
由题意，得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝a·c＝0，
所以＝b＋c，＝－c＋b－a，
所以·＝b2－c2＝0，
所以⊥，
即CE⊥A′D.
(2) 因为＝－a＋c，＝b＋c，
所以||＝|a|，||＝|a|.
又·＝(－a＋c)·(b＋c)＝c2＝|a|2，
所以cos 〈，〉＝＝，
即CE与AC′所成角的余弦值为.
16. (1) 当N为B′C′的中点时，
＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝(b＋c)＋a＝(a＋b＋c).
因为＝＋＝＋(＋)
＝＋(＋)
＝＋[＋(－)]
＝(＋＋)＝(a＋b＋c)，
所以AM∥EN.
(2) 设＝λ，
则＝＋＝＋＋
＝＋＋λ＝＋＋λ(－)
＝a＋b＋λ(c－b)＝a＋(1－λ)b＋λc.
因为∠ACC′＝∠ABB′＝90°，a·b＝a·c＝0，
所以·＝(a＋b＋c)·[(1－λ)b＋λc＋a]
＝a2＋(1－λ)b2＋b·c＋λc2
＝1＋(1－λ)＋×1×1×＋λ＝，
即·≠0，故不存在点N使得AM⊥EN.