1.3　空间向量及其运算的坐标表示 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．3　空间向量及其运算的坐标表示
一、 单项选择题
1 在空间直角坐标系中，已知a＝(－2，2，1)，b＝(2，0，－1)，则2a－b等于(　　)
A. (－2，4，1) B. (6，4，－3)
C. (－6，4，3) D. (2，4，－1)
2 与向量a＝(2，0，－2)同向的单位向量为(　　)
A. (，0，－) B. (，0，)
C. D. (1，0，－1)
3 若a＋b＝(－2，－1，2)，a－b＝(4，－3，－2)，则a·b的值为(　　)
A. 5 B. －5
C. 7 D. －1
4 已知空间向量a＝(1，2，0)，b＝(0，－1，1)，c＝(2，3，m)，若a，b，c共面，则实数m的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5 已知点A(2，1，3)，B(4，－1，3)，C(1，3，4)，则在方向上的投影向量为(　　)
A. (2，－2，0) B.
C. D. (－1，2，1)
6 设x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝4，AB＝BC＝2，动点P，Q分别在线段C1D，AC上，则线段PQ长度的最小值是(　　)
A. B.
C. D.
8 已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点M在直线OC上运动．当·取最小值时，点M的坐标为(　　)
A. (2，2，4) B.
C. D.
二、 多项选择题
9 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点C1的坐标为(2，0，2)
B. ＝(2，－2，－2)
C. BD1的中点坐标为(1，1，1)
D. 点B1关于y轴的对称点为(－2，2，－2)
10 已知空间向量m＝(2，－1，3)，n＝(－4，2，x)，则下列结论中正确的有(　　)
A. 当m∥n时，x＝－6
B. 当m⊥n时，x＝2
C. 当x＝－4时，|m＋n|＝
D. 当x＝1时，cos 〈m，n〉＝－
三、填空题
11 已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，则|a－b＋2c|＝________.
12已知点A(1，2，1)，B(3，3，2)，C(λ＋1，4，3)，若，的夹角为锐角，则实数λ的取值范围为________.
13 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC的中点，若＝λ，＝λ(0≤λ≤1)，则||的取值范围是________．
四、解答题
14 已知空间中三点A(2，0，－2)，B(1，－1，－2)，C(3，0，－4)，设a＝，b＝.
(1) 若(a＋kb)⊥b，求k的值；
(2) 若|c|＝6，且c∥，求向量c的坐标．
15如图，已知OA，OB，OC两两垂直，OA＝OC＝3，OB＝2，M为OB的中点，点N在线段AC上，AN＝2NC.
(1) 求MN的长；
(2) 若点P在线段BC上，设＝λ，当AP⊥MN时，求实数λ的值．
16 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，在△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是棱A1B1，A1A的中点.
(1) 求的模长：
(2) 求cos 〈，〉的值；
(3) 求证：A1B⊥C1M.
1．3　空间向量及其运算的坐标表示
1. C　因为向量a＝(－2，2，1)，b＝(2，0，－1)，所以2a－b＝(－6，4，3).
2. A　因为向量a＝(2，0，－2)的模为|a|＝＝2，所以与之同向的单位向量为＝.
3. B　因为a＋b＝(－2，－1，2)，a－b＝(4，－3，－2)，所以a＝(1，－2，0)，b＝(－3，1，2)，所以a·b＝1×(－3)＋(－2)×1＋0×2＝－5.
4. A　因为a＝(1，2，0)，b＝(0，－1，1)不共线，a，b，c共面，所以存在一对有序实数(x，y)，使c＝xa＋yb，所以(2，3，m)＝x(1，2，0)＋y(0，－1，1)＝(x，2x－y，y)，所以解得
5. C　由题意，得＝(－1，2，1)，＝(2，－2，0)，则·＝－1×2＋2×(－2)＋1×0＝－6，||＝＝2，故在上的投影向量为·＝(2，－2，0)＝(－，，0).
6. C　因为x，y∈R，向量a＝(x，1，1)，b＝(1，y，1)，c＝(2，－4，2)，且a⊥c，所以a·c＝2x－4＋2＝0，解得x＝1.又b∥c，所以＝＝，解得y＝－2，故|a＋b|＝＝3.
7. C　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，4)，则可设点P(0，t，2t)，t∈[0，2]，Q(2－m，m，0)，m∈[0，2]，所以PQ＝＝，当且仅当5t＝m＝时，PQ取得最小值.
8. D　因为＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，且点M在直线OC上运动，所以可设＝λ，即＝λ＝(λ，λ，2λ)，所以点M的坐标为(λ，λ，2λ)，则·＝(－)·(－)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6(λ－)2－，当λ＝时，·有最小值，此时点M的坐标为.
9. BCD　由题意可知，点A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，D1(0，0，2)，则＝(2，－2，－2)，线段BD1的中点坐标为(1，1，1)，点B1关于y轴的对称点为(－2，2，－2)，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
10. ACD　对于A, 因为m∥n，所以存在实数 λ，使得 n＝λm，则 (－4，2，x)＝λ(2，－1，3)＝(2λ，－λ，3λ)，即 解得 λ＝－2, x＝－6，故A正确；对于B, 因为m⊥n，所以m·n＝0，即2×(－4)＋(－1)×2＋3x＝0，解得 x＝，故B错误；对于C，当 x＝－4 时， n＝(－4，2，－4)，所以m＋n＝(2，－1，3)＋(－4，2，－4)＝(－2，1，－1)，所以|m＋n|＝＝，故C正确；对于D，当 x＝1 时， n＝(－4，2，1), m＝(2，－1，3)，所以cos 〈m，n〉＝＝＝－，故D正确．故选ACD.
11. 3　因为a－b＋2c＝(9，3，0)，所以|a－b＋2c|＝＝3.
12. (－2，4)∪(4，＋∞)　由题意，得＝(2，1，1)，＝(λ，2，2).因为，的夹角为锐角，所以·＝2λ＋2＋2>0，且≠，解得λ>－2，且λ≠4，故实数λ的取值范围为(－2，4)∪(4，＋∞).
13. [，2]　因为正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2，D为BC的中点，所以AD⊥BC，AD＝，过点D作z轴∥BB1，建立如图所示的空间直角坐标系，所以点A(，0，0)，D(0，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，C1(0，－1，3).因为＝(－，1，0)，＝(0，－1，3)，设点P(x0，y0，z0)，Q(x1，y1，z1)，＝(x0－，y0，z0－3)，＝(x1，y1，z1)，所以(x0－，y0，z0－3)＝λ(－，1，0)，(x1，y1，z1)＝λ(0，－1，3)(0≤λ≤1)，所以x0＝－λ，y0＝λ，z0＝3，x1＝0，y1＝－λ，z1＝3λ，所以点P(－λ，λ，3)，Q(0，－λ，3λ)，所以||＝＝＝2，当λ＝时，||有最小值，当λ＝0时，||有最大值2，故||的取值范围是[，2].
14. (1) 由题意可知 a＝＝(－1，－1，0), b＝＝(1，0，－2)，
所以 a＋kb＝(k－1，－1，－2k).
因为 (a＋kb)⊥b，
所以 (a＋kb)·b＝0，
即k－1＋4k＝0，解得k＝.
(2) 因为 c ∥ ， ＝(2，1，－2)，
所以 c＝λ＝(2λ，λ，－2λ), λ∈R.
因为 |c|＝6，所以 (2λ)2＋λ2＋(－2λ)2＝9λ2＝36，解得 λ＝±2，
所以 c＝(4，2，－4) 或c＝(－4，－2，4).
15. (1) 以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则点O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3).
因为M为OB的中点，点N在线段AC上，且AN＝2NC，所以点M(0，1，0)，N(1，0，2)，
所以MN＝ ＝.
(2) 设点P(0，y，z)，
因为＝λ，且点P在线段BC上，
所以＝λ， 所以点P.
因为AP⊥MN，所以·＝0，
即·(1，－1，2)＝0，
所以－3－＋＝0，解得λ＝.
16. (1) 以C为坐标原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.
由题意，得点N(1，0，1)，B(0，1，0)，
所以||＝＝.
(2) 由题意，得点A1(1，0，2)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，C1(0，0，2)，
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以·＝0－1＋4＝3，||＝＝，||＝＝，
故cos 〈，〉＝＝＝.
(3) 由题意，得点M，＝(1，－1，2)，＝.
因为·＝－＋0＝0，
所以⊥，即A1B⊥C1M.