1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 439.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:30:31 | ||
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文档简介
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
一、 单项选择题
1 已知向量a＝(4，－2，6)，b＝(－4，2x2，6x)均为直线l的方向向量，则实数x的值是( )
A. －1或1 B. －1 C. －3 D. 1
2 已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，－3，0)在平面α内. 若点B(m，0，2－m)在平面α内，则实数m的值为( )
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
3 已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A. P(2，3，3) B. P(－2，0，1)
C. P(－4，4，0) D. P(3，－3，4)
4 已知平面α内的两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，若c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，且c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A. －1，2 B. 1，－2
C. 1，2 D. －1，－2
5已知平面α经过点A(0，1，2)，且平面α的一个法向量为(－2，1，－1)，P(x，y，z)是平面α内任意一点，则下列说法中正确的是( )
A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1
C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1
6 已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量s＝(2，1，1)，平面α经过直线l和点A(1，2，3)，则平面α的一个法向量n的坐标为( )
A. B.
C. (1，0，－2) D. (1，－2，0)
7 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为m，n，则下列结论中正确的是( )
A. 点P的坐标为(0，0，2)
B. ＝(4，0，－2)
C. cos 〈m，n〉>0
D. n＝(0，－2，2)
8 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简，得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )
A. x＋2y－z－2＝0 B. x－2y－z－2＝0
C. x＋2y＋z－2＝0 D. x＋2y＋z＋2＝0
二、 多项选择题
9已知P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论中正确的有( )
A. ⊥
B. ⊥
C. 是平面ABCD的一个法向量
D. ∥
10下列命题中，正确的有( )
A. 点P(－3，8，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是P′(－3，8，5)
B. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
C. 若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R) 也是直线l的方向向量
D. 在空间直角坐标系中，n＝(0，0，1)是坐标平面xOy的一个法向量
三、填空题
11 在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝________，z＝________.
12 已知n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，点P(3，2，1)位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标________.
13 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量的坐标为________．
四、 解答题
14 如图，已知BC＝2，坐标原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.求：
(1) 直线CD的一个方向向量；
(2) 平面ADC的一个法向量．
15 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝2，AA1＝3.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
(1) 平面BCC1B1的一个法向量；
(2) 平面A1BC的一个法向量．
16 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1的长为2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1) 求的模长；
(2) 求与夹角的余弦值；
(3) 求证：是平面C1MN的一个法向量．
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 已知直线l1的方向向量为a＝(－1，2，m)，直线l2的方向向量为b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是( )
A. －6 B. 6
C. 14 D. －14
2已知平面α的法向量为n＝(x，1，－2)，平面β的法向量为m＝(－1，y，)，若α∥β，则x－y的值为( )
A. B.
C. 3 D.
3 已知向量a，b是平面α上两个不共线的向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“a，b，c三个向量共面”是“l∥α”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 设a＝(3，－2，－1)是直线l的方向向量，n＝(－1，－2，1)是平面α的法向量，则直线l与平面α( )
A. 垂直 B. 平行或在平面α内
C. 平行 D. 在平面α内
5 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，点M在线段EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为( )
A. (1，1，1)
B. (1，，1)
C. (，，1)
D. (，，)
6 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则实数λ的值为( )
A. B. C. D.
(第6题) (第7题)
7 如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是棱CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，＝，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为( )
A. B. 4 C. 5 D.
8 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AA1＝5，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则·的最小值为( )
A. B. 25 C. 10 D.
二、 多项选择题
9 已知平面α，β的法向量分别是m＝(2，－1，2)，n＝(2，4，0)，直线l的方向向量为a＝(1，4，1)，则下列说法中正确的是( )
A. α∥β
B. l∥α
C. {a，m，n}可以作为空间的一个基底
D. n在a上的投影向量的模长为3
10 下列结论中，正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为a＝(1，1，2)，直线m的方向向量为b＝(2，2，4)，则l∥m
B. 若直线l的方向向量为k＝(－1，1，2)，平面α的法向量为n＝(2，2，0)，则l∥α
C. 若两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(4，－2，1)，n2＝，则α∥β
D. 若平面α经过三点A(1，－1，－1)，B(0，1，－1)，C(－1，2，0)，向量c＝(s，u，t)是平面α的法向量，则u＝－t
三、填空题
11 已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________.
12 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，BC的中点，Q为直线B1C1上的点，且＝λ，若BQ∥平面A1MN，则λ＝________.
13 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AD，B1B的中点，动点P在底面正方形ABCD内(包括边界)，若B1P∥平面A1MN，则CP长度的最大值为________.
四、解答题
14 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点．求证：AG∥平面BEF.
15 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，M是棱AB的中点，N是棱B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM
16 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1D1，D1D，D1C1的中点．
(1) 求证：EG∥AC；
(2) 求证：平面EFG∥平面AB1C.
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
一、 单项选择题
1 若直线l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则实数m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )
A. －3 B. 6 C. －6 D. －12
3 若平面α的一个法向量是(1，2，3)，平面β的一个法向量是(3，0，－1)，则平面α与β的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直
C. 相交且垂直 D. 不确定
4 设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”为P-ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD.其中正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6 直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列结论中正确的是( )
A. 若l⊥α，则l·m＝0
B. 若l∥β，则l＝kn
C. 若α⊥β，则m·n＝0
D. 若α∥β，则m·n＝0
7 下列命题中，正确的是( )
A. 直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝(2，1，－1)，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为a＝(0，－1，1)，平面α的法向量为n＝(1，1，1)，则l⊥α
C. 平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D. 平面α经过三个点A(1，0，－1)，B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，p，q)是平面α的法向量，则p＋q＝
8 已知梯形CEPD如图1所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．当点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则实数λ的值为( )
图1 图2
A. B. C. D.
二、 多项选择题
9 已知平面α的一个法向量为n1＝(1，－2，－)，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2)，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)，则下列说法中正确的有( )
A. l⊥α
B. α⊥β
C. l与m为相交直线或异面直线
D. a在b上的投影向量的坐标为
10 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，P是线段A1C上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. 当＝2时，B，P，D1三点共线
B. 当⊥时，⊥
C. 当＝3时，D1P∥平面BDC1
D. 当＝5时，A1C⊥平面D1AP
三、填空题
11 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是棱A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1与DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
(第12题) (第13题)
13 如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．若BE⊥平面AOC，则a＝________．
四、解答题
14 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为A，PA＝AB＝1.设点E在棱PC上，当点E在何处时，AE⊥平面PBD成立？
15 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2.
(1) 求证：AE⊥PD；
(2) 求证：平面PBD⊥平面PAC.
16 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2.
(1) 求证：平面A1BC⊥平面ABC1；
(2) 在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
1. B 由题意，得向量a＝(4，－2，6)，b＝(－4，2x2，6x)共线，所以＝＝，解得x＝－1.
2. A 由题意，得＝(m＋1，3，2－m).因为平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以n⊥，所以n·＝－2×(m＋1)－2×3＋2－m＝0，解得m＝－2.
3. A 由题意，得n⊥，则n·＝0.若点P(2，3，3)，＝(1，4，1)，则n·＝2－4＋2＝0，故A正确；若点P(－2，0，1)，＝(－3，1，－1)，则n·＝－6－1－2＝－9，故B错误；若点P(－4，4，0)，＝(－5，5，－2)，则n·＝－10－5－4＝－19，故C错误；若点P(3，－3，4)，＝(2，－2，2)，则n·＝4＋2＋4＝10，故D错误．
4. A 由题意，得c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得即解得
5. D 由题意，得＝(x，y－1，z－2).因为平面α的一个法向量为(－2，1，－1)，所以(x，y－1，z－2)·(－2，1，－1)＝－2x＋y－1－(z－2)＝－2x＋y－z＋1＝0，即2x－y＋z＝1.
6. A 因为点P(1，0，－1)，A(1，2，3)，所以＝(0，－2，－4). 设经过直线l和点A的平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝t(t≠0)，则y＝－4t，z＝2t，所以法向量为n为(t，－4t，2t)(t∈R，t≠0)，所以当t＝时，平面α的一个法向量n的坐标为.
7. D 由题意，得点B(0，0，0), A(0，2，0), C(2，0，0), P(0，2，2)，所以 ＝(2，－2，－2), ＝(0，2，2).设 n＝(x，y，z)，则 令z＝2，得 n＝(0，－2，2).由题意可知平面PAB的一个法向量为m，易得m＝(1，0，0)，所以m·n＝0，即m⊥n，所以cos 〈m，n〉＝0.故A，B，C错误，D正确．
8. A 在空间中任取一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)，因为平面的法向量为m＝(－1，－2，1)，所以－(x－1)－2×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.故所求平面的方程为x＋2y－z－2＝0.
9. ABC 因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，故A正确；因为·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，故B正确；由A，B可知是平面ABCD的一个法向量，故C正确；因为＝－＝(2，3，4)，且≠λ，所以与不平行，故D错误．故选ABC.
10. ABD 对于A，因为关于平面xOy对称的点x，y轴的坐标不改变，z轴的坐标相反，所以点P(－3，8，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是P′(－3，8，5)，故A正确；对于B，直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，故B正确；对于C，当λ＝0时，λv＝0，不能作为直线l的方向向量，故C错误；对于D，因为n＝(0，0，1)在z轴所在直线上且垂直于坐标平面xOy，所以n＝(0，0，1)是坐标平面xOy的一个法向量，故D正确．故选ABD.
11. 1 0 由题意，得＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2).因为a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，所以即解得
12. (2，0，2)(答案不唯一) 令平面α内异于点P的另一个点的坐标为A(x，y，z)，则＝(x－3，y－2，z－1). 又n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，所以n·＝x－3＋0＋z－1＝0，所以x＋z＝4，故点A(2，0，2)满足要求.
13. (0，1，1)(答案不唯一) 设BD＝AB＝CD＝1，则点D(0，1，0)，C(1，1，0) ，A(0，0，1)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝1，可得z＝1，则m＝(0，1，1).
14. (1) 由题意，得点C(0，1，0)，
所以点D，即＝，
故直线CD的一个方向向量为.
(2) 设平面ADC的法向量为n＝(x，y，z)，且点A，D，C(0，1，0)，
所以＝，＝，
则解得
令x＝1，则y＝，z＝3，
故平面ADC的一个法向量为n＝(1，，3).
15. (1) 易知点B(1，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，3).
则＝(－1，2，0)，＝(0，0，3)，
设平面BCC1B1的法向量为u＝(x，y，z)，
则即可得z＝0，
令y＝1，则x＝2，
所以平面BCC1B1的一个法向量为u＝(2，1，0).
(2) 易知点B(1，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，3)，
则＝(－1，2，0)，＝(0，－2，3).
设平面A1BC的法向量为v＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝2，则y1＝3，x1＝6，
所以平面A1BC的一个法向量为v＝(6，3，2).
16. (1) 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.
由题意，得点B(0，1，0)，N(1，0，1)，
所以||＝，
所以线段BN的长为.
(2) 由题意，得点A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
所以cos 〈，〉＝＝，
所以与夹角的余弦值为.
(3) 由题意，得点A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B1(0，1，2)，N(1，0，1)，B(0，1，0).
所以点M，＝，＝(1，0，－1)，＝(1，－1，1)，
所以·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
所以⊥，⊥.
又C1M∩C1N＝C1，C1M 平面C1MN，C1N 平面C1MN，
所以BN⊥平面C1MN，
故是平面C1MN的一个法向量．
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
1. A 因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝，所以n＝－4，m＝6，所以m＋3n＝－6.
2. B 因为α∥β，所以n∥m，所以＝＝＝－4，所以x＝4，y＝－，所以x－y＝.
3. B 当l∥α时，因为a，b是不共线的向量，所以c可用a，b作为基底表示出来，即a，b，c共面，所以必要性成立；当a，b，c共面时，直线l可能在平面α内，故充分性不成立. 故“a，b，c三个向量共面”是“l∥α”的必要不充分条件．
4. B 因为a·n＝3×(－1)＋(－2)×(－2)＋(－1)×1＝0，所以a⊥n. 所以l∥α或l α.
5. C 由题意可设点M的坐标为(x，y，1)，AC∩BD＝O，连接OE，则O.又E(0，0，1)，A(，，0)，所以＝，＝(x－，y－，1).因为AM∥平面BDE，AM 平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，所以OE∥AM，所以解得所以点M的坐标为.
6. C 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E(0，1，)，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，则＝(－1，0，1)，＝.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝(2，1，2).因为＝(1，0，0)，且＝λ，所以F(λ，1，1)(0≤λ≤1).又因为B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0).由B1F∥平面A1BE，得n·＝2(λ－1)＋1×1＋0×2＝0，解得λ＝.
7. D 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，E(4，2，0)，F(1，4，0)，G(0，4，2)，＝(－3，2，0)，＝(－4，2，2). 设平面EFG的法向量为u＝(x，y，z)，则即令x＝2，得y＝3，z＝1，即u＝(2，3，1).设点P(0，m，n)(0≤m≤4，0≤n≤4)，则＝(－4，m，n).因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以AP∥平面EFG，则⊥u，所以－8＋3m＋n＝0，即n＝8－3m，所以AP＝＝＝，当m＝时，AP取得最小值，最小值为＝.
8. A 建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(3，4，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，5)，C1(0，4，5)，B1(3，4，5)，E(0，2，5)，F，G，则＝，＝，设平面EFG的法向量为n＝(a，b，c)，则令c＝4，得n＝.设点M(x，y，0)，则＝(x，y，－5)，由n·＝0，得x＋5y－20＝0，即4x＋3y－12＝0.又＝(3－x，4－y，5)，＝(－x，－y，5)，所以·＝(3－x)·(－x)＋(4－y)·(－y)＋25＝x2－3x＋y2－4y＋25＝＋(y－2)2＋.令d＝，则d的几何意义为动点(x，y)与定点之间的距离，所以dmin＝＝0，所以·的最小值为.
9. CD 对于A，若α∥β，则m∥n.又m·n＝0，即m⊥n，故A错误；对于B，因为m·a＝0，所以m⊥a，则l∥α或l α，故B错误；对于C，设存在实数x，y，使得a＝xm＋yn，即(1，4，1)＝x(2，－1，2)＋y(2，4，0)＝(2x＋2y，－x＋4y，2x)，则该方程组无解，即a，m，n不共面，故{a，m，n}可以作为空间的一个基底，故C正确；对于D，n在a上的投影向量为·＝a，则n在a上的投影向量的模长为|a|＝3，故D正确．故选CD.
10. AC 对于A，因为a＝(1，1，2)，b＝(2，2，4)，所以b＝2a，即a∥b，故l∥m，故A正确；对于B，因为直线l的方向向量为k＝(－1，1，2)，平面α的法向量为n＝(2，2，0)，所以k·n＝0，即k⊥n，故l∥α或l α，故B错误；对于C，因为两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(4，－2，1)，n2＝，所以n1＝－2n2，故n1∥n2，所以α∥β，故C正确；对于D，因为点A(1，－1，－1)，B(0，1，－1)，C(－1，2，0)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1，1，1).设c＝(s，u，t)是平面α的法向量，则即解得u＝t，故D错误．故选AC.
11. －3 若α∥β，则a∥b.又a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)，所以＝，即mn＝－3.
12. 以D为坐标原点，，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设AB＝2，则点A1(2，0，2)，M(0，1，2)，N(1，2，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，则＝(－2，1，0)，＝(－1，2，－2)，易得点Q(2－2λ，2，2)，则＝(－2λ，0，2).由题意，得向量，，共面，故存在t，s∈R，使＝t＋s，故解得则λ＝.
13. 如图，以正方体的顶点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N(1，0，)，动点P在底面正方形ABCD内(包括边界)，则设P(x，y，0)，且x，y∈[0，1]，则＝(x－1，y，－1)，设平面A1MN的法向量为n＝(a，b，c).又＝，＝，所以即令c＝2，则n＝(1，4，2).因为B1P∥平面A1MN，所以·n＝(x－1，y，－1)·(1，4，2)＝x－1＋4y－2＝0，即x＋4y－3＝0，则x＝－4y＋3∈[0，1]，所以y∈，则CP＝＝＝，由二次函数的性质可得当y＝时，CP＝；当y＝时，CP＝>，所以CP长度的最大值为.
14. 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，E，F(，1，1)，G(0，，1)，
所以＝(－，，0)，＝(－，0，1)，＝(－1，，1)，
所以＝＋，所以，，共面．
又因为AG 平面BEF，EF 平面BEF，BF 平面BEF，所以AG∥平面BEF.
15. 以A为原点，AC，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A1(0，0，3)，C(2，0，0)，M(0，1，0)，P.
设Q(a，a，3)，则＝(2，0，－3)，＝(0，1，－3)，＝.
设平面A1CM的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝.
因为PQ∥平面A1CM，
所以⊥n，即·n＝0，
所以(a－1)＋3(a－1)＋＝0，解得a＝，
则A1Q＝.
因为A1N＝，＝，
所以存在点Q在线段A1N上靠近点N的三等分点处，使PQ∥平面A1CM.
16. (1) 因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2，所以EG∥AC.
(2) 由(1)可知EG∥AC.
又AC 平面AB1C，EG 平面AB1C，
所以EG∥平面AB1C.
因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2，所以FG∥AB1.
又AB1 平面AB1C，FG 平面AB1C，
所以FG∥平面AB1C.
又EG∩FG＝G，EG 平面EFG，FG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB1C.
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
1. C 因为直线l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，所以存在实数λ，使得(2，1，m)＝λ，所以解得λ＝2，m＝4.
2. B 因为平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，且α⊥β，所以u·v＝－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6.
3. C 由题意，得(1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，则两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直．
4. C 由题意，得a，b分别是平面α，β的法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．
5. D 因为在“阳马”PABCD中，PA＝AB＝AD，所以AB⊥AD，PA⊥平面ABCD.又AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.令PA＝AB＝AD＝a，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，P(0，0，a).因为E，F分别为棱PB，PD的中点，所以E(，0，)，F.对于①，因为＝(a，0，－a)，＝，所以·＝a×＋0×＋(－a)×0＝－≠0，所以PB与平面AEF不垂直，故①错误；对于②，因为＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)，＝，所以·＝0，·＝0，所以PA⊥EF，EF⊥AC.又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以EF⊥平面PAC，故②正确；对于③，因为＝，＝，令平面AEF的法向量为n1＝(x，y，z)，则即取z＝－1，则x＝y＝1，故n1＝(1，1，－1).同理可得平面PBD，平面PCD法向量分别为n2＝(1，1，1)，n3＝(0，1，1).因为n1·n2＝1×1＋1×1＋(－1)×1＝1≠0，所以平面PBD与平面AEF不垂直，故③错误；对于④，因为n1·n3＝1×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以平面AEF⊥平面PCD，故④正确．
6. C 若 l⊥α，则l 与 m 共线，故A错误；若 l∥β，则l⊥n，即l·n＝0，故B错误；若 α⊥β，则 m与 n 垂直，即 m·n＝0，故C正确；若 α∥β，则 m 与 n 共线，故D错误．
7. D 对于A，因为a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－1)，所以a·b＝1×2－1×1＋2×(－1)＝－1≠0，所以l与m不垂直，故A错误；对于B，因为a＝(0，－1，1)，n＝(1，1，1)，所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋1×1＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l α，故B错误；对于C，因为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，所以n1·n2＝6≠0，所以n1，n2不垂直，即α与β不垂直，故C错误；对于D，＝(－1，－1，1)，＝(－1，3，0)，由n·＝－1－p＋q＝0，n·＝－1＋3p＝0，解得p＝，q＝，所以p＋q＝，故D正确．
8. C 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，C(4，4，0)，P(0，0，4)，B(4，0，0).设F(t，0，0)，09. BC 因为a·n1＝0，所以l∥α或l α，故A错误；因为n1·n2＝0，所以α⊥β，故B正确；因为≠，所以a∥b不成立，所以l与m为相交直线或异面直线，故C正确；a在b向量上的投影向量为·b＝×(0，1，－2)＝，故D错误．故选BC.
10. ACD 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1).设＝k，＝(－1，，－1)，则＝，得＝＋＝，＝＋＝，对于A，当＝2时，P为对角线A1C的中点，由长方体的性质可得B，P，D1三点共线，故A正确；对于B，当⊥时，·＝＋＋－1＝0，解得k＝5，所以＝，＝，则·＝·＝－＋－≠0，故B错误；对于C，当＝3时，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(1，，0)，＝(0，，1)，所以n·＝x＋y＝0，n·＝y＋z＝0，当y＝－1时，x＝，z＝，即n＝(，－1，)，所以n·＝×－－×＝0，所以n⊥.又D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，故C正确；对于D，当＝5时， ＝，＝(1，0，－1).设平面D1AP的法向量为m＝(a，b，c)，则m·＝－a＋b＋c＝0，m·＝a－c＝0，令a＝－1，则b＝，c＝－1，所以m＝(－1，，－1).又＝(－1，，－1)，所以∥m，所以A1C⊥平面D1AP，故D正确．故选ACD.
11. 垂直 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为分别x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M(0，1，)，O，N，所以·＝·＝0，所以ON与AM垂直．
12. 以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得A1(1，0，0)，B1(0，1，0)，D(，，0)，C1(0，0，0)，A(1，0，2).设F(0，1，t)，0≤t≤2，＝，＝(－1，1，－2)，＝(0，1，t).因为AB1⊥平面C1DF，所以·＝0，即0＋1－2t＝0，解得t＝，所以线段B1F的长为.
13. 因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB＝EF，AO 平面AEF，所以AO⊥平面EFCB.过点O在平面EFCB内作一直线垂直于EF交BC于点G，以O为坐标原点，OE，OG，OA所在直线为分别x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，(2－a)，0)，E(a，0，0)，C(－2，(2－a)，0).因为BE⊥平面AOC，OC 平面AOC，则BE⊥OC，即·＝0.因为＝(a－2，－(2－a)，0)，＝(－2，(2－a)，0)，所以·＝(a－2，－(2－a)，0)·(－2，(2－a)，0)＝－3a2＋10a－8＝0，解得a＝或a＝2(舍去).
14. 因为底面ABCD是正方形，
所以AB⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
则AB，AD，PA两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1).
设平面PBD的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得x＝1，y＝1，则n＝(1，1，1).
设E(a，b，c)，则＝(a，b，c－1)，
设＝λ，0≤λ≤1，
则(a，b，c－1)＝λ(1，1，－1)，
则E(λ，λ，1－λ)，＝(λ，λ，1－λ).
若AE⊥平面PBD，则∥n，
即λ＝λ＝1－λ，解得λ＝，
所以E为棱PC的中点，
故当E为棱PC的中点时，AE⊥平面PBD.
15. 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
(1) 因为E是PC的中点，
所以点E的坐标为(1，1，1)，
所以＝(1，1，1).
又因为＝(0，2，－2)，
所以·＝1×0＋1×2＋1×(－2)＝0，
所以⊥，即AE⊥PD.
(2) 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥AP.
又因为AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
又BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC.
16. (1) 由题意可知AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因为CC1⊥BC，CC1∩AC＝C，AC 平面ACC1A1，CC1 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又AC1 平面ACC1A1，
所以BC⊥AC1.
因为四边形AA1C1C是边长为的正方形，
所以AC1⊥A1C.
又BC∩A1C＝C，BC 平面A1BC，A1C 平面A1BC，
所以AC1⊥平面A1BC.
又AC1 平面ABC1，
所以平面A1BC⊥平面ABC1.
(2) 存在．理由如下：
由(1)，得CA，CB，CC1两两垂直，则以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(，0，0)，C(0，0，0)，B(0，1，0), A1(，0，)，C1(0，0，).
设M(x，y，z)，则＝λ(0≤λ≤1)，所以(x，y－1，z)＝λ(，－1，)，解得x＝λ，y＝1－ λ，z＝λ，所以＝(λ，1－λ，λ), ＝(0，1，－).
因为CM⊥BC1，则· ＝ 0，即1－λ－3λ＝0，解得λ＝，
故在线段BA1上存在点M，使得CM⊥BC1，且＝.
一、 单项选择题
1 已知向量a＝(4，－2，6)，b＝(－4，2x2，6x)均为直线l的方向向量，则实数x的值是( )
A. －1或1 B. －1 C. －3 D. 1
2 已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(－1，－3，0)在平面α内. 若点B(m，0，2－m)在平面α内，则实数m的值为( )
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
3 已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量是n＝(2，－1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A. P(2，3，3) B. P(－2，0，1)
C. P(－4，4，0) D. P(3，－3，4)
4 已知平面α内的两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，2，－1)，若c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，且c为平面α的法向量，则m，n的值分别为( )
A. －1，2 B. 1，－2
C. 1，2 D. －1，－2
5已知平面α经过点A(0，1，2)，且平面α的一个法向量为(－2，1，－1)，P(x，y，z)是平面α内任意一点，则下列说法中正确的是( )
A. x＋y－z＝0 B. x＋y－z＝－1
C. 2x－y＋z＝0 D. 2x－y＋z＝1
6 已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量s＝(2，1，1)，平面α经过直线l和点A(1，2，3)，则平面α的一个法向量n的坐标为( )
A. B.
C. (1，0，－2) D. (1，－2，0)
7 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AB＝2，以B为坐标原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PAB和平面PBC的一个法向量分别为m，n，则下列结论中正确的是( )
A. 点P的坐标为(0，0，2)
B. ＝(4，0，－2)
C. cos 〈m，n〉>0
D. n＝(0，－2，2)
8 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3，4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简，得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1，2，3)，且法向量为m＝(－1，－2，1)的平面的方程为( )
A. x＋2y－z－2＝0 B. x－2y－z－2＝0
C. x＋2y＋z－2＝0 D. x＋2y＋z＋2＝0
二、 多项选择题
9已知P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则下列结论中正确的有( )
A. ⊥
B. ⊥
C. 是平面ABCD的一个法向量
D. ∥
10下列命题中，正确的有( )
A. 点P(－3，8，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是P′(－3，8，5)
B. 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量
C. 若v是直线l的方向向量，则λv(λ∈R) 也是直线l的方向向量
D. 在空间直角坐标系中，n＝(0，0，1)是坐标平面xOy的一个法向量
三、填空题
11 在平面ABC中，A(0，1，1)，B(1，2，1)，C(－1，0，－1)，若a＝(－1，y，z)，且a为平面ABC的法向量，则y＝________，z＝________.
12 已知n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，点P(3，2，1)位于平面α内，写出平面α内异于点P的另一个点的坐标________.
13 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，∠BDC＝90°，BD＝AB＝CD.若建立如图所示的空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向量的坐标为________．
四、 解答题
14 如图，已知BC＝2，坐标原点O是BC的中点，点A的坐标为(，，0)，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.求：
(1) 直线CD的一个方向向量；
(2) 平面ADC的一个法向量．
15 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝2，AA1＝3.以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．求：
(1) 平面BCC1B1的一个法向量；
(2) 平面A1BC的一个法向量．
16 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1的长为2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(1) 求的模长；
(2) 求与夹角的余弦值；
(3) 求证：是平面C1MN的一个法向量．
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
一、 单项选择题
1 已知直线l1的方向向量为a＝(－1，2，m)，直线l2的方向向量为b＝(2，n，－12)，且l1∥l2，则m＋3n的值是( )
A. －6 B. 6
C. 14 D. －14
2已知平面α的法向量为n＝(x，1，－2)，平面β的法向量为m＝(－1，y，)，若α∥β，则x－y的值为( )
A. B.
C. 3 D.
3 已知向量a，b是平面α上两个不共线的向量，非零向量c是直线l的一个方向向量，则“a，b，c三个向量共面”是“l∥α”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 设a＝(3，－2，－1)是直线l的方向向量，n＝(－1，－2，1)是平面α的法向量，则直线l与平面α( )
A. 垂直 B. 平行或在平面α内
C. 平行 D. 在平面α内
5 如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，点M在线段EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为( )
A. (1，1，1)
B. (1，，1)
C. (，，1)
D. (，，)
6 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且＝λ，若B1F∥平面A1BE，则实数λ的值为( )
A. B. C. D.
(第6题) (第7题)
7 如图，正方形ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，G，E分别是棱CC1，AB的中点，P是四边形CC1D1D内一动点，＝，若直线AP与平面EFG没有公共点，则线段AP的最小值为( )
A. B. 4 C. 5 D.
8 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝3，AA1＝5，AB＝4，E，F，G分别是棱C1D1，BC，CC1的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线D1M与平面EFG平行，则·的最小值为( )
A. B. 25 C. 10 D.
二、 多项选择题
9 已知平面α，β的法向量分别是m＝(2，－1，2)，n＝(2，4，0)，直线l的方向向量为a＝(1，4，1)，则下列说法中正确的是( )
A. α∥β
B. l∥α
C. {a，m，n}可以作为空间的一个基底
D. n在a上的投影向量的模长为3
10 下列结论中，正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为a＝(1，1，2)，直线m的方向向量为b＝(2，2，4)，则l∥m
B. 若直线l的方向向量为k＝(－1，1，2)，平面α的法向量为n＝(2，2，0)，则l∥α
C. 若两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(4，－2，1)，n2＝，则α∥β
D. 若平面α经过三点A(1，－1，－1)，B(0，1，－1)，C(－1，2，0)，向量c＝(s，u，t)是平面α的法向量，则u＝－t
三、填空题
11 已知a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)分别是平面α，β的法向量，且α∥β，则mn＝________.
12 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，BC的中点，Q为直线B1C1上的点，且＝λ，若BQ∥平面A1MN，则λ＝________.
13 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱AD，B1B的中点，动点P在底面正方形ABCD内(包括边界)，若B1P∥平面A1MN，则CP长度的最大值为________.
四、解答题
14 如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1，B1C1，C1D1的中点．求证：AG∥平面BEF.
15 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝3，M是棱AB的中点，N是棱B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点．在线段A1N上是否存在点Q，使得PQ∥平面A1CM
16 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱A1D1，D1D，D1C1的中点．
(1) 求证：EG∥AC；
(2) 求证：平面EFG∥平面AB1C.
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
一、 单项选择题
1 若直线l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，则实数m的值为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
2 两平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )
A. －3 B. 6 C. －6 D. －12
3 若平面α的一个法向量是(1，2，3)，平面β的一个法向量是(3，0，－1)，则平面α与β的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交且不垂直
C. 相交且垂直 D. 不确定
4 设a，b是两条直线，a，b分别为直线a，b的方向向量，α，β是两个平面，且a⊥α，b⊥β，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 我国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．今有“阳马”为P-ABCD，PA＝AB＝AD，E，F分别为棱PB，PD的中点．以下四个结论：①PB⊥平面AEF；②EF⊥平面PAC；③平面PBD⊥平面AEF；④平面AEF⊥平面PCD.其中正确的是( )
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
6 直线l的方向向量为l，平面α与β的法向量分别为m，n，则下列结论中正确的是( )
A. 若l⊥α，则l·m＝0
B. 若l∥β，则l＝kn
C. 若α⊥β，则m·n＝0
D. 若α∥β，则m·n＝0
7 下列命题中，正确的是( )
A. 直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝(2，1，－1)，则l与m垂直
B. 直线l的方向向量为a＝(0，－1，1)，平面α的法向量为n＝(1，1，1)，则l⊥α
C. 平面α，β的法向量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α⊥β
D. 平面α经过三个点A(1，0，－1)，B(0，－1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，p，q)是平面α的法向量，则p＋q＝
8 已知梯形CEPD如图1所示，其中PD＝8，CE＝6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如图2所示的几何体．当点F满足＝λ(0<λ<1)时，平面DEF⊥平面PCE，则实数λ的值为( )
图1 图2
A. B. C. D.
二、 多项选择题
9 已知平面α的一个法向量为n1＝(1，－2，－)，平面β的一个法向量为n2＝(－1，0，－2)，直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，直线m的方向向量为b＝(0，1，－2)，则下列说法中正确的有( )
A. l⊥α
B. α⊥β
C. l与m为相交直线或异面直线
D. a在b上的投影向量的坐标为
10 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝，P是线段A1C上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. 当＝2时，B，P，D1三点共线
B. 当⊥时，⊥
C. 当＝3时，D1P∥平面BDC1
D. 当＝5时，A1C⊥平面D1AP
三、填空题
11 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________．
12 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是棱A1B1的中点，F是棱BB1上的动点，AB1与DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．
(第12题) (第13题)
13 如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．若BE⊥平面AOC，则a＝________．
四、解答题
14 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为A，PA＝AB＝1.设点E在棱PC上，当点E在何处时，AE⊥平面PBD成立？
15 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点，已知AB＝2，PA＝2.
(1) 求证：AE⊥PD；
(2) 求证：平面PBD⊥平面PAC.
16 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2.
(1) 求证：平面A1BC⊥平面ABC1；
(2) 在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)
1. B 由题意，得向量a＝(4，－2，6)，b＝(－4，2x2，6x)共线，所以＝＝，解得x＝－1.
2. A 由题意，得＝(m＋1，3，2－m).因为平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，所以n⊥，所以n·＝－2×(m＋1)－2×3＋2－m＝0，解得m＝－2.
3. A 由题意，得n⊥，则n·＝0.若点P(2，3，3)，＝(1，4，1)，则n·＝2－4＋2＝0，故A正确；若点P(－2，0，1)，＝(－3，1，－1)，则n·＝－6－1－2＝－9，故B错误；若点P(－4，4，0)，＝(－5，5，－2)，则n·＝－10－5－4＝－19，故C错误；若点P(3，－3，4)，＝(2，－2，2)，则n·＝4＋2＋4＝10，故D错误．
4. A 由题意，得c＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1).由c为平面α的法向量，得即解得
5. D 由题意，得＝(x，y－1，z－2).因为平面α的一个法向量为(－2，1，－1)，所以(x，y－1，z－2)·(－2，1，－1)＝－2x＋y－1－(z－2)＝－2x＋y－z＋1＝0，即2x－y＋z＝1.
6. A 因为点P(1，0，－1)，A(1，2，3)，所以＝(0，－2，－4). 设经过直线l和点A的平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝t(t≠0)，则y＝－4t，z＝2t，所以法向量为n为(t，－4t，2t)(t∈R，t≠0)，所以当t＝时，平面α的一个法向量n的坐标为.
7. D 由题意，得点B(0，0，0), A(0，2，0), C(2，0，0), P(0，2，2)，所以 ＝(2，－2，－2), ＝(0，2，2).设 n＝(x，y，z)，则 令z＝2，得 n＝(0，－2，2).由题意可知平面PAB的一个法向量为m，易得m＝(1，0，0)，所以m·n＝0，即m⊥n，所以cos 〈m，n〉＝0.故A，B，C错误，D正确．
8. A 在空间中任取一点P(x，y，z)，则＝(x－1，y－2，z－3)，因为平面的法向量为m＝(－1，－2，1)，所以－(x－1)－2×(y－2)＋1×(z－3)＝0，即x＋2y－z－2＝0.故所求平面的方程为x＋2y－z－2＝0.
9. ABC 因为·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，所以⊥，故A正确；因为·＝4×(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以⊥，故B正确；由A，B可知是平面ABCD的一个法向量，故C正确；因为＝－＝(2，3，4)，且≠λ，所以与不平行，故D错误．故选ABC.
10. ABD 对于A，因为关于平面xOy对称的点x，y轴的坐标不改变，z轴的坐标相反，所以点P(－3，8，－5)关于平面xOy对称的点的坐标是P′(－3，8，5)，故A正确；对于B，直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量，故B正确；对于C，当λ＝0时，λv＝0，不能作为直线l的方向向量，故C错误；对于D，因为n＝(0，0，1)在z轴所在直线上且垂直于坐标平面xOy，所以n＝(0，0，1)是坐标平面xOy的一个法向量，故D正确．故选ABD.
11. 1 0 由题意，得＝(1，1，0)，＝(－1，－1，－2).因为a＝(－1，y，z)为平面ABC的法向量，所以即解得
12. (2，0，2)(答案不唯一) 令平面α内异于点P的另一个点的坐标为A(x，y，z)，则＝(x－3，y－2，z－1). 又n＝(1，0，1)为平面α的一个法向量，所以n·＝x－3＋0＋z－1＝0，所以x＋z＝4，故点A(2，0，2)满足要求.
13. (0，1，1)(答案不唯一) 设BD＝AB＝CD＝1，则点D(0，1，0)，C(1，1，0) ，A(0，0，1)，则＝(1，0，0)，＝(0，1，－1)，设平面ACD的法向量为m＝(x，y，z)，则令y＝1，可得z＝1，则m＝(0，1，1).
14. (1) 由题意，得点C(0，1，0)，
所以点D，即＝，
故直线CD的一个方向向量为.
(2) 设平面ADC的法向量为n＝(x，y，z)，且点A，D，C(0，1，0)，
所以＝，＝，
则解得
令x＝1，则y＝，z＝3，
故平面ADC的一个法向量为n＝(1，，3).
15. (1) 易知点B(1，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，3).
则＝(－1，2，0)，＝(0，0，3)，
设平面BCC1B1的法向量为u＝(x，y，z)，
则即可得z＝0，
令y＝1，则x＝2，
所以平面BCC1B1的一个法向量为u＝(2，1，0).
(2) 易知点B(1，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，3)，
则＝(－1，2，0)，＝(0，－2，3).
设平面A1BC的法向量为v＝(x1，y1，z1)，
则即
令z1＝2，则y1＝3，x1＝6，
所以平面A1BC的一个法向量为v＝(6，3，2).
16. (1) 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系C-xyz.
由题意，得点B(0，1，0)，N(1，0，1)，
所以||＝，
所以线段BN的长为.
(2) 由题意，得点A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)，B(0，1，0)，
所以＝(1，－1，2)，＝(0，1，2)，
所以·＝1×0＋(－1)×1＋2×2＝3.
又||＝，||＝，
所以cos 〈，〉＝＝，
所以与夹角的余弦值为.
(3) 由题意，得点A1(1，0，2)，C1(0，0，2)，B1(0，1，2)，N(1，0，1)，B(0，1，0).
所以点M，＝，＝(1，0，－1)，＝(1，－1，1)，
所以·＝×1＋×(－1)＋1×0＝0，
·＝1×1＋0×(－1)＋(－1)×1＝0.
所以⊥，⊥.
又C1M∩C1N＝C1，C1M 平面C1MN，C1N 平面C1MN，
所以BN⊥平面C1MN，
故是平面C1MN的一个法向量．
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(2)
1. A 因为l1∥l2，所以a∥b，所以＝＝，所以n＝－4，m＝6，所以m＋3n＝－6.
2. B 因为α∥β，所以n∥m，所以＝＝＝－4，所以x＝4，y＝－，所以x－y＝.
3. B 当l∥α时，因为a，b是不共线的向量，所以c可用a，b作为基底表示出来，即a，b，c共面，所以必要性成立；当a，b，c共面时，直线l可能在平面α内，故充分性不成立. 故“a，b，c三个向量共面”是“l∥α”的必要不充分条件．
4. B 因为a·n＝3×(－1)＋(－2)×(－2)＋(－1)×1＝0，所以a⊥n. 所以l∥α或l α.
5. C 由题意可设点M的坐标为(x，y，1)，AC∩BD＝O，连接OE，则O.又E(0，0，1)，A(，，0)，所以＝，＝(x－，y－，1).因为AM∥平面BDE，AM 平面ACEF，平面BDE∩平面ACEF＝OE，所以OE∥AM，所以解得所以点M的坐标为.
6. C 以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则B(1，0，0)，E(0，1，)，D1(0，1，1)，C1(1，1，1)，A1(0，0，1)，则＝(－1，0，1)，＝.设n＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则令z＝2，则x＝2，y＝1，即n＝(2，1，2).因为＝(1，0，0)，且＝λ，所以F(λ，1，1)(0≤λ≤1).又因为B1(1，0，1)，所以＝(λ－1，1，0).由B1F∥平面A1BE，得n·＝2(λ－1)＋1×1＋0×2＝0，解得λ＝.
7. D 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(4，0，0)，E(4，2，0)，F(1，4，0)，G(0，4，2)，＝(－3，2，0)，＝(－4，2，2). 设平面EFG的法向量为u＝(x，y，z)，则即令x＝2，得y＝3，z＝1，即u＝(2，3，1).设点P(0，m，n)(0≤m≤4，0≤n≤4)，则＝(－4，m，n).因为直线AP与平面EFG没有公共点，所以AP∥平面EFG，则⊥u，所以－8＋3m＋n＝0，即n＝8－3m，所以AP＝＝＝，当m＝时，AP取得最小值，最小值为＝.
8. A 建立如图所示空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(3，4，0)，C(0，4，0)，D1(0，0，5)，C1(0，4，5)，B1(3，4，5)，E(0，2，5)，F，G，则＝，＝，设平面EFG的法向量为n＝(a，b，c)，则令c＝4，得n＝.设点M(x，y，0)，则＝(x，y，－5)，由n·＝0，得x＋5y－20＝0，即4x＋3y－12＝0.又＝(3－x，4－y，5)，＝(－x，－y，5)，所以·＝(3－x)·(－x)＋(4－y)·(－y)＋25＝x2－3x＋y2－4y＋25＝＋(y－2)2＋.令d＝，则d的几何意义为动点(x，y)与定点之间的距离，所以dmin＝＝0，所以·的最小值为.
9. CD 对于A，若α∥β，则m∥n.又m·n＝0，即m⊥n，故A错误；对于B，因为m·a＝0，所以m⊥a，则l∥α或l α，故B错误；对于C，设存在实数x，y，使得a＝xm＋yn，即(1，4，1)＝x(2，－1，2)＋y(2，4，0)＝(2x＋2y，－x＋4y，2x)，则该方程组无解，即a，m，n不共面，故{a，m，n}可以作为空间的一个基底，故C正确；对于D，n在a上的投影向量为·＝a，则n在a上的投影向量的模长为|a|＝3，故D正确．故选CD.
10. AC 对于A，因为a＝(1，1，2)，b＝(2，2，4)，所以b＝2a，即a∥b，故l∥m，故A正确；对于B，因为直线l的方向向量为k＝(－1，1，2)，平面α的法向量为n＝(2，2，0)，所以k·n＝0，即k⊥n，故l∥α或l α，故B错误；对于C，因为两个不同平面α，β的法向量分别为n1＝(4，－2，1)，n2＝，所以n1＝－2n2，故n1∥n2，所以α∥β，故C正确；对于D，因为点A(1，－1，－1)，B(0，1，－1)，C(－1，2，0)，所以＝(－1，2，0)，＝(－1，1，1).设c＝(s，u，t)是平面α的法向量，则即解得u＝t，故D错误．故选AC.
11. －3 若α∥β，则a∥b.又a＝(0，1，m)，b＝(0，n，－3)，所以＝，即mn＝－3.
12. 以D为坐标原点，，，所在方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设AB＝2，则点A1(2，0，2)，M(0，1，2)，N(1，2，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)，则＝(－2，1，0)，＝(－1，2，－2)，易得点Q(2－2λ，2，2)，则＝(－2λ，0，2).由题意，得向量，，共面，故存在t，s∈R，使＝t＋s，故解得则λ＝.
13. 如图，以正方体的顶点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N(1，0，)，动点P在底面正方形ABCD内(包括边界)，则设P(x，y，0)，且x，y∈[0，1]，则＝(x－1，y，－1)，设平面A1MN的法向量为n＝(a，b，c).又＝，＝，所以即令c＝2，则n＝(1，4，2).因为B1P∥平面A1MN，所以·n＝(x－1，y，－1)·(1，4，2)＝x－1＋4y－2＝0，即x＋4y－3＝0，则x＝－4y＋3∈[0，1]，所以y∈，则CP＝＝＝，由二次函数的性质可得当y＝时，CP＝；当y＝时，CP＝>，所以CP长度的最大值为.
14. 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(1，1，0)，E，F(，1，1)，G(0，，1)，
所以＝(－，，0)，＝(－，0，1)，＝(－1，，1)，
所以＝＋，所以，，共面．
又因为AG 平面BEF，EF 平面BEF，BF 平面BEF，所以AG∥平面BEF.
15. 以A为原点，AC，AB，AA1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，则A1(0，0，3)，C(2，0，0)，M(0，1，0)，P.
设Q(a，a，3)，则＝(2，0，－3)，＝(0，1，－3)，＝.
设平面A1CM的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得n＝.
因为PQ∥平面A1CM，
所以⊥n，即·n＝0，
所以(a－1)＋3(a－1)＋＝0，解得a＝，
则A1Q＝.
因为A1N＝，＝，
所以存在点Q在线段A1N上靠近点N的三等分点处，使PQ∥平面A1CM.
16. (1) 因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2，所以EG∥AC.
(2) 由(1)可知EG∥AC.
又AC 平面AB1C，EG 平面AB1C，
所以EG∥平面AB1C.
因为＝＋＝＋，＝＋，
所以＝2，所以FG∥AB1.
又AB1 平面AB1C，FG 平面AB1C，
所以FG∥平面AB1C.
又EG∩FG＝G，EG 平面EFG，FG 平面EFG，
所以平面EFG∥平面AB1C.
1．4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系(3)
1. C 因为直线l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为，且l⊥α，所以存在实数λ，使得(2，1，m)＝λ，所以解得λ＝2，m＝4.
2. B 因为平面α，β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，且α⊥β，所以u·v＝－6＋y＋z＝0，所以y＋z＝6.
3. C 由题意，得(1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，则两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直．
4. C 由题意，得a，b分别是平面α，β的法向量，所以α⊥β等价于a⊥b，即“α⊥β”是“a⊥b”的充要条件．
5. D 因为在“阳马”PABCD中，PA＝AB＝AD，所以AB⊥AD，PA⊥平面ABCD.又AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.令PA＝AB＝AD＝a，则A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(a，a，0)，D(0，a，0)，P(0，0，a).因为E，F分别为棱PB，PD的中点，所以E(，0，)，F.对于①，因为＝(a，0，－a)，＝，所以·＝a×＋0×＋(－a)×0＝－≠0，所以PB与平面AEF不垂直，故①错误；对于②，因为＝(0，0，－a)，＝(a，a，0)，＝，所以·＝0，·＝0，所以PA⊥EF，EF⊥AC.又PA∩AC＝A，PA 平面PAC，AC 平面PAC，所以EF⊥平面PAC，故②正确；对于③，因为＝，＝，令平面AEF的法向量为n1＝(x，y，z)，则即取z＝－1，则x＝y＝1，故n1＝(1，1，－1).同理可得平面PBD，平面PCD法向量分别为n2＝(1，1，1)，n3＝(0，1，1).因为n1·n2＝1×1＋1×1＋(－1)×1＝1≠0，所以平面PBD与平面AEF不垂直，故③错误；对于④，因为n1·n3＝1×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以平面AEF⊥平面PCD，故④正确．
6. C 若 l⊥α，则l 与 m 共线，故A错误；若 l∥β，则l⊥n，即l·n＝0，故B错误；若 α⊥β，则 m与 n 垂直，即 m·n＝0，故C正确；若 α∥β，则 m 与 n 共线，故D错误．
7. D 对于A，因为a＝(1，－1，2)，b＝(2，1，－1)，所以a·b＝1×2－1×1＋2×(－1)＝－1≠0，所以l与m不垂直，故A错误；对于B，因为a＝(0，－1，1)，n＝(1，1，1)，所以a·n＝0×1＋1×(－1)＋1×1＝0，所以a⊥n，所以l∥α或l α，故B错误；对于C，因为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，所以n1·n2＝6≠0，所以n1，n2不垂直，即α与β不垂直，故C错误；对于D，＝(－1，－1，1)，＝(－1，3，0)，由n·＝－1－p＋q＝0，n·＝－1＋3p＝0，解得p＝，q＝，所以p＋q＝，故D正确．
8. C 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，C(4，4，0)，P(0，0，4)，B(4，0，0).设F(t，0，0)，0
10. ACD 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0，0，0)，C(0，，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，，0)，C1(0，，1).设＝k，＝(－1，，－1)，则＝，得＝＋＝，＝＋＝，对于A，当＝2时，P为对角线A1C的中点，由长方体的性质可得B，P，D1三点共线，故A正确；对于B，当⊥时，·＝＋＋－1＝0，解得k＝5，所以＝，＝，则·＝·＝－＋－≠0，故B错误；对于C，当＝3时，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，因为＝(1，，0)，＝(0，，1)，所以n·＝x＋y＝0，n·＝y＋z＝0，当y＝－1时，x＝，z＝，即n＝(，－1，)，所以n·＝×－－×＝0，所以n⊥.又D1P 平面BDC1，所以D1P∥平面BDC1，故C正确；对于D，当＝5时， ＝，＝(1，0，－1).设平面D1AP的法向量为m＝(a，b，c)，则m·＝－a＋b＋c＝0，m·＝a－c＝0，令a＝－1，则b＝，c＝－1，所以m＝(－1，，－1).又＝(－1，，－1)，所以∥m，所以A1C⊥平面D1AP，故D正确．故选ACD.
11. 垂直 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为分别x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，M(0，1，)，O，N，所以·＝·＝0，所以ON与AM垂直．
12. 以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线为分别x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由题意，得A1(1，0，0)，B1(0，1，0)，D(，，0)，C1(0，0，0)，A(1，0，2).设F(0，1，t)，0≤t≤2，＝，＝(－1，1，－2)，＝(0，1，t).因为AB1⊥平面C1DF，所以·＝0，即0＋1－2t＝0，解得t＝，所以线段B1F的长为.
13. 因为△AEF为等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又平面AEF⊥平面EFCB，平面AEF∩平面EFCB＝EF，AO 平面AEF，所以AO⊥平面EFCB.过点O在平面EFCB内作一直线垂直于EF交BC于点G，以O为坐标原点，OE，OG，OA所在直线为分别x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(2，(2－a)，0)，E(a，0，0)，C(－2，(2－a)，0).因为BE⊥平面AOC，OC 平面AOC，则BE⊥OC，即·＝0.因为＝(a－2，－(2－a)，0)，＝(－2，(2－a)，0)，所以·＝(a－2，－(2－a)，0)·(－2，(2－a)，0)＝－3a2＋10a－8＝0，解得a＝或a＝2(舍去).
14. 因为底面ABCD是正方形，
所以AB⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AD，
则AB，AD，PA两两垂直．
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，
所以＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1).
设平面PBD的法向量n＝(x，y，z)，
则即
令z＝1，得x＝1，y＝1，则n＝(1，1，1).
设E(a，b，c)，则＝(a，b，c－1)，
设＝λ，0≤λ≤1，
则(a，b，c－1)＝λ(1，1，－1)，
则E(λ，λ，1－λ)，＝(λ，λ，1－λ).
若AE⊥平面PBD，则∥n，
即λ＝λ＝1－λ，解得λ＝，
所以E为棱PC的中点，
故当E为棱PC的中点时，AE⊥平面PBD.
15. 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).
(1) 因为E是PC的中点，
所以点E的坐标为(1，1，1)，
所以＝(1，1，1).
又因为＝(0，2，－2)，
所以·＝1×0＋1×2＋1×(－2)＝0，
所以⊥，即AE⊥PD.
(2) 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
因为PA⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，
所以BD⊥AP.
又因为AC∩AP＝A，AC 平面PAC，AP 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，
又BD 平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC.
16. (1) 由题意可知AC2＋BC2＝AB2，
所以AC⊥BC.
因为CC1⊥BC，CC1∩AC＝C，AC 平面ACC1A1，CC1 平面ACC1A1，
所以BC⊥平面ACC1A1.
又AC1 平面ACC1A1，
所以BC⊥AC1.
因为四边形AA1C1C是边长为的正方形，
所以AC1⊥A1C.
又BC∩A1C＝C，BC 平面A1BC，A1C 平面A1BC，
所以AC1⊥平面A1BC.
又AC1 平面ABC1，
所以平面A1BC⊥平面ABC1.
(2) 存在．理由如下：
由(1)，得CA，CB，CC1两两垂直，则以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(，0，0)，C(0，0，0)，B(0，1，0), A1(，0，)，C1(0，0，).
设M(x，y，z)，则＝λ(0≤λ≤1)，所以(x，y－1，z)＝λ(，－1，)，解得x＝λ，y＝1－ λ，z＝λ，所以＝(λ，1－λ，λ), ＝(0，1，－).
因为CM⊥BC1，则· ＝ 0，即1－λ－3λ＝0，解得λ＝，
故在线段BA1上存在点M，使得CM⊥BC1，且＝.