1.4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 练习（含答案） 高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(1)
一、 单项选择题
1 若平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，点A(1，0，－1)，B(0，－1，1)，且A α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　)
A. 1 B. C. D.
2 已知直线l的方向向量为n＝(1，0，2)，点A(0，1，1)在直线l上，则点P(1，2，2)到直线l的距离为(　　)
A. 2 B. C. D.
3 已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2，1)，点A(x，3，0)在平面α内，若点P(－2，1，4)到平面α的距离为d＝，则实数x的值为(　　)
A. －1 B. 11
C. －1或－11 D. 9或－21
4 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，O是四边形A1B1C1D1的中心，则点O到平面ABC1D1的距离是(　　)
A. B. C. D.
5 定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则异面直线AC与BC1之间的距离是(　　)
A. B. C. D.
6 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，AA1＝4，且＝，3＝，＝3，则点A到平面EFG的距离为(　　)
A. 1 B. C. D.
(第6题) (第7题)
7 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，D，E，N分别为线段PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝2AB＝4，则直线MN到平面BDE的距离为(　　)
A. B. C. D.
8 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1D1，CC1的中点，在平面BB1C1C内存在点G，使得A1G∥EF，则直线AD到平面EFG的距离为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
9 如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1和BB1的中点，则以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是(　　)
A. EF∥平面ABCD
B. D1E⊥CF
C. a＝(1，0，2)是平面EFD1的一个法向量
D. 点C到平面EFD1的距离为
10 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，O分别是A1B1，A1C1的中点，点P在正方体内部，且满足＝＋＋，则下列说法中正确的是(　　)
A. 点A到直线BE的距离是
B. 点O到平面ABC1D1的距离为
C. 平面A1BD与平面B1CD1间的距离为
D. 点P到直线AB的距离为
三、填空题
11 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，E为AB的中点，则点B到平面D1EC的距离为________．
12 已知AB∥平面α，平面α的法向量为n＝(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为________.
13 如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是上异于C，D的点，当三棱锥C-MDB的体积最大时，点C到平面DBM的距离为________．
四、解答题
14 在三棱锥P-ABC中，底面ABC为直角三角形，AB＝BC，PA⊥平面ABC.
(1) 求证：BC⊥PB；
(2) 若D为AC的中点，且PA＝2AB＝4，求点D到平面PBC的距离.
15 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在棱BB1上，两条直线MA，MC与平面ABCD所成角均为θ，AC与BD交于点O.
(1) 求证：AC⊥OM；
(2) 当AB＝BM＝BB1＝1时，求点D1到平面AMC的距离．
16 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，EF∥平面ABCD，EA＝ED＝AD＝EF＝2，AB＝4，M为棱BC的中点．
(1) 求证：FM∥平面BDE；
(2) 若平面ADE⊥平面ABCD，求点F到平面BDE的距离．
1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(2)
一、 单项选择题
1 已知直线l1的一个方向向量为m＝(x，－2，0)，直线l2的一个方向向量为n＝(0，1，1)，若直线l1，l2所成的角为60°，则实数x的值为(　　)
A. 0 B. ±2 C. ± D. 2
2 已知平面α的一个法向量为n＝(，1，－1)，点A(－1，2，0)在平面α内，点P(－1，2，)在平面α外，则直线PA与平面α所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
3 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成角的大小为(　　)
A. B. C. D.
(第3题)　 (第4题)
4 如图，点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，设二面角C-AB-O的大小为θ，则cos θ的值为(　　)
A. B. C. D. －
5 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，例如“堑堵”指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“鳖臑”指的是四个面均为直角三角形的三棱锥如图，在“堑堵”ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，若AB＝，AA1＝2，当“鳖臑”A1-ABC的体积最大时，直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
6 阅读材料：空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，直线l是两平面x－3y＋7＝0与4y＋2z＋1＝0的交线，则直线l与平面α所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
7 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB＝PA.若边BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD，此时二面角A-PD-Q的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
8 在四面体ABCD中，AB＝AC＝AD＝2，AB⊥平面ACD，∠CAD＝60°，E，F分别为棱BC，AD上的点，且＝3，＝3，则直线AE与直线CF夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
9 已知四面体ABCD满足AB＝CD＝1，BC＝AD＝BD＝AC＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. 直线AC与BD所成的角为30°
B. 直线AB与CD所成的角为90°
C. 若M为直线AD上的动点，则点M到BC距离的最小值为
D. 二面角C-AB-D平面角的余弦值为
10 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝3，AC＝AB＝2，∠BAC＝90°，D，E分别是线段BC，B1C上的动点(不含端点)，且＝，则下列说法中正确的是(　　)
A. ED∥平面ACC1
B. 点C1到直线B1C的距离为1
C. 二面角A-EC-D的余弦值为
D. 异面直线B1C与AA1所成角的正切值为
三、填空题
11 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱C1D1，A1D1的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是________．
12 在三棱锥P-ABC中，若AB⊥BC，AB＝3，BC＝6，且PB＝，PA＝，PC＝3，Q为底面ABC内部及边界上的动点，则PQ与底面ABC所成角的正弦值的取值范围为________.
13 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设＝λ(0<λ<1)，若二面角B-A1P-B1的平面角的正弦值为，则实数λ的值为________.
四、解答题
14 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝2，M是棱CC1上任意一点．
(1) 求证：AM⊥BD；
(2) 若M是棱CC1的中点，求异面直线AM与BC所成角的余弦值．
15如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝4，PA＝，M，N分别为BC，PC的中点，PD⊥DC，PM⊥MD.
(1) 求证：AB⊥平面PDM；
(2) 求直线AN与平面PDM所成角的正弦值．
16 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E在棱AB上移动．
(1) 当E为棱AB的中点时，求平面D1EC与平面DCD1所成的夹角的余弦值；
(2) 当AE为何值时，直线A1D与平面D1EC所成角的正弦值最小，并求出最小值．
1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(1)
1. B　由题意，得＝(－1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(1，2，1)，故点A到平面α的距离为＝.
2. D　由题意，得＝(1，1，1)，所以在n＝(1，0，2)上的投影的长度为＝＝，所以点P到直线l的距离为＝.
3. C　由题意，得＝(x＋2，2，－4)，所以d＝＝，即＝，解得x＝－1或x＝－11.
4. C　以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1).因为O为四边形A1B1C1D1的中点，所以O，即＝(，－，0)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1).设平面ABC1D1的法向量为n＝(x，y，z), 则即令x＝1，则n＝(1，0，1).故点O到平面ABC1D1的距离为d＝＝＝.
5. D　以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，1，0)，C1(0，1，3)，所以＝(2，－1，0)，＝(－2，0，3).设CA和BC1的公垂线的方向向量为n＝(x，y，z)，则即令x＝3，则y＝6，z＝2，所以n＝(3，6，2).又＝(0，1，0)，所以异面直线AC与BC1之间的距离为d＝＝＝.
6. B　以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，E(2，0，2)，F(0，2，1)，G(0，0，3)，所以＝(0，0，2)，＝(－2，0，1)，＝(－2，2，－1).设n＝(x，y，z)为平面EFG的法向量，则所以令x＝1，则y＝2，z＝2，所以n＝(1，2，2)，则点A到平面EFG的距离为＝.
7. D　易知BA，BC两两垂直，则以B为坐标原点，BA，BC所在直线分别为x轴，y轴，与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．由题意，得B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，P(2，0，4)，D(2，0，2)，E(1，，2)，M(2，0，1)，N(0，，0)，所以＝(－1，，0)，＝(－2，0，－2).设n＝(x，y，z)为平面BDE的法向量，则令y＝1，得n＝(，1，－).又＝(－2，，－1)，所以·n＝0，且MN 平面BDE，所以MN∥平面BDE，所以直线MN到平面BDE的距离即为点M到平面BDE的距离，设为d.因为＝(0，0，1)，所以d＝＝＝.
8. B　以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．由题意，得A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，F.设G(1，y，z)，则＝(1，y，z－1)，＝.因为A1G∥EF，所以＝λ，所以y＝，z＝ ，所以G，所以＝，＝ .设平面EFG的法向量为n0＝(x0，y0，z0)，则令z0＝2，则x0＝1，y0＝0，所以平面EFG的一个法向量为n0＝(1，0，2)，所以点A到平面EFG的距离为d＝＝＝.因为＝(0，1，0)，所以＝，所以GF∥AD.又GF 平面EFG，AD 平面EFG，所以AD∥平面EFG，所以AD到平面EFG的距离即为点A到平面EFG的距离为.
9. ACD　对于A，因为E，F分别是AA1，BB1的中点，所以EF∥AB，AB 平面ABCD，EF 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD，故A正确；对于B，由题意，得C(0，2，0)，D1(0，0，2)，E(2，0，1)，F(2，2，1)，所以＝(2，0，－1)，＝(2，0，1)，·＝4＋0－1≠0，故与不垂直，即D1E与CF不垂直，故B错误；对于C，由B可知＝(2，2，－1).设平面D1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝0，z＝2，所以平面D1EF的一个法向量为n＝(1，0，2)，故C正确；对于D，因为＝(0，－2，2)，所以点C到平面D1EF的距离为＝＝，故D正确．故选ACD.
10. BC　如图，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1)，E，所以＝(－1，0，0)，＝.设∠ABE＝θ，则cos θ＝＝，sin θ＝＝，故点A到直线BE的距离为d1＝||sinθ＝1×＝，故A错误；易知＝＝，平面ABC1D1的一个法向量为＝(0，－1，1)，则点O到平面ABC1D1的距离为d2＝＝＝，故B正确；＝(1，0，－1)，＝(0，1，－1)，＝(0，1，0). 设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则所以令z＝1，得y＝1，x＝1，所以n＝(1，1，1). 故点D1到平面A1BD的距离为d3＝＝＝.易知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离，所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为，故C正确；因为＝＋＋，所以＝.又＝(1，0，0)，所以＝，所以点P到AB的距离为d4＝＝＝，故D错误．故选BC.
11. 　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，所以＝(0，1，0)，＝(－1，1，0)，＝(－1，－1，1).设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝1，得x＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)，所以点B到平面D1EC的距离为d＝＝＝.
12. 　因为AB∥平面α，所以直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离．因为＝(1，2，0)，所以点A到平面α的距离为d＝＝＝.
13. 　以D为坐标原点，，的方向为x轴，y轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz，易知当三棱锥C-MDB的体积最大时，M为的中点．由题意，得B(2，2，0)，M(0，1，1)，C(0，2，0)，所以＝(2，2，0)，＝(0，1，1)，＝(0，－1，1).设n＝(x，y，z)是平面MDB的法向量，则令x＝1，则y＝－1，z＝1，所以n＝(1，－1，1)，所以点C到平面DBM的距离为d＝＝.
14. (1) 因为底面ABC为直角三角形，AB＝BC，
所以BC⊥AB.
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
所以BC⊥PA.
因为AB∩PA＝A，AB 平面PAB，PA 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB.
又PB 平面PAB，
所以BC⊥PB.
(2) 以A为坐标原点，过点A作BC的平行线为x轴，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，4)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，D(1，1，0)，
所以＝(1，－1，0)，＝(0，－2，4)，＝(2，0，0).
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则令y＝2，得z＝1，x＝0，所以n＝(0，2，1)，
所以点D到平面PBC的距离为d＝＝＝.
15. (1) 因为MB⊥平面ABCD，
所以BA，BC分别为MA，MC在平面ABCD内的射影，
则∠MAB，∠MCB分别为直线MA，MC与平面ABCD所成的角，即∠MAB＝∠MCB＝θ，
所以AB＝＝BC，
所以四边形ABCD为正方形．
所以AC⊥BD.
又MB⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以MB⊥AC.
又MB∩BD＝B，MB 平面BDD1B1，BD 平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1.
因为OM 平面BDD1B1，所以AC⊥OM.
(2) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，2)，M(1，1，1)，
所以＝(－1，1，0)，＝(0，1，1)，＝(－1，0，2).
设平面AMC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝1，z＝－1，所以n＝(1，1，－1)，
所以点D1到平面AMC的距离为d＝＝＝.
16. (1) 取BD的中点N，连接MN，EN.
因为M为BC的中点，
所以MN∥CD，且MN＝CD，
因为EF∥平面ABCD，EF 平面EFCD，平面EFCD∩平面ABCD＝CD，
所以EF∥CD，
又EF＝CD，所以MN∥EF，且MN＝EF，
则四边形EFMN为平行四边形，
所以FM∥EN.
因为FM 平面BDE，EN 平面BDE，
所以FM∥平面BDE.
(2) 以AD的中点O为坐标原点，OA，OM，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(0，0，)，D(－1，0，0)，B(1，4，0)，F(0，2，)
所以＝(1，0，)，＝(2，4，0)，＝(0，2，0)，
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则y＝－，z＝－，
所以n＝，
则点F到平面BDE的距离为d＝＝＝.
1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题(2)
1. B　由题意，得m·n＝x·0－2×1＋0×1＝－2，|m|＝＝，|n|＝＝，所以cos 〈m，n〉＝＝.因为直线l1，l2所成的角为60°，所以cos 60°＝|cos 〈m，n〉|＝＝，解得x＝±2.
2. D　由题意，得＝(0，0，－)，且平面α的一个法向量为n＝(，1，－1)，所以直线PA与平面α所成角的正弦值为|cos 〈，n〉|＝＝＝.因为线面角的范围为，所以直线PA与平面α所成角的大小为.
3. D　以A为坐标原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设AA1＝AB＝AC＝2，则A(0，0，0)，M(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，所以＝(0，2，1)，＝(0，－1，2)，所以·＝0，所以QP与AM所成角的大小为.
4. C　 因为点A，B，C分别在空间直角坐标系O-xyz的三条坐标轴上，＝(0，0，2)，平面ABC的法向量为n＝(2，1，2)，二面角C-AB-O的大小为θ，且θ为锐角，所以cos θ＝＝＝.
5. A　在“堑堵”ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AB＝，AA1＝2，所以AA1⊥平面ABC，AC2＋BC2＝AB2＝2，则“鳖臑”A1-ABC的体积为·AA1·S△ABC＝·AC·BC≤·＝，当且仅当AC＝BC＝1时，等号成立，所以当“鳖臑”A1-ABC的体积最大时，AC＝BC＝1.由题意，得CC1⊥平面ABC，AC⊥BC.以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B1(0，1，2)，C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)，则＝(0，－1，－2)，＝(1，－1，0)，＝(0，0，2).设平面ABB1A1的法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，得y＝1，z＝0，所以n＝(1，1，0).设直线B1C与平面ABB1A1所成角为θ，θ∈[0，]，则sin θ＝|cos 〈，n〉|＝＝＝，所以cos θ＝＝，所以直线B1C与平面ABB1A1所成角的余弦值为.
6．A　因为平面α的方程为3x－5y＋z－7＝0，所以平面α的法向量可取m＝(3，－5，1)，平面x－3y＋7＝0的法向量为a＝(1，－3，0)，平面4y＋2z＋1＝0的法向量为b＝(0，4，2).设两平面的交线l的方向向量为n＝(x，y，z)，由令x＝3，则y＝1，z＝－2，所以n＝(3，1，－2)，则直线l与平面α所成角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈m，n〉|＝＝＝ .
7. C　 因为PA⊥平面ABCD，DQ 平面ABCD，所以PA⊥DQ.又PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，PQ 平面PAQ，PA 平面PAQ，所以DQ⊥平面PAQ.又AQ 平面PAQ，所以DQ⊥AQ. 设PA＝AB＝2，AD＝t(t>0)，BQ＝m(0≤m≤t)，所以AQ2＝4＋m2，DQ2＝4＋(t－m)2，AD2＝t2，所以4＋m2＋4＋(t－m)2＝t2，即m2－tm＋4＝0.因为关于m的方程有且仅有一个在区间[0，t]上的解，且函数y＝m2－tm＋4的对称轴为m＝，所以Δ＝t2－16＝0，解得t＝4，所以m＝2.以A为坐标原点，，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，2)，D(4，0，0)，Q(2，2，0)，所以＝(4，0，－2)，＝(－2，2，0).易知平面PAD的一个法向量为m＝(0，1，0).设平面PDQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，解得y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2)，所以|cos 〈m，n〉|＝＝＝.又二面角A-PD-Q为锐二面角，所以二面角A-PD-Q的余弦值为.
8. A　因为＝－，所以＝＝(－)，则＝＋＝＋(－)＝＋.又＝3，所以＝，则＝－＝－.又AB⊥平面ACD，AC，AD均在平面ACD内，所以AB⊥AC，AB⊥AD，即·＝0，·＝0，所以·＝·＝·－·＋·－||2＝0－0＋×2×2×－×2×2＝－2，||＝＝，||＝＝，所以cos 〈，〉＝＝＝－，则直线AE与直线CF夹角的余弦值为.
9. BCD　将四面体放入长方体中，如图，设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则AB＝＝1，AD＝＝，AC＝＝，解得x＝z＝，y＝，建立如图所示的空间直角坐标系，则A，B，C，D，所以＝，＝，故cos 〈，〉＝＝＝， 即直线AC与BD所成的角为60°，故A错误；因为＝，＝(－，0，－)，所以·＝·＝＋0－＝0，故⊥，即直线AB与CD所成的角为90°，故B正确；因为M为直线AD上的动点，所以当M位于AD的中点时，此时点M到BC的距离最小，且最小值为长方体的高，即为，故C正确；取AB的中点E，连接EC，ED，因为AB＝CD＝1，BC＝AD＝BD＝AC＝，所以CE⊥AB，DE⊥AB，所以∠CED为所求二面角C-AB-D的平面角，且E，所以＝，＝，所以cos 〈，〉＝＝，故D正确．故选BCD.
10. AD　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BCC1B1是矩形．因为＝，所以ED∥BB1∥AA1.因为ED 平面ACC1, AA1 平面 ACC1，所以 ED∥平面 ACC1，故A正确；在Rt△A1B1C1中，B1C1＝＝2，在Rt△B1C1C中，B1C＝＝，边B1C上的高为h＝＝，即点C1到直线B1C的距离为，故B错误；二面角A-EC-D即二面角A-B1C-B，以A为坐标原点，， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，0，3)，所以 ＝(2，0，3), ＝(－2，2，0), ＝(－2，2，－3)，设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，所以 即 令x＝3，得y＝0，z＝－2，故平面 AB1C的一个法向量为n＝(3，0，－2)；设平面BB1C的一个法向量为 m＝(a，b，c)，则 即 令a＝2，得b＝2，c＝0，故平面BB1C的一个法向量为 m＝(2，2，0).又二面角A-EC-D是锐角，所以二面角 A-EC-D的余弦值为 ＝＝ ，故C错误；因为AA1∥BB1，所以异面直线B1C与 AA1所成角为 ∠BB1C，在Rt△B1BC中，BB1＝3, BC＝2，所以 tan ∠BB1C＝，故D正确．故选AD.
11. 　以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，F(1，0，2)，D(0，0，0)，E(0，1，2)，所以＝(－1，0，2)，＝(0，1，2)，设，的夹角为θ，则cos θ＝＝＝，故异面直线AF与DE所成角的余弦值是.
12. 　因为AB⊥BC，所以以B为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系．又因为AB＝3，BC＝6，则A(3，0，0)，C(0，6，0)，设P(x，y，z)，则＝(x，y，z)，＝(x－3，y，z)，＝(x，y－6，z)，又由PB＝，PA＝，PC＝3，可得解得则P(2，－1，1).由Q为底面ABC内部及边界上的动点，可设Q(m，n，0)，且则＝(m－2，n＋1，－1)，设PQ与底面ABC所成角为θ.因为平面ABC的法向量可取为n＝(0，0，1)，则sin θ＝cos 〈n，〉＝＝，则(m－2)2＋(n＋1)2为动点Q到定点M(2，－1)的距离的平方．由图2可得，在底面ABC内部及边界上的动点中，当sin θ 取最小值时，m＝0，n＝6，代入得sin θ＝＝；当sin θ取最大值时，m＝2，n＝0，代入，得sin θ＝＝，所以PQ与底面ABC所成角的正弦值的取值范围为.
图1 图2
13. 或 　建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，A1(0，0，1)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(1，0，0)，＝(1，0，－1)，所以＝＋＝(1，0，0)＋λ(0，1，－1)＝(1，λ，－λ)，设平面BA1P，平面B1A1P的法向量分别为a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，所以即
分别令z1＝1，z2＝1，则x1＝1，y1＝1－，x2＝0，y2＝1，故a＝，b＝(0，1，1).设二面角B-A1P-B1的平面角为θ，由sin θ＝，则|cos θ|＝，故|cos θ|＝＝＝，解得λ＝或λ＝，故实数λ的值为 或 .
14. (1) 连接AC，BD，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC＝2，M是棱CC1上任意一点，所以AC⊥BD.
因为AA1⊥平面ABCD，且BD 平面ABCD，
所以BD⊥AA1.
因为AC∩AA1＝A，AC 平面ACC1A1，AA1 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1.
因为AM 平面ACC1A1，所以AM⊥BD.
(2) 以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
因为M是棱CC1的中点，所以A(0，0，0)，M(1，1，1)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，
所以＝(1，1，1)，＝(0，1，0).
设异面直线AM与BC所成的角为θ，
则异面直线AM与BC所成角的余弦值为cos θ＝＝＝.
15. (1) 易知在平行四边形ABCD中，CD＝AB＝1，CM＝BC＝2，∠DCM＝60°，
所以由余弦定理，得DM2＝CD2＋CM2－2CD·CM·cos 60°＝1＋4－2×1×2×＝3，
则CD2＋DM2＝1＋3＝4＝CM2，即CD⊥DM.
又PD⊥CD，PD∩DM＝D，PD 平面PDM，DM 平面PDM，
所以CD⊥平面PDM.
因为CD∥AB，
所以AB⊥平面PDM.
(2) 因为AB⊥平面PDM，PM 平面PDM，
所以AB⊥PM.
又PM⊥MD，AB与DM相交，AB 平面ABCD，DM 平面ABCD，
所以PM⊥平面ABCD.
在△ABM中，由余弦定理，得AM＝＝，
所以PM＝＝2.
取AD的中点E，连接ME，则ME∥AB，ME，DM，PM两两垂直，以M为坐标原点，MD，ME，MP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(－，2，0)，P(0，0，2)，D(，0，0)，M(0，0，0)，C(，－1，0).
又N为PC的中点，
所以N，＝.
由(1)可得CD⊥平面PDM，
所以平面PDM的一个法向量为n＝(0，1，0)，
故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为
＝＝.
16. (1) 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
当点E为棱AB的中点时，E(1，1，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，＝(－1，－1，1)，＝(－1，1，0).
设平面D1EC的法向量为n＝(x，y，z)，
则令x＝1，则y＝1，z＝2，所以n＝(1，1，2).
易知平面DCD1的法向量为m＝(1，0，0)，
所以cos 〈n，m〉＝＝＝，
所以平面D1EC与平面DCD1所成的夹角的余弦值为.
(2) 设AE＝t∈[0，2]，则E(1，t，0)，D1(0，0，1)，C(0，2，0)，A1(1，0，1)，
所以＝(0，－2，1)，＝(1，t－2，0).
设平面D1EC的法向量为p＝(a，b，c)，
则令b＝1，则a＝2－t，c＝2，
所以p＝(2－t，1，2).
因为＝(－1，0，－1)，记直线A1D与平面D1EC所成的角为θ，
则sin θ＝|cos 〈，p〉|＝＝.
令u＝4－t∈[2，4]，则t＝4－u，
所以sin θ＝＝＝.
又∈，
所以当u＝2，即t＝2时，sin θ最小，此时sin θ＝.
故当AE为2时，直线A1D与平面D1EC所成角的正弦值最小，最小值为.