2.1.1 倾斜角与斜率 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.1.1 倾斜角与斜率 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 302.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:31:04 | ||
图片预览
文档简介
2.1.1 倾斜角与斜率
一、 单项选择题
1 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在斜率为的直线l上，则y2－y1的值为( )
A. － B. － C. D.
2 已知两点A(2，t)，B(1，0)，t∈R，直线AB的倾斜角为120°，则实数t的值为( )
A. － B. － C. D.
3 若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则实数m的值为( )
A. B. － C. －2 D. 2
4 若将直线l沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移3个单位长度，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是( )
A. － B. C. － D.
5 经过A(0，2)，B(a，0)两点的直线的方向向量为n＝(1，2)，则实数a的值为( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
6 已知两点M(3，－1)，N(2，5)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. (－∞，－1]
B. [4，＋∞)
C. [－1，4]
D. (－∞，－1]∪[4，＋∞)
7 在10m气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现．这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点A，B)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点C)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态. 若某次射击达到三圆同心，且点A，点B(，)，则点C的坐标为( )
A. B. (10，5)
C. D. (10，6)
8 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．如图，以大五角星的中心点为坐标原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，且α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A. 0° B. 1° C. 2° D. 3°
二、 多项选择题
9 下列说法中，正确的是( )
A. 若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B. 若k是直线的斜率，则k∈R
C. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
10 若直线l过A(2，1)，B(3，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11 若倾斜角为的直线过点(1，3)和(2，m)，则实数m＝________.
12 已知θ是斜率为－1的直线的倾斜角，则sin ＝________.
13已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________.
四、解答题
14 (建平实验中学月考)根据下列条件，求直线l的倾斜角α的大小：
(1) 直线l的斜率为－；
(2) 直线l经过A(－2，0)，B(－5，3)两点；
(3) 直线l的一个方向向量为＝(2，).
15 已知A(1，2)，B(2，1)，C(0，m)三点．
(1) 若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求实数m的值；
(2) A，B，C三点可能共线吗？若能，求出实数m的值；若不能，请说明理由．
16 已知平面直角坐标系内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).
(1) 求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2) 若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
2．1.1 倾斜角与斜率
1. D
2. B 由题意，得直线AB的斜率为k＝＝t.又k＝tan 120°＝－，所以t＝－.
3. A 因为A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，解得m＝.
4. A 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a＋2，b－3)，所以直线l的斜率为k＝kAA′＝＝－.
5. A 由点A(0，2)，B(a，0)，得＝(a，－2).由直线AB的方向向量为n＝(1，2)，得∥n，所以2a＝－2，解得a＝－1.
6. C 如图，由题意可知kPM＝＝－1，kPN＝＝4，所以直线l的斜率k的取值范围是[－1，4].
7. B 由题意，得A，B，C三点共线．设点C(10，t)，因为点A，B，所以kAB＝＝＝kAC＝，解得t＝5，所以点C的坐标为(10，5).
8. C 因为O，O3分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小五角星的一个角．又五角星的角尖为36°，所以∠BAO3＝18°. 过点O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.
9. ABD 直线的倾斜角α必定存在，且满足0≤α<180°；直线的斜率k∈R，但不是所有直线都存在斜率，故A，B，D正确，C错误．故选ABD.
10. AD 设l的倾斜角为α，所以直线l的斜率为k＝＝m2－1，所以tan α＝m2－1≥－1.又α∈[0，π)，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选AD.
11. 3＋
12. 因为θ是斜率为－1的直线的倾斜角，所以tan θ＝－1，θ∈[0，π)，所以θ＝，所以sin (θ－)＝sin ＝sin ＝.
13. (－∞，－]∪[1，＋∞) 如图，设点P(0，－2)，由题意，得kPA＝＝1，kPB＝＝－.因为当直线l与y轴重合时，斜率不存在，所以当直线l与线段AB有交点时，kl≤－或kl≥1.故直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
14. (1) α＝ (2) α＝ (3) α＝
15. (1) 因为过A，C两点的直线斜率为k＝tan 45°＝1，
所以k＝＝1，解得m＝1.
(2) 由题意，得kAB＝＝－1，kAC＝＝2－m.
若A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，
即2－m＝－1，解得m＝3，
所以当m＝3时，A，B，C三点共线．
16. (1) 由斜率公式，得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝，
所以直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为.
(2) 如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时kCD由kAC增大到kBC，
所以kCD的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.
一、 单项选择题
1 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在斜率为的直线l上，则y2－y1的值为( )
A. － B. － C. D.
2 已知两点A(2，t)，B(1，0)，t∈R，直线AB的倾斜角为120°，则实数t的值为( )
A. － B. － C. D.
3 若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则实数m的值为( )
A. B. － C. －2 D. 2
4 若将直线l沿x轴正方向平移2个单位长度，再沿y轴负方向平移3个单位长度，又回到了原来的位置，则直线l的斜率是( )
A. － B. C. － D.
5 经过A(0，2)，B(a，0)两点的直线的方向向量为n＝(1，2)，则实数a的值为( )
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
6 已知两点M(3，－1)，N(2，5)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A. (－∞，－1]
B. [4，＋∞)
C. [－1，4]
D. (－∞，－1]∪[4，＋∞)
7 在10m气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现．这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点A，B)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点C)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态. 若某次射击达到三圆同心，且点A，点B(，)，则点C的坐标为( )
A. B. (10，5)
C. D. (10，6)
8 1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．如图，以大五角星的中心点为坐标原点，建立平面直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，且α≈16°，则第三颗小五角星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A. 0° B. 1° C. 2° D. 3°
二、 多项选择题
9 下列说法中，正确的是( )
A. 若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°
B. 若k是直线的斜率，则k∈R
C. 任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角
D. 任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
10 若直线l过A(2，1)，B(3，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题
11 若倾斜角为的直线过点(1，3)和(2，m)，则实数m＝________.
12 已知θ是斜率为－1的直线的倾斜角，则sin ＝________.
13已知过点(0，－2)的直线l与以点A(3，1)和B(－2，4)为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是________.
四、解答题
14 (建平实验中学月考)根据下列条件，求直线l的倾斜角α的大小：
(1) 直线l的斜率为－；
(2) 直线l经过A(－2，0)，B(－5，3)两点；
(3) 直线l的一个方向向量为＝(2，).
15 已知A(1，2)，B(2，1)，C(0，m)三点．
(1) 若过A，C两点的直线的倾斜角为45°，求实数m的值；
(2) A，B，C三点可能共线吗？若能，求出实数m的值；若不能，请说明理由．
16 已知平面直角坐标系内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1).
(1) 求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2) 若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
2．1.1 倾斜角与斜率
1. D
2. B 由题意，得直线AB的斜率为k＝＝t.又k＝tan 120°＝－，所以t＝－.
3. A 因为A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，所以kAB＝kAC，即＝，解得m＝.
4. A 设A(a，b)是直线l上任意一点，则平移后得点A′(a＋2，b－3)，所以直线l的斜率为k＝kAA′＝＝－.
5. A 由点A(0，2)，B(a，0)，得＝(a，－2).由直线AB的方向向量为n＝(1，2)，得∥n，所以2a＝－2，解得a＝－1.
6. C 如图，由题意可知kPM＝＝－1，kPN＝＝4，所以直线l的斜率k的取值范围是[－1，4].
7. B 由题意，得A，B，C三点共线．设点C(10，t)，因为点A，B，所以kAB＝＝＝kAC＝，解得t＝5，所以点C的坐标为(10，5).
8. C 因为O，O3分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点，所以OO3平分第三颗小五角星的一个角．又五角星的角尖为36°，所以∠BAO3＝18°. 过点O3作x轴的平行线O3E，如图，则∠OO3E＝α≈16°，所以直线AB的倾斜角约为18°－16°＝2°.
9. ABD 直线的倾斜角α必定存在，且满足0≤α<180°；直线的斜率k∈R，但不是所有直线都存在斜率，故A，B，D正确，C错误．故选ABD.
10. AD 设l的倾斜角为α，所以直线l的斜率为k＝＝m2－1，所以tan α＝m2－1≥－1.又α∈[0，π)，所以直线l的倾斜角的取值范围是∪.故选AD.
11. 3＋
12. 因为θ是斜率为－1的直线的倾斜角，所以tan θ＝－1，θ∈[0，π)，所以θ＝，所以sin (θ－)＝sin ＝sin ＝.
13. (－∞，－]∪[1，＋∞) 如图，设点P(0，－2)，由题意，得kPA＝＝1，kPB＝＝－.因为当直线l与y轴重合时，斜率不存在，所以当直线l与线段AB有交点时，kl≤－或kl≥1.故直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
14. (1) α＝ (2) α＝ (3) α＝
15. (1) 因为过A，C两点的直线斜率为k＝tan 45°＝1，
所以k＝＝1，解得m＝1.
(2) 由题意，得kAB＝＝－1，kAC＝＝2－m.
若A，B，C三点共线，则kAB＝kAC，
即2－m＝－1，解得m＝3，
所以当m＝3时，A，B，C三点共线．
16. (1) 由斜率公式，得kAB＝＝0，kBC＝＝，kAC＝＝，
所以直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为.
(2) 如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即点D在线段AB上，此时kCD由kAC增大到kBC，
所以kCD的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.