2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．1.2　两条直线平行和垂直的判定
一、 单项选择题
1 (安徽期末)若平面中两条直线l1与l2垂直，直线l1的倾斜角为45°，则直线l2的斜率为(　　)
A. 1 B. －1 C. D. －
2过点A(2，5)和点B(2，－4)的直线与直线y＝3的位置关系是(　　)
A. 相交但不垂直 B. 平行
C. 重合 D. 垂直
3 (巴中高级中学月考)已知直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过A(－1，－)，B(0，0)两点，则直线l1，l2的位置关系是(　　)
A. 平行或重合 B. 平行
C. 垂直 D. 重合
4(贵阳一中月考)设l1与l2是平面内不重合的两条直线，甲：l1与l2的斜率相等；乙：l1∥l2，则甲是乙的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分条件也不必要条件
5 若四边形ABCD的四个顶点分别是A(3，0)，B(0，4)，C(4，7)，D(11，6)，则四边形ABCD的形状为(　　)
A. 矩形 B. 菱形
C. 等腰梯形 D. 直角梯形
6 (广州科学城中学月考)若直线l1过A(1，3)，B(2，5)两点，且l1⊥l2，则直线l2的斜率为(　　)
A. B. － C. D. －
7 (北师大附中期末)如图，在直角三角形OAB中，A＝，边OA所在直线的倾斜角为，则直线AB的斜率为 (　　)
A. － B. － C. －1 D. 1
8下列命题：①若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；②若两直线平行，则它们的斜率相等；③若两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④若两直线垂直，则它们的斜率之积为－1.其中正确的为(　　)
A. ①②③④ B. ①③
C. ②③ D. ①④
二、 多项选择题
9 (江西横峰中学期中)若直线l1的斜率k1＝，直线l2经过点A(3a，6)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为(　　)
A. －1 B. 1 C. －5 D. 5
10 满足下列条件的直线l1与l2一定平行的是(　　)
A. 直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(－2，－2)
B. 直线l1的一个方向向量为n＝(2，3)，直线l2经过点A(－1，－2)，B(2，1)
C. 直线l1经过点A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过点M(－1，3)，N(2，0)
D. 直线l1经过点A(－3，2)，B(－3，10)，直线l2经过点M(5，－2)，N(5，5)
三、填空题
11 (武汉四中月考)已知直线l1的倾斜角为45°，直线l1∥l2，若直线l2过点A(2，3)，B(5，n)，则n＝________．
12 已知点A(3，a)，B(a－2，3)，C(2，3)，D(－1，a－2)，直线AB与直线CD垂直，则实数a的值为________.
13 以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的直角三角形，其直角顶点为________.
四、解答题
14(东莞八中月考)已知点M(1，－1)，N(2，2)，P(3，0).
(1) 若点Q在y轴上，且满足PQ⊥MN，求点Q的坐标；
(2) 若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角的大小.
15(广东龙川一中月考)已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).
(1) 若l1//l2，求实数m的值；
(2) 若l1⊥l2，求实数m的值.
16 (博雅中学月考)已知A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)三点．
(1) 若点A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；
(2) 在(1)的条件下，判断由点A，B，C，D构成的平行四边形是否为菱形．
2．1.2　两条直线平行和垂直的判定
1. B　因为l1⊥l2，所以kl1·kl2＝－1，易知kl1＝tan 45°＝1，故直线l2的斜率为kl2＝－1.
2. D　由点A(2，5)和点B(2，－4)，知直线AB的斜率不存在，且直线AB的方程为x＝2，故直线AB 与直线y＝3垂直.
3. A　由题意，得直线l1的斜率为k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率为k2＝＝，即k1＝k2，所以l1∥l2或l1，l2重合．
4. A　由平面内不重合的两条直线的斜率相等，得两直线平行，即甲是乙的充分条件；若两直线平行，则两直线的斜率可能都不存在，则甲不是乙的必要条件，故甲是乙的充分不必要条件.
5. D　由题意，得kBC＝＝， kAD＝＝，kAB＝＝－，kCD＝＝－.因为kBC＝kAD，kAB≠kCD，所以BC∥AD，AB与CD不平行，则四边形ABCD为梯形．又kAD·kAB＝－1，所以AD⊥AB，所以四边形ABCD为直角梯形．
6. D　因为直线l1的斜率为k1＝＝2，且l1⊥l2，所以k1·k2＝－1，则直线l2的斜率为－.
7. A　因为边OA所在直线的倾斜角为，所以直线OA的斜率为.由A＝可知AB⊥OA，故kAB·＝－1，解得kAB＝－.
8. B　当两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行，故①正确；当两条直线均与x轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，故②错误；根据直线垂直的判定定理可知两直线的斜率之积为－1，则它们垂直，故③正确；当两条直线一条与x轴垂直，一条与y轴垂直时，两直线垂直，但与x轴垂直的直线斜率不存在，故④错误.
9. AD　由题意，得直线l2的斜率为k2＝＝(a≠0).因为l1⊥l2，则k1·k2＝－1，即k2＝＝－，解得a＝－1或a＝5，经验证均满足题意，故选AD.
10. CD　对于A，直线l1的斜率k1＝tan 60°＝，直线l2的斜率k2＝＝，则l1与l2平行或重合，故A错误；对于B，直线l1的斜率k1＝，直线l2的斜率k2＝＝1≠k1，则l1与l2不平行，故B错误；对于C，l1的斜率k1＝＝－1，l2的斜率k2＝＝－1，则l1与l2平行且不重合，故C正确；对于D，易知l1与l2均与x轴垂直且不重合，则l1∥l2，故D正确．故选CD.
11. 6　由直线l1的倾斜角为45°，得l1的斜率k1＝1.又直线l1∥l2，则l2的斜率k2＝＝1，解得n＝6.
12. 0或5　因为直线AB与直线CD垂直，所以当AB的斜率不存在时，a－2＝3，即a＝5，此时lAB：x＝3，lCD：y＝3，AB与CD垂直；当AB的斜率存在时，kAB·kCD＝－1，即·＝－1，解得a＝0.综上，实数a的值为0或5.
13. A　由题意，得kAB＝＝－，kAC＝＝，则kAB·kAC＝－1，所以AB⊥AC，故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
14. (1) 设点Q(0，y)，且kMN＝＝3.
因为PQ⊥MN，所以kPQ＝－，
即＝－，解得y＝1.
故点Q的坐标为(0，1).
(2) 设点Q(x，0).
因为∠NQP＝∠NPQ，所以kNQ＝－kNP.
又kNQ＝，kNP＝－2，所以＝2，
解得x＝1，即点Q(1，0).
因为点M(1，－1)，所以MQ⊥x轴，
故直线MQ的倾斜角为90°.
15. (1) 由题意，得直线l2的斜率存在，且k2＝＝－.
若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，且k1＝k2，
所以＝－，解得m＝1或m＝6，
经检验，均符合题意．
故当m＝1或m＝6时，l1∥l2.
(2) 若l1⊥l2，当k2＝0时，
此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；
当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，
则直线l1的斜率也存在，且k1·k2＝－1，
即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4.
故当m＝3或m＝－4时，ll⊥l2.
16. (1) 由题意，得kAB＝＝－，kAC＝＝ 1，kBC＝＝－2.
设点D的坐标为(a，b)，
若四边形ABCD是平行四边形，
则kCD＝kAB，kAD＝kBC，
即解得即点D的坐标为(－1，6)；
若四边形ABDC是平行四边形，
则kCD＝kAB，kBD＝kAC，
即解得即点D的坐标为(7，2)；
若四边形ACBD是平行四边形，
则kAD＝kBC，kBD＝kAC，
即解得即点D的坐标为(3，－2).
综上，点D的坐标为(－1，6)或(7，2)或(3，－2).
(2) 若点D的坐标为(－1，6)，
因为kAC＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1，所以AC⊥BD，
所以平行四边形ABCD为菱形；
若点D的坐标为(7，2)，
因为kBC＝－2，kAD＝＝0，
所以kBC·kAD＝0≠－1，
所以平行四边形ABDC不是菱形；
若点D的坐标为(3，－2)，
因为kAB＝－，直线CD的斜率不存在，
所以平行四边形ACBD不是菱形．
故当点D的坐标为(－1，6)时，平行四边形ABCD为菱形．