2.2.2　直线的两点式方程 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．2.2　直线的两点式方程
一、 单项选择题
1 直线－＝1与－＝1(m≠n)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　)
A B C D
2过点作直线l，则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l的条数为(　　)
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
3 已知点A(m，5)，B(3，n)，若AB的中点坐标为(2，1)，则直线AB的方程为(　　)
A. x＋4y－9＝0 B. x＋4y＋9＝0
C. 4x＋y＋9＝0 D. 4x＋y－9＝0
4 过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为(　　)
A. x－y＋1＝0
B. x＋y－1＝0
C. 2x－y＝0或x－y＋1＝0
D. 2x＋y＝0或x＋y＋1＝0
5 直线l经过点P(4，－3)，在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且a，b满足logab＝2，则直线l的斜率为(　　)
A. 2 B. －1
C. －3 D. －1或－3
6已知直线(a＋2)x－y＋2a－3＝0在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，则实数a的值为(　　)
A. B. －
C. 或－ D. －
7 已知直线l经过点P(1，2)，与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最小值为(　　)
A. 2 B. 3
C. 4 D. 8
8 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)，则△ABC的欧拉线的方程为(　　)
A. 2x－y－1＝0 B. 2x＋y－＝0
C. x＋2y－3＝0 D. x－2y＋1＝0
二、 多项选择题
9 过定点(2，3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线为(　　)
A. 3x－2y＝0
B. x＋y－5＝0
C. x－y＋1＝0
D. x－y－5＝0
10 已知直线l过点(0，2)，(，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l的倾斜角为150°
B. 直线l的两点式方程为＝
C. 直线l的一个方向向量为(1，－)
D. 直线l的截距式方程为＋＝1
三、填空题
11 已知直线l的两点式方程为＝，则直线l的斜率为________.
12已知直线l在x轴与y轴上的截距分别为4，9，若点E(1，b)在直线l上，则实数b＝________.
13 已知△ABC的顶点坐标分别为A(4，3)，B(－2，－5)，C(8，0)，则角A的平分线所在的直线方程为________.
四、解答题
14 过点P(2，1)作直线l分别交x轴，y轴的正半轴于A，B两点．
(1) 求△ABO面积的最小值及相应的直线l的方程；
(2) 当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
15 已知点A(3，4).
(1) 求经过点A(3，4)，且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线的方程；
(2) 光线自点A(3，4)射到y轴上的点B(0，1)后被y轴反射，求反射光线所在直线的方程．
16 已知三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3).
(1) 求边AC所在的直线方程；
(2) 求边AC上的高所在的直线方程；
(3) 求经过两边AB和BC中点的直线的方程.
2．2.2　直线的两点式方程
1. B　易知直线－＝1的斜率为，直线－＝1的斜率为，所以两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，故只有B满足题意．
2. B　设直线l的方程为＋＝1(a≠0)，将点代入，可得＋＝1(a≠0)，即3a2－6a＋2＝0.因为Δ＝36－4×3×2＝12>0，所以方程3a2－6a＋2＝0有两个不相等的实数根，故满足题意的直线l的条数为2.
3. D　由题意，得解得m＝1，n＝－3，即点A(1，5)，B(3，－3). 将点A，B的坐标代入两点式方程可得＝，即4x＋y－9＝0.
4. C　当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为0，满足题意．因为直线过点A(1，2)，所以直线的斜率为＝2，所以直线方程为y＝2x，即2x－ y＝0；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝ 1，因为点A(1，2)在直线上，所以＋＝1，解得a＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0.故所求直线方程为2x－y＝0或x－y＋1＝0.
5. C　由题意，设直线l的方程为＋＝1，则＋＝1①.又logab＝2，所以b＝a2②.由①②解得a＝3，b＝9或a＝1，b＝1.又由logab＝2可知a>0，a≠1，b>0，所以a＝3，b＝9，则直线l的斜率为－＝－3.
6. C　由题意，得a≠－2，当a＝时，直线l为x－y＝0，此时横、纵截距都等于0，满足题意；当a≠时，将直线l的方程化为截距式方程可得＋＝1，直线l在x轴上的截距为，在y轴上截距为2a－3，则＝2×(2a－3)，解得a＝－或a＝(舍去).综上，实数a的值为－或.
7. C　不妨设直线l分别交x轴，y轴于点A(a，0)，B(0，b)，则a>0，b>0，所以直线l的截距式方程为＋＝1.因为点P在直线l上，所以＋＝1，由基本不等式可得1＝＋≥2＝，可得ab≥8，则S△OAB＝ab≥4，当且仅当，即时，等号成立，故△OAB面积的最小值为4.
8. C　由△ABC的顶点A(－3，0)，B(3，0)，C(3，3)知，△ABC的重心为，即(1，1).因为BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形，所以外心为斜边的中点， 即，所以△ABC的欧拉线的方程为＝，即x＋2y－3＝0.
9. ABC　由题意，得直线不与坐标轴垂直，设所求的直线方程为y＝k(x－2)＋3，当y＝0时，横截距为x＝2－，当x＝0时，纵截距为y＝3－2k.因为过点(2，3)的直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，所以＝|3－2k|，解得k＝－1或k＝或k＝1，所以直线的方程为x＋y－5＝0或3x－2y＝0或x－y＋1＝0.故选ABC.
10. ABD　因为直线l过点(0，2)，(，1)，所以直线l的斜率为＝－，倾斜角为150°，故A正确，C错误；直线l的两点式方程为＝，整理，得截距式方程为＋＝1，故B，D正确．故选ABD.
11. －　原方程可化为＝－x，即y＝－x－3，所以直线l的斜率为－.
12. 　由题意，得直线的截距式方程为＋＝1.又点E(1，b)在直线l上，所以＋＝1，解得b＝.
13. 7x＋y－31＝0　如图，角A的平分线与BC交于点D.由题意，得AB＝＝10，AC＝＝5.由角平分线定理，得＝＝2，所以＝.设点D的坐标为(x，y)，则(x－8，y－0)＝(－2－8，－5)，所以x－8＝－，y＝－，即点D，所以直线AD的方程为＝，整理，得7x＋y－31＝0.
14. (1) 显然直线 l斜率存在且不过原点．
由题意可设直线 l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，
又点P(2，1)在直线 l上，所以＋＝1，
由基本不等式可得＋＝1≥2，
即ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立．
又S△ABO＝OA·OB＝ab，
所以S△ABO＝ab≥×8＝4，当且仅当a＝4，b＝2时，等号成立，
此时相应的直线 l的方程为x＋2y－4＝0.
(2) 由(1)可知＋＝1(a>0，b>0).
又OA＋OB＝a＋b，
所以OA＋OB＝a＋b＝(a＋b)＝3＋＋ ≥3＋2，
当且仅当a＝2＋，b＝＋1时，等号成立，
此时相应的直线 l的方程为x＋y－2－＝0.
15. (1) 当直线过原点时，满足在x轴上的截距是y轴上截距的2倍，
此时直线方程为y＝kx，将点A(3，4)代入，
可得k＝，化简可得4x－3y＝0；
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，且a＝2b，
即＋＝1，将点A(3，4)代入，
可得＋＝1，解得b＝，
则直线方程为＋＝1，化简可得x＋2y－11＝0.
综上，直线方程为4x－3y＝0或x＋2y－11＝0.
(2) 点A关于y轴的对称点的坐标为A′(－3，4).
由题意可知，反射光线所在的直线经过点A′(－3，4)，B(0，1)，
所以反射光线所在的直线斜率为kA′B＝＝－1，
故反射光线所在的直线方程为y－1＝－1(x－0)，即x＋y－1＝0.
16. (1) 由题意可知点A(4，0)，C(0，3)，
则由直线的截距式方程可得＋＝1，即3x＋4y－12＝0.
(2) 设高所在的直线方程的斜率为k，直线AC斜率为kAC，
由(1)可知直线AC的斜率为kAC＝－.
因为高所在的直线的斜率与直线AC的斜率的乘积为－1，
即k·kAC＝－1，则k＝.
又由点斜式方程可得y－7＝(x－6)，
所以高所在的直线方程为3y－4x＋3＝0.
(3) 设AB和BC的中点分别为D(x1，y1)，E(x2，y2).
因为A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，
所以x1＝＝5，y1＝＝，x2＝＝3，y2＝＝5，
则由点斜式方程可得直线DE的方程为y－5＝(x－3)，
即4y＋3x－29＝0.