2.2.3　直线的一般式方程 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．2.3　直线的一般式方程
一、 单项选择题
1 已知a是直线2x－y＋1＝0的一个方向向量，若a＝(m，1)，则实数m的值为(　　)
A. B. － C. 2 D. －2
2 直线l：2x－y＋1＝0与y轴的交点为A，把直线l绕着点A逆时针旋转45°得到直线l′，则直线l′的方程为(　　)
A. 2x＋y－1＝0 B. 3x－y＋1＝0
C. 3x＋y－1＝0 D. x＋3y－3＝0
3 “m＝1”是“直线l1：x＋(m＋1)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x－my－1＝0垂直”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 已知平面直角坐标系内两点A(1，2)，B(－2，3)，则过点A且与直线AB垂直的直线l的方程为(　　)
A. 3x－y－1＝0
B. 3x－y－2＝0
C. 3x＋y－5＝0
D. 3y－x－5＝0
5过定点A的直线ax＋y－2＝0与过定点B的直线x－ay＋4a－2＝0交于点P(点P与A，B不重合)，则△PAB面积的最大值为(　　)
A. B. 2 C. 2 D. 4
6 已知函数f(x)＝x＋＋3的图象与直线y＝k(x－1)＋4有两个交点(x1，y1)，(x2，y2)，则x1＋x2＋y1＋y2的值为(　　)
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7 已知点A(2，－3)，B(－3，－2).若直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，则实数m的取值范围是(　　)
A. ∪[4，＋∞) B.
C. D.
8 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点为A(0，0)，B(0，2)，C(－6，0)，若直线l：ax＋(a－3)y－9＝0与△ABC的欧拉线平行，则实数a的值为(　　)
A. － B. －1 C. － D. 3
二、 多项选择题
9 当A·C>0，B·C<0时，直线l：Ax＋By＋C＝0必经过(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
10 下列说法中，正确的有(　　)
A. 直线的倾斜角越大，斜率越大
B. 过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程是＝
C. 经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条
D. 直线－＝1在y轴上的截距是－3
三、填空题
11 已知直线l倾斜角的余弦值为－，且经过点(2，1)，则直线l的方程为________.
12 过直线(a＋1)x＋(a－1)y－4a＝0的定点P，且与直线5x＋6y＋11＝0垂直的直线方程为________.
13 已知△ABC的顶点为A(1，1)，高CD所在直线的方程为3x＋y－12＝0，角B的平分线BE所在直线的方程为x－2y＋4＝0，则点B的坐标为________；边BC所在直线的方程为________.
四、解答题
14 根据下列条件分别写出直线的一般式方程：
(1) 经过两点A(5，7)，B(1，3)；
(2) 经过点(－4，3)，斜率为－3；
(3) 经过点(2，1)，平行于y轴；
(4) 斜率为2，在x轴上的截距为1.
15 已知平面内两点A(6，－6)，B(2，2).
(1) 求过点P(1，3)且与直线AB垂直的直线l的方程；
(2) 若△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，求直线AC的方程．
16 已知直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1.
(1) 求证：直线l过定点；
(2) 若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；
(3) 若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求直线l的方程．
2．2.3　直线的一般式方程
1. A　因为直线2x－y＋1＝0的斜率为k＝2，所以直线的一个方向向量为(1，2)，所以若a＝(m，1)，则2m－1＝0，解得m＝.
2. C　设直线l：2x－y＋1＝0的倾斜角为θ，0°≤θ<180°，则tan θ＝2.由题意，得A(0，1)，直线l′的倾斜角为θ＋45°，则直线l′的斜率为tan (θ＋45°)＝＝＝－3，所以直线l′的方程为y－1＝－3(x－0)，即3x＋y－1＝0.
3. A　若直线l1：x＋(m＋1)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x－my－1＝0垂直，则1×(m＋1)＋(m＋1)×(－m)＝0，解得m＝±1，所以“m＝1”是“直线l1：x＋(m＋1)y＋1＝0与直线l2：(m＋1)x－my－1＝0垂直”的充分不必要条件．
4. A　由题意，知点A(1，2)，B(－2，3)，则直线AB的斜率为kAB＝＝－.因为直线l与直线AB垂直，所以直线l的斜率为kl＝3.又直线l经过点A(1，2)，所以直线l的方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.
5. C　由题意可知动直线ax＋y－2＝0经过定点A(0，2)，动直线x－ay＋4a－2＝0即x－2＋(－y＋4)a＝0，经过定点B(2，4).因为过定点A的直线ax＋y－2＝0与过定点B的直线x－ay＋4a－2＝0始终垂直，P又是两条直线的交点，所以PA⊥PB，所以PA2＋PB2＝AB2＝8，故PA·PB≤＝4，当且仅当PA＝PB＝2时，等号成立，所以△PAB面积的最大值为×2×2＝2.
6. C　由题意，得直线y＝k(x－1)＋4恒过点(1，4)，且无论k取何值，直线与函数都有两个交点．因为函数f(x)＝x＋＋3＝x－1＋＋4的对称中心为(1，4)，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，所以x1＋x2＋y1＋y2＝10.
7. A　直线l：mx＋y－m－1＝0可化成m(x－1)＋y－1＝0，令解得所以直线l必过定点P(1，1)，所以 kPA＝＝－4，kPB＝＝.因为直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，且直线的斜率必定存在，所以由图象可知－m≥或－m≤－4，解得m≤－或m≥4，故实数m的取值范围是∪[4，＋∞).
8. C　由题意，得△ABC重心的坐标为G(，)，即G，AB中垂线的方程为y＝1，AC中垂线的方程为x＝－3，所以外心的坐标为W(－3，1)，故欧拉线的方程为y＝(x＋3)＋1＝－x，整理，得x＋3y＝0.因为ax＋(a－ 3)y－9＝0与x＋3y＝0平行，所以3a＝a－3，解得a＝－.
9. ABC　令x＝0，得直线在y轴上的截距为－；令y＝0，得直线在x轴上的截距为－.因为A·C>0，B·C<0，所以－>0，－<0，所以该直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选ABC.
10. CD　对于A，当直线倾斜角为钝角时，直线的斜率k<0，当直线倾斜角为锐角时，直线的斜率k>0，故A错误；对于B. 当x1≠x2，y1≠y2时，过点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的直线方程是＝，故B错误；对于C，当直线过原点时，由直线过点(1，1)，得直线的斜率为k＝1，故直线方程 为y＝x；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，把点(1，1)代入直线方程，得＋＝1，解得a＝2，故直线方程为x＋y－2＝0.综上，经过点(1，1)且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确；对于D，对直线－＝1，令x＝0，得y＝－3，所以直线－＝1在y轴上的截距是－3，故D正确．故选CD.
11. 2x＋y－5＝0　设直线的倾斜角为α，由题意可知cos α＝－，则sin α＝＝，所以k＝tan α＝＝－2.又直线过点(2，1)，所以直线方程为y－1＝－2(x－2)，即直线方程为2x＋y－5＝0.
12. 6x－5y－2＝0　由题意，得直线(a＋1)x＋(a－1)y－4a＝0，即a(x＋y－4)＋(x－y)＝0，所以即点P的坐标为(2，2).设与直线5x＋6y＋11＝0垂直的直线方程为6x－5y＋m＝0，则6×2－5×2＋m＝0，解得m＝－2，所以所求直线方程为6x－5y－2＝0.
13. (－8，－2)　9x－13y＋46＝0　因为△ABC的顶点为A(1，1)，高CD所在直线的方程为3x＋y－12＝0，角B的平分线BE所在直线的方程为x－2y＋4＝0，所以直线AB的斜率为k＝－＝－＝，所以直线AB的方程为y－1＝(x－1)，即x－3y＋2＝0，联立解得所以点B的坐标为(－8，－2).因为kAB＝，kBE＝，角B的平分线BE所在直线方程为x－2y＋4＝0，所以＝，所以＝，解得kBC＝或kBC＝(舍去)，所以直线BC的方程为y＋2＝(x＋8)，即9x－13y＋46＝0.
14. (1) x－y＋2＝0
(2) 3x＋y＋9＝0
(3) x－2＝0
(4) 2x－y－2＝0
15. (1) 由题意，得kAB＝＝－2，
则直线l的斜率为，
所以过点P(1，3)且与直线AB垂直的直线l的方程为y－3＝(x－1)，
即x－2y＋5＝0.
(2) 由题意，得AB的中点坐标为(4，－2)，
由(1)可知线段AB垂线的斜率为，
所以线段AB垂直平分线的方程为y＋2＝(x－4)，即x－2y－8＝0.
因为△ABC是以C为直角顶点的等腰直角三角形，
所以点C在直线x－2y－8＝0上，
故设点C的坐标为(2a＋8，a)，
由CB⊥CA，得·＝－1，
解得a＝0或a＝－4，
所以点C的坐标为(8，0)或(0，－4).
综上，直线AC的方程为3x－y－24＝0或x＋3y＋12＝0.
16. (1) 由l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，即a(2x－y)－3x＋y＋1＝0，
则解得
所以直线过定点(1，2).
(2) 当a＝1时，直线斜率不存在，方程为x＝1，
不经过第二象限，符合题意；
当a≠1时，直线斜率存在，方程为y＝x＋，
又直线不经过第二象限，则解得a<1.
综上，实数a的取值范围为(－∞，1].
(3) 因为直线l：(a－1)y＝(2a－3)x＋1，且a≠1，
令x＝0，得y＝>0，解得a>1，
令y＝0，得x＝>0，解得a<，
则面积为S＝××＝＝ .
又1此时直线l的方程为y＝x＋1，即2x＋y－4＝0.