2.3.1　两条直线的交点坐标 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.1　两条直线的交点坐标
一、 单项选择题
1 已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，交点坐标为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)
A. 20 B. －4 C. 0 D. 24
2 若直线x＋2y－6＝0与直线x－4y＋6a＝0的交点在第一象限，则实数a的取值范围为(　　)
A. (－2，1) B. (－1，2)
C. (－∞，－1) D. (2，＋∞)
3已知直线l过直线l1：x－y＝0和l2：x＋y－2＝0的交点，且与3x＋4y－5＝0平行，则直线l的方程是(　　)
A. 3x＋4y＋7＝0 B. 3x＋4y－7＝0
C. 4x－3y＋1＝0 D. 4x－3y－1＝0
4 经过直线l1：y＝－2x－1和l2：y＝2x＋3的交点，且倾斜角是直线l2的倾斜角的两倍的直线方程为(　　)
A. 2x＋y＋1＝0 B. x－4y＋3＝0
C. 4x＋3y＋1＝0 D. 3x＋4y－1＝0
5 若P(2，3)既是A(a1，b1)，B(a2，b2)的中点，又是直线l1：a1x＋b1y－13＝0与直线l2：a2x＋b2y－m＝0的交点，则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A. 3x－2y＝0 B. 3x－2y－12＝0
C. 2x－3y－13＝0 D. 2x－3y＋5＝0
6 (若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：x＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有(　　)
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
7如图，已知两点A(22，0)，B(0，11)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB上的点M反射后再射到直线OB上，最后经直线OB上的点N反射后又回到点P，则直线MN的方程为(　　)
A. 4x－3y－6＝0 B. 4x＋3y＋8＝0
C. 3x－4y＋6＝0 D. 4x－3y＋8＝0
8 直线l1：x＋(m＋1)y－2m－2＝0与直线l2：(m＋1)x－y－2m－2＝0相交于点P，对任意实数m，直线l1，l2分别恒过定点A，B，则PA＋PB的最大值为(　　)
A. 4 B. 8 C. 2 D. 4
二、 多项选择题
9已知集合A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}，B＝{(x，y)|ax＋ay－1＝0}，则下列结论中正确的是(　　)
A. a∈R，A≠
B. 当a＝－1时，A∩B＝
C. 当A∩B＝ 时，a＝1
D. a∈R，使得A＝B
10 已知直线x－2y＋3＝0和直线x＋y－3＝0的交点为P，则过点P且与A(2，3)和B(4，－5)距离相等的直线方程为(　　)
A. 4x－y＋6＝0 B. 4x＋y－6＝0
C. 3x＋2y＋6＝0 D. 3x＋2y－7＝0
三、填空题
11 已知三条直线l1：x＋y＝1，l2：mx－y＝3与l3：x＋my＝2(m<0)不能围成三角形，则实数m的值为________.
12 已知点A(4，2)，B(0，3)和直线l：mx－y－3m＋1＝0，若直线l与线段AB有公共点，则实数m的取值范围是________.
13 经过两条直线3x＋y－5＝0与x－2y＋3＝0的交点，且在y轴上的截距是x轴上的截距的3倍的直线方程为________.
四、解答题
14在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0.
(1) 求直线l1与l2的交点坐标；
(2) 过点P(3，0)作直线l与直线l1，l2分别交于点A，B，且满足＝，求直线l的方程．
15 已知直线l：(2a＋3)x－(a－1)y＋3a＋7＝0，a∈R.
(1) 证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
(2) 在(1)的条件下，若直线l′过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线l′的方程；
(3) 若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围．
16已知两直线l1：3x－y－1＝0，l2：x＋2y－5＝0.
(1) 求过两直线的交点，且垂直于直线3x＋4y－5＝0的直线方程；
(2) 已知两点A(－1，1)，B(0，2)，动点P在直线l1上运动，求PA＋PB的最小值．
2．3.1　两条直线的交点坐标
1. B　因为两直线垂直，所以2a－20＝0，解得a＝10，所以l1：10x＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0，将交点(1，c)代入直线l1的方程中，得c＝－2.将交点(1，－2)代入直线l2：2x－5y＋b＝0的方程中，得b＝－12，所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4.
2. B　由得因为两直线的交点在第一象限，所以解得－13. B　联立直线l1，l2的方程解得x＝y＝1，故直线l1，l2的交点坐标为(1，1).因为直线l与直线3x＋4y－5＝0平行，设直线l的方程为3x＋4y＋m＝0，将点(1，1)代入直线l的方程，得3＋4＋m＝0，解得m＝－7，所以直线l的方程为3x＋4y－7＝0.
4. C　由解得即所求方程的直线过点(－1，1).令直线l2：y＝2x＋3的倾斜角为α，则tan α＝2，显然α是锐角，则所求直线的斜率为k＝tan 2α＝＝＝－，所以所求的直线方程为y－1＝－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0.
5. A　由题意可知＝2，＝3，且两式相加，得2(a1＋a2)＋3(b1＋b2)－13－m＝0，即2×4＋3×6－13－m＝0，解得m＝13.又P是直线l1和l2的交点，所以所以点A(a1，b1)，B(a2，b2)满足直线2x＋3y－13＝0，即直线AB方程为2x＋3y－13＝0，kAB＝－，则与直线AB垂直的直线方程的斜率为k＝，所以中垂线的方程为y－3＝(x－2)，即3x－2y＝0.
6. B　联立解得可知直线l1的斜率为－4，l2的斜率为－1，且直线l1，l2的交点为(1，－1).若三条直线不能围成三角形，则直线l3与直线l1平行或与直线l2平行或过点(1，－1)，直线l3的斜率存在，且为，可得＝－4或＝－1或1＋m＝2，解得m＝－或m＝－1或m＝1，故实数m的取值最多有3个．
7. D　由题意，得AB所在的直线方程为＋＝1，化简可得x＋2y－22＝0.设点P(2，0)关于直线AB：x＋2y－22＝0的对称点A1(a，b)，则解得a＝10，b＝16，即点P关于直线AB的对称点为A1(10，16)，点P关于y轴的对称点为A2(－2，0). 直线MN即直线A1A2，则直线MN的方程为y＝(x＋2)，即4x－3y＋8＝0.
8. A　直线l1：x＋y－2＋m(y－2)＝0，当得即点A(0，2)，直线l2：x－y－2＋m(x－2)＝0，当得即点B(2，0)，且两直线满足1×(m＋1)＋(m＋1)×(－1)＝0，所以l1⊥l2，即PA⊥PB，PA2＋PB2＝AB2＝8，PA＋PB≤＝4，当且仅当PA＝PB＝2时，等号成立，所以PA＋PB的最大值为4.
9. AB　对于A，因为x＋ay＋2a＝0表示过定点(0，－2)，且斜率不为0的直线，可知A＝{(x，y)|x＋ay＋2a＝0}表示直线x＋ay＋2a＝0上所有的点，所以 a∈R，A≠ ，故A正确；对于B，当 a＝－1时，A＝{(x，y)|x－y－2＝0}，B＝{(x，y)| x＋y＋1＝0}，联立方程解得所以A∩B＝，故B正确；对于C，当A∩B＝ 时，若B＝ ，则a＝0；若B≠ ，可知直线x＋ay＋2a＝0与直线ax＋ay－1＝0平行，且a≠0，可得＝≠，解得a＝1.综上，a＝0或a＝1，故C错误；对于D，若A＝B，由C可知a≠0，且＝＝，无解，故D错误．故选AB.
10. BD　由题意，得联立解得即点P(1，2)，直线AB的斜率为kAB＝＝－4，线段AB的中点坐标为(3，－1).若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为＝－，故所求直线方程为y－2＝－(x－1)，即3x＋2y－7＝0.综上，所求直线方程为4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.故选BD.
11. －1　当三条直线交于同一点时，联立方程得即交点坐标为.将点代入l3：x＋my＝2(m<0)，得＋m×＝2，即m2－5m＋2＝0，解得m＝>0.又m<0，故舍去；当l1与l2平行时，m＝－1；当l2与l3平行时，m2＝－1，无解；当l1与l3平行时，m＝1.又m<0，故舍去．综上，实数m的值为－1.
12. ∪[1，＋∞)　由mx－y－3m＋1＝0，得m(x－3)－y＋1＝0，所以直线l过点P(3，1)，则kPA＝＝1，kPB＝＝－.因为直线l与线段AB有公共点，且当直线l与y轴平行时，斜率不存在，所以斜率m的取值范围是∪[1，＋∞).
13. 2x－y＝0或3x＋y－5＝0　联立方程解得所以直线3x＋y－5＝0与x－2y＋3＝0的交点坐标为(1，2).因为所求直线的斜率存在且不为0，所以可设所求直线方程为y－2＝k(x－1)，k≠0，令x＝0，得y＝2－k，即所求直线在y轴上的截距为2－k，令y＝0，得x＝1－，即所求直线在x轴上的截距为1－.由题意可得2－k＝3，所以k2＋k－6＝0，所以k＝－3或k＝2，故所求直线方程为3x＋y－5＝0或2x－y＝0.
14. (1) 由
得x＝－，y＝－，
所以直线l1与l2的交点坐标为.
(2) 由＝可知P是线段AB的中点，设点B(x0，－3－x0)，
所以点B关于P(3，0)的对称点A(6－x0，3＋x0)在直线l1上，
把点A(6－x0，3＋x0)代入直线l1的方程2x－y－2＝0，
得2(6－x0)－(3＋x0)－2＝0，解得x0＝，
所以点B，
所以kl＝＝8，
即直线l的方程为y＝8x－24，即8x－y－24＝0.
15. (1) 整理直线l的方程，得(2x－y＋3)a＋3x＋y＋7＝0，
所以直线l过直线2x－y＋3＝0与3x＋y＋7＝0的交点，
联立方程
解得
所以直线l过定点A，点A的坐标为(－2，－1).
(2) 当截距为0时，直线l′的方程为y＝x，
即x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线l′的方程为＋＝1，
则解得
则直线l′的方程为＋＝1，即x＋2y＋4＝0.
故直线l′的方程为x－2y＝0或x＋2y＋4＝0.
(3)当a＝1时，直线l的方程为x＝－2，符合题意；
当a＝－时，直线l的方程为y＝－1，不符合题意；
当a≠1，且a≠－时，y＝x＋，
所以即
解得a>1或a≤－.
综上，当直线l不经过第四象限时，实数a的取值范围是∪[1，＋∞).
16. (1) 联立
解得x＝1，y＝2.
因为所求直线垂直于直线3x＋4y－5＝0，
所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为y＝(x－1)＋2，
即4x－3y＋2＝0.
(2) 如图，设点B(0，2)关于直线l1对称的点为C(x，y),
则
解得x＝，y＝，
则PA＋PB＝PA＋PC≥AC＝＝2，
故PA＋PB的最小值为2.