2.3.2 两点间的距离公式 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
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| 名称 | 2.3.2 两点间的距离公式 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 136.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:32:39 | ||
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文档简介
2．3.2 两点间的距离公式
一、 单项选择题
1 已知点A(－1，2)，B(0，1)，C(1，4)，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
2 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的值为( )
A. 10 B. 5
C. 8 D. 6
3 已知点P的纵坐标为1，则点P分别关于点A(－1，0)，B(0，5)的对称点间的距离为( )
A. B. 2
C. 4 D. 4
4 点(3，2)到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离的最大值为( )
A. 10 B.
C. 4 D.
5 已知点A(4，1)，B(0，4)，直线l：3x－y－1＝0，点P在直线l上，则|PB－PA|的最大值为( )
A. B. 2
C. D. 2
6 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示. 设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则·的最大值为( )
A. 44 B. 48 C. 72 D. 76
7 已知P，Q是直线l：x－y＋1＝0上两动点，且PQ＝，点A(－4，6)，B(0，6)，则AP＋PQ＋QB的最小值为( )
A. 10＋ B. 10－
C. 10 D. 12
8 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决. 例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题. 结合上述观点，函数f(x)＝＋的最小值是( )
A. 2 B. 4
C. 2 D. 2
二、 多项选择题
9 一条光线从点A(－2，3)射出，射向点B(1，0)，经x轴反射后过点C(a，1)，则下列结论中正确的是( )
A. 直线AB的斜率是－1
B. AB⊥BC
C. a＝3
D. AB＋BC＝4
10已知点A(－2，1)，B(a，1－a)，过点A，B的直线为l，则下列说法中正确的有( )
A. 若a＝1，则直线l的方程为x＋3y－1＝0
B. 若a＝－1，则直线l的倾斜角为
C. 对于任意实数a，都有AB≥
D. 存在两个不同的实数a，能使直线l在x轴，y轴上的截距互为相反数
三、填空题
11 已知P是直线y＝x＋2上一点，点P与点(4，7)间的距离为5，则点P的坐标为________.
12 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(－3，0)，若将军从山脚下的点B(－1，1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝1，则“将军饮马”的最短总路程为________.
13 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则OQ的最大值是________.
四、解答题
14已知△ABC的三个顶点是A(－1，2)，B(2，－2)，C(3，5).
(1) 求边AC上的高所在直线的方程；
(2) 求∠BAC的平分线所在直线的方程．
15 已知直线l1的方程为(a＋4)x－ay＋2＝0，直线l2经过点A和B.
(1) 若l1⊥l2，求实数a的值；
(2) 若当a变化时，直线l1总过定点C，求AC的长．
16 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于点A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，光线QR经过△ABC的重心．
(1) 建立恰当的平面直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标；
(2) 求点P的坐标；
(3) 求△PQR的周长．
2．3.2 两点间的距离公式
1. B 因为AB＝＝，AC＝＝2，BC＝
＝，所以AB2＋AC2＝BC2，且AB≠AC，故△ABC为直角三角形．
2. A 设点A(a，0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即点A(6，0)，B(0，8)，所以AB＝＝10.
3. B 设点P(m，1)，则点P关于点A(－1，0)，B(0，5)的对称点分别为(－2－m，－1)，(－m，9)，
故所求距离为＝2.
4. D 由λx＋y－2λ＋1＝0，得λ(x－2)＋y＋1＝0，由得故直线λx＋y－2λ＋1＝0过定点P(2，－1).记点(3，2)为点Q，如图，当PQ与直线λx＋y－2λ＋1＝0垂直时，点(3，2)到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离有最大值，最大值为PQ＝＝.
5. C 如图，作出点B关于直线l的对称点B′，连接AB′延长交直线l于点P，此时点P使|PB－PA|取得最大值．不妨设点B′(m，n)，则解得即点B′(3，3)，故|PB－PA|max＝B′A＝＝.
6. B 设点P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正六边形的边长为4，所以点A(－8，0)，B(8，0)，所以＝(－8－x，－y)，＝(8－x，－y)，所以·＝－(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64.设点P(x，y)到原点的距离为d，则·的最大值为d－64，由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，则可取点P(8，4)，所以d－64＝OP2－64＝64＋48－64＝48，即·的最大值为48.
7. A 不妨设点P(x，x＋1)在点Q的左边，因为直线l：x－y＋1＝0的倾斜角为45°，且PQ＝，所以点Q的坐标为(x＋1，x＋2)，所以AP＋PQ＋QB＝＋＋，所以可记d＝＋，则d表示点M(x，x)到D(－4，5)，C(－1，4)的距离之和，即点D(－4，5)，C(－1，4)到直线y＝x的距离之和．由题意，即求距离之和的最小值．如图，作出点C(－1，4)关于直线y＝x的对称点C′，则C′(4，－1)，连接DC′，交直线y＝x于点N，则CN＋DN即为d的最小值，且CN＋DN＝DN＋C′N＝DC′＝＝10，故AP＋PQ＋QB的最小值为10＋.
8. C 由题意，得f(x)＝＋＝＋表示动点P(x，1)到定点A(－2，0)和B(2，0)的距离之和．因为点P(x，1)在直线y＝1上运动，作点B(2，0)关于直线y＝1的对称点B1，则B1(2，2)，故PA＋PB＝PA＋PB1≥AB1＝＝2，当且仅当A，P，B1三点共线时，等号成立，即f(x)的最小值为2.
9. ABD 对于A，因为点A(－2，3)，B(1，0)，所以由斜率公式，得kAB＝＝－1，故A正确；对于B，如图，点A(－2，3)关于x轴的对称点A1的坐标为(－2，－3)，经x轴反射后直线BC的斜率为kBC＝kA1B＝＝1，且kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，故B正确；对于C，直线BC即直 线A1B的方程为y－0＝1×(x－1)，即y＝x－1，将y＝ 1代入，得x＝2，所以点C(2，1)，即a＝2，故C错误； 对于D，由两点间的距离公式，得AB＋ BC ＝＋＝ 4，故D正确．故选ABD.
10. ABD 对于A，当a＝1时，点B(1，0).因为点A(－2，1)，所以kAB＝＝－，此时直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋3y－1＝0，故A正确；对于B，若a＝－1，则点B(－1，2).又因为点A(－2，1)，kAB＝＝1，设直线AB的倾斜角为α，则α∈[0，π)，且tan α＝kAB＝1，则α＝，即直线l的倾斜角为，故B正确；对于C，AB＝＝＝≥，当且仅当a＝－1时，等号成立，故C错误；对于D，若直线l过原点，则直线l的斜率为kl＝＝－，此时直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.因为点B在直线l上，所以a＋2(1－a)＝2－a＝0，解得a＝2.若直线l不经过原点，设直线l的方程为x－y＝m，因为点A在直线l上，所以m＝－2－1＝－3，此时直线l的方程为x－y＋3＝0，因为点B在直线l上，所以a－(1－a)＋3＝2a＋2＝0，解得a＝－1.综上，存在两个不同的实数a，能使直线l在x轴，y轴上的截距互为相反数，故D正确．故选ABD.
11. (1，3)或(8，10) 因为点P是直线y＝x＋2上一点，可设点P(m，m＋2)，所以＝5，解得m＝1或m＝8，所以点P的坐标为(1，3)或(8，10).
12. 如图，设点B(－1，1)关于直线x＋y＝1对称的点为C(x，y)，则解得所以点C(0，2)，则PA＋PB＝PA＋PC，故“将军饮马”的最短总路程为AC＝＝.
13. 2 因为直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q(，)，所以OQ＝＝＝.若OQ最大，则最小，则1＋m2最小，且1＋m2≥1，当且仅当m＝0时，等号成立，此时OQmax＝2，所以OQ的最大值是2.
14. (1) 设边AC上的高所在直线的斜率为k，直线AC的斜率为kAC＝＝，
所以k·kAC＝－1，所以k＝－，
故所求直线方程为y＋2＝－(x－2)，即4x＋3y－2＝0.
(2) 由题意，得AB＝＝5，AC＝＝5,
所以AB＝AC＝5，
则△ABC为等腰三角形，边BC的中点为D，如图所示，
故kAD＝＝－.
由等腰三角形的性质知，AD为∠BAC的平分线，
故所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋7y－13＝0.
15. (1) 直线l2经过点A和B，
所以a≠0，
所以直线l2的斜率为k＝＝－.
因为直线l1的斜率为，且l1⊥l2，
所以×＝－1，
解得a＝－2或a＝4.
(2) 直线l1的方程为(a＋4)x－ay＋2＝0可化为a(x－y)＋4x＋2＝0，
由解得x＝y＝－，
所以直线l1总过定点C.
由两点间的距离公式，得
AC＝＝.
16. (1) 以A为坐标原点，以AB，AC为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则点A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，
故△ABC的重心G的坐标为(，)，即点G.
(2) 设点P(a，0)，点P关于直线BC，AC的对称点分别设为P1，P2，则点P2(－a，0)，设点P1(x0，y0).
又因为直线BC的方程为x＋y－4＝0，
所以
解得即点P1(4，4－a).
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，且光线QR经过△ABC的重心，
故点＝，
解得a＝或a＝0(舍去)，
故P.
(3) 由(2)，得点P1，P2，
由题意可知PQ＝QP1，PR＝RP2，
故△PQR的周长为PQ＋PR＋RQ＝QP1＋RP2＋RQ＝P1P2＝＝.
一、 单项选择题
1 已知点A(－1，2)，B(0，1)，C(1，4)，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
2 已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是(3，4)，则AB的值为( )
A. 10 B. 5
C. 8 D. 6
3 已知点P的纵坐标为1，则点P分别关于点A(－1，0)，B(0，5)的对称点间的距离为( )
A. B. 2
C. 4 D. 4
4 点(3，2)到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离的最大值为( )
A. 10 B.
C. 4 D.
5 已知点A(4，1)，B(0，4)，直线l：3x－y－1＝0，点P在直线l上，则|PB－PA|的最大值为( )
A. B. 2
C. D. 2
6 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示. 设P为图中7个正六边形(边长为4)的某一个顶点，A，B为两个固定顶点，则·的最大值为( )
A. 44 B. 48 C. 72 D. 76
7 已知P，Q是直线l：x－y＋1＝0上两动点，且PQ＝，点A(－4，6)，B(0，6)，则AP＋PQ＋QB的最小值为( )
A. 10＋ B. 10－
C. 10 D. 12
8 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决. 例如，与相关的代数问题，可以转化为点A(x，y)与点B(a，b)之间的距离的几何问题. 结合上述观点，函数f(x)＝＋的最小值是( )
A. 2 B. 4
C. 2 D. 2
二、 多项选择题
9 一条光线从点A(－2，3)射出，射向点B(1，0)，经x轴反射后过点C(a，1)，则下列结论中正确的是( )
A. 直线AB的斜率是－1
B. AB⊥BC
C. a＝3
D. AB＋BC＝4
10已知点A(－2，1)，B(a，1－a)，过点A，B的直线为l，则下列说法中正确的有( )
A. 若a＝1，则直线l的方程为x＋3y－1＝0
B. 若a＝－1，则直线l的倾斜角为
C. 对于任意实数a，都有AB≥
D. 存在两个不同的实数a，能使直线l在x轴，y轴上的截距互为相反数
三、填空题
11 已知P是直线y＝x＋2上一点，点P与点(4，7)间的距离为5，则点P的坐标为________.
12 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(－3，0)，若将军从山脚下的点B(－1，1)处出发，河岸线所在直线方程为x＋y＝1，则“将军饮马”的最短总路程为________.
13 直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0交于点Q，m是实数，O为坐标原点，则OQ的最大值是________.
四、解答题
14已知△ABC的三个顶点是A(－1，2)，B(2，－2)，C(3，5).
(1) 求边AC上的高所在直线的方程；
(2) 求∠BAC的平分线所在直线的方程．
15 已知直线l1的方程为(a＋4)x－ay＋2＝0，直线l2经过点A和B.
(1) 若l1⊥l2，求实数a的值；
(2) 若当a变化时，直线l1总过定点C，求AC的长．
16 如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，P是边AB上异于点A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P，光线QR经过△ABC的重心．
(1) 建立恰当的平面直角坐标系，求△ABC的重心G的坐标；
(2) 求点P的坐标；
(3) 求△PQR的周长．
2．3.2 两点间的距离公式
1. B 因为AB＝＝，AC＝＝2，BC＝
＝，所以AB2＋AC2＝BC2，且AB≠AC，故△ABC为直角三角形．
2. A 设点A(a，0)，B(0，b)，则a＝6，b＝8，即点A(6，0)，B(0，8)，所以AB＝＝10.
3. B 设点P(m，1)，则点P关于点A(－1，0)，B(0，5)的对称点分别为(－2－m，－1)，(－m，9)，
故所求距离为＝2.
4. D 由λx＋y－2λ＋1＝0，得λ(x－2)＋y＋1＝0，由得故直线λx＋y－2λ＋1＝0过定点P(2，－1).记点(3，2)为点Q，如图，当PQ与直线λx＋y－2λ＋1＝0垂直时，点(3，2)到直线λx＋y－2λ＋1＝0的距离有最大值，最大值为PQ＝＝.
5. C 如图，作出点B关于直线l的对称点B′，连接AB′延长交直线l于点P，此时点P使|PB－PA|取得最大值．不妨设点B′(m，n)，则解得即点B′(3，3)，故|PB－PA|max＝B′A＝＝.
6. B 设点P(x，y)，建立如图所示的平面直角坐标系，因为正六边形的边长为4，所以点A(－8，0)，B(8，0)，所以＝(－8－x，－y)，＝(8－x，－y)，所以·＝－(8＋x)(8－x)＋y2＝x2＋y2－64.设点P(x，y)到原点的距离为d，则·的最大值为d－64，由图可知，离原点距离最远的正六边形顶点为最外围的顶点，则可取点P(8，4)，所以d－64＝OP2－64＝64＋48－64＝48，即·的最大值为48.
7. A 不妨设点P(x，x＋1)在点Q的左边，因为直线l：x－y＋1＝0的倾斜角为45°，且PQ＝，所以点Q的坐标为(x＋1，x＋2)，所以AP＋PQ＋QB＝＋＋，所以可记d＝＋，则d表示点M(x，x)到D(－4，5)，C(－1，4)的距离之和，即点D(－4，5)，C(－1，4)到直线y＝x的距离之和．由题意，即求距离之和的最小值．如图，作出点C(－1，4)关于直线y＝x的对称点C′，则C′(4，－1)，连接DC′，交直线y＝x于点N，则CN＋DN即为d的最小值，且CN＋DN＝DN＋C′N＝DC′＝＝10，故AP＋PQ＋QB的最小值为10＋.
8. C 由题意，得f(x)＝＋＝＋表示动点P(x，1)到定点A(－2，0)和B(2，0)的距离之和．因为点P(x，1)在直线y＝1上运动，作点B(2，0)关于直线y＝1的对称点B1，则B1(2，2)，故PA＋PB＝PA＋PB1≥AB1＝＝2，当且仅当A，P，B1三点共线时，等号成立，即f(x)的最小值为2.
9. ABD 对于A，因为点A(－2，3)，B(1，0)，所以由斜率公式，得kAB＝＝－1，故A正确；对于B，如图，点A(－2，3)关于x轴的对称点A1的坐标为(－2，－3)，经x轴反射后直线BC的斜率为kBC＝kA1B＝＝1，且kBC·kAB＝－1，所以AB⊥BC，故B正确；对于C，直线BC即直 线A1B的方程为y－0＝1×(x－1)，即y＝x－1，将y＝ 1代入，得x＝2，所以点C(2，1)，即a＝2，故C错误； 对于D，由两点间的距离公式，得AB＋ BC ＝＋＝ 4，故D正确．故选ABD.
10. ABD 对于A，当a＝1时，点B(1，0).因为点A(－2，1)，所以kAB＝＝－，此时直线l的方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋3y－1＝0，故A正确；对于B，若a＝－1，则点B(－1，2).又因为点A(－2，1)，kAB＝＝1，设直线AB的倾斜角为α，则α∈[0，π)，且tan α＝kAB＝1，则α＝，即直线l的倾斜角为，故B正确；对于C，AB＝＝＝≥，当且仅当a＝－1时，等号成立，故C错误；对于D，若直线l过原点，则直线l的斜率为kl＝＝－，此时直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0.因为点B在直线l上，所以a＋2(1－a)＝2－a＝0，解得a＝2.若直线l不经过原点，设直线l的方程为x－y＝m，因为点A在直线l上，所以m＝－2－1＝－3，此时直线l的方程为x－y＋3＝0，因为点B在直线l上，所以a－(1－a)＋3＝2a＋2＝0，解得a＝－1.综上，存在两个不同的实数a，能使直线l在x轴，y轴上的截距互为相反数，故D正确．故选ABD.
11. (1，3)或(8，10) 因为点P是直线y＝x＋2上一点，可设点P(m，m＋2)，所以＝5，解得m＝1或m＝8，所以点P的坐标为(1，3)或(8，10).
12. 如图，设点B(－1，1)关于直线x＋y＝1对称的点为C(x，y)，则解得所以点C(0，2)，则PA＋PB＝PA＋PC，故“将军饮马”的最短总路程为AC＝＝.
13. 2 因为直线l1：x－my－2＝0与直线l2：mx＋y＋2＝0的交点坐标为Q(，)，所以OQ＝＝＝.若OQ最大，则最小，则1＋m2最小，且1＋m2≥1，当且仅当m＝0时，等号成立，此时OQmax＝2，所以OQ的最大值是2.
14. (1) 设边AC上的高所在直线的斜率为k，直线AC的斜率为kAC＝＝，
所以k·kAC＝－1，所以k＝－，
故所求直线方程为y＋2＝－(x－2)，即4x＋3y－2＝0.
(2) 由题意，得AB＝＝5，AC＝＝5,
所以AB＝AC＝5，
则△ABC为等腰三角形，边BC的中点为D，如图所示，
故kAD＝＝－.
由等腰三角形的性质知，AD为∠BAC的平分线，
故所求直线的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋7y－13＝0.
15. (1) 直线l2经过点A和B，
所以a≠0，
所以直线l2的斜率为k＝＝－.
因为直线l1的斜率为，且l1⊥l2，
所以×＝－1，
解得a＝－2或a＝4.
(2) 直线l1的方程为(a＋4)x－ay＋2＝0可化为a(x－y)＋4x＋2＝0，
由解得x＝y＝－，
所以直线l1总过定点C.
由两点间的距离公式，得
AC＝＝.
16. (1) 以A为坐标原点，以AB，AC为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则点A(0，0)，B(4，0)，C(0，4)，
故△ABC的重心G的坐标为(，)，即点G.
(2) 设点P(a，0)，点P关于直线BC，AC的对称点分别设为P1，P2，则点P2(－a，0)，设点P1(x0，y0).
又因为直线BC的方程为x＋y－4＝0，
所以
解得即点P1(4，4－a).
由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，且光线QR经过△ABC的重心，
故点＝，
解得a＝或a＝0(舍去)，
故P.
(3) 由(2)，得点P1，P2，
由题意可知PQ＝QP1，PR＝RP2，
故△PQR的周长为PQ＋PR＋RQ＝QP1＋RP2＋RQ＝P1P2＝＝.