2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.3.4 两条平行直线间的距离 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 45.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:34:20 | ||
图片预览
文档简介
2．3.4 两条平行直线间的距离
一、 单项选择题
1若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与2x－ny－6＝0之间的距离是，则m＋n的值为( )
A. －12 B. 2 C. 0 D. －2
2 已知直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3 已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则下列说法中错误的是( )
A. 直线l2过定点(－3，－1)
B. 当m＝1时，l1∥l2
C. 当m＝2时，l1∥l2
D. 当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
4 点P(1，2)在直线l上，直线l1与l关于点(0，1)对称，则一定在直线l1上的点为( )
A. B.
C. (－1，0) D. (1，0)
5 直线y＝x＋1关于直线y＝2x对称的直线方程为( )
A. 3x－y－1＝0 B. 4x－y－2＝0
C. 5x－y－3＝0 D. 7x－y－5＝0
6 M，N分别为直线3x－4y－12＝0与6x－8y＋5＝0上任意一点，则MN的最小值为( )
A. B. C. D.
7 若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A. 3 B. 2 C. D. 4
8已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
9下列四个命题中，真命题的是( )
A. 过点(－10，10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线方程为y＝－x＋
B. 直线x cos θ＋y＋2＝0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是∪
C. 直线x＋y－1＝0与直线2x＋2y＋1＝0之间的距离是
D. 直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)恒过定点(5，－2)
10 已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程可能为( )
A. 2x＋3y－8＝0
B. 4x＋6y＋5＝0
C. 2x＋3y－5＝0
D. 12x＋18y－13＝0
三、填空题
11 直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________.
12 与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程为________.
13 直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0，当l1∥l2时，直线l1与l2之间的距离为________.
四、解答题
14 已知直线l：y＝3x＋7，试求：
(1) 点P(2，5)关于直线l的对称点的坐标；
(2) 直线y＝x＋3关于直线l对称的直线方程；
(3) 直线l关于点A(4，2)对称的直线方程．
15已知直线l1：2x－(a－1)y－2＝0，l2：(a＋2)x＋(2a＋1)y＋3＝0(a∈R).
(1) 若l1⊥l2，求实数a的值；
(2) 若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
16 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是3x＋4y－6＝0与3x＋4y＋9＝0，求直线l与CD所在直线间的距离．
2．3.4 两条平行直线间的距离
1. D 因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与2x－ny－6＝0直线平行，所以2＝，即n＝－4.又因为直线x＋2y－3＝0与直线x＋2y＋m＝0(m>0)之间的距离为，所以＝，即|m＋3|＝5，解得m＝2或m＝－8(舍去)，故m＋n＝2＋(－4)＝－2.
2. A 因为直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，所以＝≠，解得m＝7，即直线l2：3x－4y－3＝0，所以直线l1与l2之间的距离为＝2.
3. B 对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)可化为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令得故直线l2过定点(－3，－1)，故A正确；对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，所以kl1＝，kl2＝，kl1≠kl2，故两直线不平行，故B错误；对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，所以＝≠，故两直线平行，故C正确；对于D，由C可知，当l1∥l2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，则两直线距离为＝1，故D正确．
4. C 由题意，设点P(1，2)关于点(0，1)对称的点为(x，y)，若该点必在l1上，则解得即点(－1，0)一定在直线l1上．
5. D 由解得则直线y＝x＋1与直线y＝2x交于点A(1，2).在直线y＝x＋1上取点B(－4，－3)，设点B关于直线y＝2x的对称点B′(a，b).由题意，得解得即点B′(0，－5)，直线AB′的方程为y＝x－5，即7x－y－5＝0，所以直线y＝x＋1关于直线y＝2x对称的直线方程为7x－y－5＝0.
6. A 由＝≠，得两条直线相互平行，所以MN的最小值为平行线之间的距离．又6x－8y＋5＝0可化为3x－4y＋＝0，所以d＝＝.
7. A 由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，故点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
8. D 由题意，得(a，b)是直线3x－4y＋3＝0上的点，(c，d)是直线3x－4y－7＝0上的点，则两直线平行，(a－c)2＋(b－d)2的最小值是平行直线之间的距离的平方，所以可得最小值为＝4.
9. BD 对于A，当直线过原点时，方程为y＝－x，当直线不过原点时，设方程为＋＝1，则＋＝1，解得b＝，所以直线方程为y＝－x＋.综上，所求直线方程为y＝－x或y＝－x＋，故A错误；对于B，直线x cos θ＋y＋2＝0(θ∈R)的斜率为k＝－cos θ∈，所以倾斜角的取值范围是∪，故B正确；对于C，直线x＋y－1＝0可化为2x＋2y－2＝0，故直线x＋y－1＝0与直线2x＋2y＋1＝0之间的距离为＝，故C错误；对于D，由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3，得(x＋2y－1)m－x－y＋3＝0，所以解得所以定点的坐标为(5，－2)，故D正确．故选BD.
10. BD 直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0.设直线l到直线l1的距离为d1，直线l到直线l2的距离为d2.设直线l的方程为4x＋6y＋c＝0(c≠－2且 c≠－9)，则d1＝，d2＝.由题意，得＝，即d2＝2d1，所以|c＋9|＝2|c＋2|，化简得c＋9＝2c＋4或c＋9＝－2c－4，解得c＝5或 c＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选BD.
11. 2x－3y－9＝0 设P(x，y)为直线l′上任意一点，则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y).因为点P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
12. 5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0 设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，由两平行直线间的距离公式，得＝2，解得b＝32或b＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
13. 因为直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0，且l1∥l2，所以a(a－2)＝3，解得a＝－1或a＝3，当a＝－1时，直线l1：－x＋3y＋1＝0，l2：x－3y－1＝0，两直线重合，不满足要求；当a＝3时，直线l1：x＋y＋＝0，l2：x＋y－1＝0，两直线平行，满足要求，所以当l1∥l2时，直线l1与l2之间的距离为＝.
14. (1) 设点P(2，5)关于直线l：y＝3x＋7 的对称点的坐标为(a，b).
由题意，得解得
故点P(2，5)关于直线l：y＝3x＋7的对称点的坐标为.
(2) 由得
则直线y＝x＋3与直线l：y＝3x＋7的交点为E(－2，1).
在直线y＝x＋3上取一点M(0，3)，
设点M(0，3)关于直线l：y＝3x＋7的对称点为N(m，n)，
则
解得即点N.
由题意，得E，N两点是所求直线上的两个点，
则直线斜率为－7，所求直线方程为y－1＝－7(x＋2)，
即7x＋y＋13＝0.
(3) 在直线l：y＝3x＋7上任意取出两个点C(0，7)，D(－1，4)，
易知这两个点关于点A(4，2)的对称点分别为Q(8，－3)，H(9，0).
由题意，得Q(8，－3)，H(9，0)是所求直线上的两个点，
则直线斜率为3，所求直线方程为y＝3(x－9)，
即3x－y－27＝0.
15. (1) 由l1⊥l2，得2(a＋2)－(a－1)(2a＋1)＝0，
即2a2－3a－5＝0，
所以(2a－5)(a＋1)＝0，
解得a＝－1或.
(2) 由l1∥l2，得＝，即a2＋5a＝0，
解得a＝0或 a ＝ －5，
当a＝0时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，此时满足平行，且l1，l2之间的距离为＝；
当a＝－5时，l1：x＋3y－1＝0，l2：x＋3y－1＝0，此时两线重合，舍去．
综上，当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为.
16. 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，
则△ABE∽△CDE，相似比为1∶2，
则AE∶EC＝1∶2，
故点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的.
又AB和CD所在直线的距离为＝3，
所以直线l与CD所在直线间的距离为2.
一、 单项选择题
1若两平行直线x＋2y＋m＝0(m>0)与2x－ny－6＝0之间的距离是，则m＋n的值为( )
A. －12 B. 2 C. 0 D. －2
2 已知直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3 已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则下列说法中错误的是( )
A. 直线l2过定点(－3，－1)
B. 当m＝1时，l1∥l2
C. 当m＝2时，l1∥l2
D. 当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为1
4 点P(1，2)在直线l上，直线l1与l关于点(0，1)对称，则一定在直线l1上的点为( )
A. B.
C. (－1，0) D. (1，0)
5 直线y＝x＋1关于直线y＝2x对称的直线方程为( )
A. 3x－y－1＝0 B. 4x－y－2＝0
C. 5x－y－3＝0 D. 7x－y－5＝0
6 M，N分别为直线3x－4y－12＝0与6x－8y＋5＝0上任意一点，则MN的最小值为( )
A. B. C. D.
7 若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为( )
A. 3 B. 2 C. D. 4
8已知实数a，b，c，d满足3a－4b＋3＝0，3c－4d－7＝0，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、 多项选择题
9下列四个命题中，真命题的是( )
A. 过点(－10，10)且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线方程为y＝－x＋
B. 直线x cos θ＋y＋2＝0(θ∈R)的倾斜角的取值范围是∪
C. 直线x＋y－1＝0与直线2x＋2y＋1＝0之间的距离是
D. 直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3(m∈R)恒过定点(5，－2)
10 已知直线l1：2x＋3y－1＝0和l2：4x＋6y－9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程可能为( )
A. 2x＋3y－8＝0
B. 4x＋6y＋5＝0
C. 2x＋3y－5＝0
D. 12x＋18y－13＝0
三、填空题
11 直线l：2x－3y＋1＝0关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程为________.
12 与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线的方程为________.
13 直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0，当l1∥l2时，直线l1与l2之间的距离为________.
四、解答题
14 已知直线l：y＝3x＋7，试求：
(1) 点P(2，5)关于直线l的对称点的坐标；
(2) 直线y＝x＋3关于直线l对称的直线方程；
(3) 直线l关于点A(4，2)对称的直线方程．
15已知直线l1：2x－(a－1)y－2＝0，l2：(a＋2)x＋(2a＋1)y＋3＝0(a∈R).
(1) 若l1⊥l2，求实数a的值；
(2) 若l1∥l2，求l1，l2之间的距离．
16 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，过点E作AB所在直线的平行线l.若AB和CD所在直线的方程分别是3x＋4y－6＝0与3x＋4y＋9＝0，求直线l与CD所在直线间的距离．
2．3.4 两条平行直线间的距离
1. D 因为直线x＋2y＋m＝0(m>0)与2x－ny－6＝0直线平行，所以2＝，即n＝－4.又因为直线x＋2y－3＝0与直线x＋2y＋m＝0(m>0)之间的距离为，所以＝，即|m＋3|＝5，解得m＝2或m＝－8(舍去)，故m＋n＝2＋(－4)＝－2.
2. A 因为直线l1：3x－4y＋7＝0与直线l2：6x－(m＋1)y＋1－m＝0平行，所以＝≠，解得m＝7，即直线l2：3x－4y－3＝0，所以直线l1与l2之间的距离为＝2.
3. B 对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)可化为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令得故直线l2过定点(－3，－1)，故A正确；对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，所以kl1＝，kl2＝，kl1≠kl2，故两直线不平行，故B错误；对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，所以＝≠，故两直线平行，故C正确；对于D，由C可知，当l1∥l2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，则两直线距离为＝1，故D正确．
4. C 由题意，设点P(1，2)关于点(0，1)对称的点为(x，y)，若该点必在l1上，则解得即点(－1，0)一定在直线l1上．
5. D 由解得则直线y＝x＋1与直线y＝2x交于点A(1，2).在直线y＝x＋1上取点B(－4，－3)，设点B关于直线y＝2x的对称点B′(a，b).由题意，得解得即点B′(0，－5)，直线AB′的方程为y＝x－5，即7x－y－5＝0，所以直线y＝x＋1关于直线y＝2x对称的直线方程为7x－y－5＝0.
6. A 由＝≠，得两条直线相互平行，所以MN的最小值为平行线之间的距离．又6x－8y＋5＝0可化为3x－4y＋＝0，所以d＝＝.
7. A 由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两直线距离相等的直线上，设该直线方程为x＋y＋c＝0，则＝，即c＝－6，故点M在直线x＋y－6＝0上，所以点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x＋y－6＝0的距离，即＝3.
8. D 由题意，得(a，b)是直线3x－4y＋3＝0上的点，(c，d)是直线3x－4y－7＝0上的点，则两直线平行，(a－c)2＋(b－d)2的最小值是平行直线之间的距离的平方，所以可得最小值为＝4.
9. BD 对于A，当直线过原点时，方程为y＝－x，当直线不过原点时，设方程为＋＝1，则＋＝1，解得b＝，所以直线方程为y＝－x＋.综上，所求直线方程为y＝－x或y＝－x＋，故A错误；对于B，直线x cos θ＋y＋2＝0(θ∈R)的斜率为k＝－cos θ∈，所以倾斜角的取值范围是∪，故B正确；对于C，直线x＋y－1＝0可化为2x＋2y－2＝0，故直线x＋y－1＝0与直线2x＋2y＋1＝0之间的距离为＝，故C错误；对于D，由(m－1)x＋(2m－1)y＝m－3，得(x＋2y－1)m－x－y＋3＝0，所以解得所以定点的坐标为(5，－2)，故D正确．故选BD.
10. BD 直线l1的方程可化为4x＋6y－2＝0.设直线l到直线l1的距离为d1，直线l到直线l2的距离为d2.设直线l的方程为4x＋6y＋c＝0(c≠－2且 c≠－9)，则d1＝，d2＝.由题意，得＝，即d2＝2d1，所以|c＋9|＝2|c＋2|，化简得c＋9＝2c＋4或c＋9＝－2c－4，解得c＝5或 c＝－，所以直线l的方程为4x＋6y＋5＝0或12x＋18y－13＝0.故选BD.
11. 2x－3y－9＝0 设P(x，y)为直线l′上任意一点，则点P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y).因为点P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即直线l′的方程为2x－3y－9＝0.
12. 5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0 设与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，由两平行直线间的距离公式，得＝2，解得b＝32或b＝－20，故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
13. 因为直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：x＋(a－2)y－1＝0，且l1∥l2，所以a(a－2)＝3，解得a＝－1或a＝3，当a＝－1时，直线l1：－x＋3y＋1＝0，l2：x－3y－1＝0，两直线重合，不满足要求；当a＝3时，直线l1：x＋y＋＝0，l2：x＋y－1＝0，两直线平行，满足要求，所以当l1∥l2时，直线l1与l2之间的距离为＝.
14. (1) 设点P(2，5)关于直线l：y＝3x＋7 的对称点的坐标为(a，b).
由题意，得解得
故点P(2，5)关于直线l：y＝3x＋7的对称点的坐标为.
(2) 由得
则直线y＝x＋3与直线l：y＝3x＋7的交点为E(－2，1).
在直线y＝x＋3上取一点M(0，3)，
设点M(0，3)关于直线l：y＝3x＋7的对称点为N(m，n)，
则
解得即点N.
由题意，得E，N两点是所求直线上的两个点，
则直线斜率为－7，所求直线方程为y－1＝－7(x＋2)，
即7x＋y＋13＝0.
(3) 在直线l：y＝3x＋7上任意取出两个点C(0，7)，D(－1，4)，
易知这两个点关于点A(4，2)的对称点分别为Q(8，－3)，H(9，0).
由题意，得Q(8，－3)，H(9，0)是所求直线上的两个点，
则直线斜率为3，所求直线方程为y＝3(x－9)，
即3x－y－27＝0.
15. (1) 由l1⊥l2，得2(a＋2)－(a－1)(2a＋1)＝0，
即2a2－3a－5＝0，
所以(2a－5)(a＋1)＝0，
解得a＝－1或.
(2) 由l1∥l2，得＝，即a2＋5a＝0，
解得a＝0或 a ＝ －5，
当a＝0时，l1：2x＋y－2＝0，l2：2x＋y＋3＝0，此时满足平行，且l1，l2之间的距离为＝；
当a＝－5时，l1：x＋3y－1＝0，l2：x＋3y－1＝0，此时两线重合，舍去．
综上，当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为.
16. 在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，且对角线交于点E，
则△ABE∽△CDE，相似比为1∶2，
则AE∶EC＝1∶2，
故点E到CD所在直线的距离为AB和CD所在直线距离的.
又AB和CD所在直线的距离为＝3，
所以直线l与CD所在直线间的距离为2.