2.4.1　圆的标准方程 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.4.1　圆的标准方程
一、 单项选择题
1 圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2关于直线l：y＝x－1对称后的方程为(　　)
A. (x－2)2＋y2＝2
B. (x＋2)2＋y2＝2
C. x2＋(y－2)2＝2
D. x2＋(y＋1)2＝2
2已知O为坐标原点，圆E：(x－2)2＋(y－3)2＝25，则OE等于(　　)
A. 2 B. 3
C. D. 5
3 已知点A(－4，－2)，B(－4，2)，C(－2，2)，则△ABC外接圆的方程是(　　)
A. x2＋(y－3)2＝20
B. (x＋3)2＋y2＝5
C. x2＋(y＋3)2＝5
D. (x－3)2＋y2＝20
4 若两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B. ∪(1，＋∞)
C.
D. ∪[1，＋∞)
5 在平面直角坐标系xOy中，若从点A(0，t)发出的光线经过点B(1，0)，且被x轴反射后将圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝1平分，则实数t的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 已知点C的坐标为(1，1)，动点P满足PC＝2，O为坐标原点，则OP的最大值为(　　)
A. 4 B. 3
C. 2 D.
7 已知点M(0，2)，N，过点M作直线交圆O：x2＋y2＝9于A，B两点，AB的中点为Q，则NQ的最小值为(　　)
A. B. C. 1 D.
8曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的图形的面积为(　　)
A. ＋2 B. π＋2
C. 2 D. 2π
二、 多项选择题
9 已知圆C经过点A(0，0)，B(2，0)，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为(　　)
A. (x－1)2＋(y－1)2＝4
B. (x－1)2＋(y＋1)2＝2
C. (x－1)2＋(y－1)2＝2
D. (x－1)2＋(y－2)2＝5
10 已知圆C经过点(3，0)和(0，1)，且圆C被x轴，y轴截得的弦长相等，则圆C的方程可以是(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋7)2＝65
B. (x－2)2＋(y－2)2＝5
C. (x－1)2＋(y＋1)2＝5
D. (x－3)2＋(y－5)2＝25
三、填空题
11 圆心在直线l：x－2y－3＝0上，且经过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程为________.
12 若实数x，y满足x2＋y2＝4，则(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是________.
13若点P(－3，0)在动直线(a＋2b)x－(a＋b)y－3a－4b＝0上的投影点为Q，则点Q的轨迹方程是________．
四、解答题
14 求满足下列条件的圆的标准方程：
(1) 圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2) 圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；
(3) 过两点C(－1，2)和D(1，2)，且圆心在x轴上．
15 已知点A(－1，3)，B(5，－5)，C(－2，2).
(1) 求线段AC的垂直平分线的方程；
(2) 已知圆M过点A，B，C，求圆M的方程．
16 已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1) 求圆C的方程；
(2) 若线段PQ的端点P的坐标是(5，0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
2．4.1　圆的标准方程
1. A　因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，所以圆C的圆心为(1，1)，半径为r＝，设点(1，1)关于直线l：y＝x－1对称的点为(x0，y0)，所以解得所以所求圆的圆心为(2，0)，半径为r＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝2.
2. C　由题意，得圆E：(x－2)2＋(y－3)2＝25的圆心E(2，3)，所以OE＝＝.
3. B　由题意，得·＝(0，－4)·(2，0)＝0，则△ABC是直角三角形，且BA⊥BC，所以圆的半径为AC＝＝，圆心为(－3，0)，所以△ABC外接圆的方程为(x＋3)2＋y2＝5.
4. A　由解得x＝a，y＝3a，即P(a，3a).因为点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，所以(a－1)2＋(3a－1)2<4，解得－5. A　如图，点A关于x轴的对称点为M(0，－t)，由对称性，得点M，B，圆心C(4，3)三点共线，则kBM＝kBC，即＝，解得t＝1.
6. B　因为点C的坐标为(1，1)，动点P满足PC＝2，故点P的轨迹为以点C为圆心，r＝2为半径的圆，且圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8，所以圆心C(1，1)与原点O的距离为CO＝＝，则OP的最大值为CO＋r＝＋2＝3.
7. B　因为Q为AB的中点，所以OQ⊥AB，设Q(x，y)，因为MQ⊥OQ，所以点Q的轨迹是以O′(0，1)为圆心，1为半径的圆， 故NQ的最小值为O′N－1＝－1＝－1＝.
8. B　当x>0，y>0时，曲线为＋＝；当x>0>y时，曲线为＋＝；当x<0，y<0时，曲线为＋＝；当x<09. BC　设圆心C(a，b)，由题意可知CA＝CB，即＝，解得a＝1.因为△ABC为直角三角形，则∠ACB为直角，所以AC2＋BC2＝AB2，即a2＋b2＋(a－2)2＋b2＝4，解得b＝±1，则圆C的半径为CA＝＝，圆心为C(1，±1)，所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2或(x－1)2＋(y－1)2＝2.故选BC.
10. BC　设圆心为(a，b)，由题意，得|a|＝|b|，且(a－3)2＋b2＝a2＋(b－1)2，解得a＝b＝2或a＝1，b＝－1，则r2＝(a－3)2＋b2＝5，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5或(x－1)2＋(y＋1)2＝5.故选BC.
11. (x＋1)2＋(y＋2)2＝10　因为圆经过点A(2，－3)和B(－2，－5)，则kAB＝，AB的中点为(0，－4)，所以线段AB的垂直平分线的方程是y＝－2x－4.联立解得所以圆心的坐标为C(－1，－2)，半径r＝CA＝＝，所以此圆的标准方程是(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
12. 49　由题意，设p(x，y)，A(4，－3).易知p(x，y)为圆x2＋y2＝4上的点，且圆x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径r＝2，则(x－4)2＋(y＋3)2表示圆上的点p(x，y)与点A(4，－3)距离的平方．又PAmax＝AO＋r＝＋2＝7，所以PA＝72＝49.故(x－4)2＋(y＋3)2的最大值是49.
13. (x＋1)2＋(y＋1)2＝5　将动直线(a＋2b)x－(a＋b)y－3a－4b＝0整理为a(x－y－3)＋b(2x－y－4)＝0，联立解得所以动直线过定点M(1，－2).又·＝0，所以点Q在以PM为直径的圆上运动．设Q(x，y)，则＝(－3－x，－y)，＝(1－x，－2－y)，所以·＝(－3－x)(1－x)＋y(2＋y)＝x2＋y2＋2x＋2y－3＝0，即(x＋1)2＋(y＋1)2＝5.
14. (1) 由题意可知r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2) 设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
解得b＝0或b＝－8，
所以圆心为(0，0)或(0，－8).
又r＝5，所以圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
(3)设圆心为M(a，0)，
易得MC＝MD，
所以(a＋1)2＋(0－2)2＝(a－1)2＋(0－2)2，
解得a＝2，所以r＝MC＝，
所以圆的标准方程为(x－2)2＋y2＝13.
15. (1) 由题意，设线段AC的中点为D.
因为A(－1，3)，C(－2，2)，
所以D，kAC＝1，
则线段AC的垂直平分线的斜率为－1，
所以其直线方程为y－＝－，即x＋y－1＝0.
(2) 由(1)，得线段AC的垂直平分线的方程为x＋y－1＝0，同理可得线段AB的垂直平分线的方程为y＋1＝(x－2)，即3x－4y－10＝0，
联立
解得x＝2，y＝－1，
所以圆心为M(2，－1)，圆M的半径为r＝MA＝＝5，
所以圆M的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝25.
16. (1) 设D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，
则D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
联立解得
所以圆心C(－3，－2)，半径r＝CA＝＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2) 设点M(x，y)，Q(x0，y0).
因为点P的坐标为(5，0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
所以线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.