2.5.1　直线与圆的位置关系 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.5.1　直线与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l恒过定点(2，1)
B. 直线l与圆C相切
C. 直线l与圆C相交
D. 直线l与圆C相离
2 已知圆C：(x－1)2＋y2＝1和直线l：y＝kx－，则“k>”是“直线l与圆C有公共点”的(　　)
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3 以点C(－1，－5)为圆心，并与x轴相切的圆的方程是(　　)
A. (x＋1)2＋(y＋5)2＝9
B. (x＋1)2＋(y＋5)2＝16
C. (x－1)2＋(y－5)2＝9
D. (x＋1)2＋(y＋5)2＝25
4 已知直线x－2y＋1＝0与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝a2相切，则正实数a的值为(　　)
A. B. C. D.
5 已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝kx＋2，当k变化时，若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则实数k的最大值为(　　)
A. 0 B. C. 1 D.
6 若圆C1：(x＋1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)上恰有2个点到直线l：4x－3y－10＝0的距离为1，则实数r的取值范围为(　　)
A. (3，＋∞) B. (5，＋∞)
C. (3，5) D. [3，5]
7 已知圆C：(x＋1)2＋y2＝2，点P在直线l：x－y－3＝0上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法中正确的是(　　)
A. PA的最小值为2
B. 当PA最小时，弦AB所在直线的斜率为－1
C. 当PA最小时，弦AB的长为
D. 四边形PACB面积的最小值为
8 若直线x－y＋m＝0(m>0)与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，则当△AOB的面积最大时，m的值为(　　)
A. B. 2 C. 4 D.
二、 多项选择题
9 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则下列说法中正确的有(　　)
A. 直线l恒过定点(3，0)
B. y轴被圆C截得的弦长为4
C. 直线l与圆C恒相交
D. 当直线l被圆C截得的弦长最长时，直线l的方程为x＋2y－5＝0
10 已知圆C：x2＋y2－6x－4y＋5＝0上一点P(x，y)，则下列说法中正确的是(　　)
A. y－x的最大值为3
B. x＋y的最大值为7
C. 的最大值为6＋2
D. x2＋y2的最大值为21＋4
三、填空题
11 过点A(－1，)与圆O：x2＋y2＝4相切的直线方程为________.
12 已知a，b，c为锐角三角形的三条边，则直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是________.
13 若直线l：kx－y＋2k＝0与曲线C：＝y－1有两个不同的交点，则实数k的取值范围是________．
四、解答题
14 已知圆C：x2＋(y－2)2＝4，直线l：x＋y－1＝0.
(1) 求过圆心且与直线l垂直的直线的一般式方程；
(2) 若直线l与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
15 已知直线l：3x－4y＋5＝0与圆C：x2＋y2－6x－2y＋a＋5＝0有且只有一个公共点．
(1) 求实数a的值以及圆C的标准方程；
(2) 已知圆C上恰有两个点到直线m：kx－y＋2＝0的距离为1，求实数k的取值范围．
16 已知圆C：x2＋y2＝4，直线l过点A(－2，1).
(1) 当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
(2) 设线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．
2．5.1　直线与圆的位置关系
1. C　由题意，得圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1), 显然＝<4＝r，则点(3，1)在圆C内，所以直线l与圆C相交．
2. B　由题意，得圆C：(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1，0)，半径r＝1，当圆心到直线l的距离d＝≤r＝1时，直线l与圆C有公共点，解得k≥，所以“k>”是“直线l与圆C有公共点”的充分不必要条件．
3. D　由题意，得所求圆的半径为5，则圆的方程为(x＋1)2＋(y＋5)2＝25.
4. A　因为a>0，所以圆(x－2)2＋(y＋1)2＝a2的圆心为(2，－1)，半径为a.由题意，得a＝＝.
5. D　由圆C：x2＋y2＝1可知圆心C(0，0)，半径r＝1.若过直线l上任意一点总能作圆C的切线，则直线和圆相离或相切，所以圆心到直线的距离d＝≥r＝1，解得－≤k≤，故实数k的最大值为.
6. C　设与直线l平行且与直线l之间的距离为1的直线方程为4x－3y＋c＝0，则＝1，解得c＝－5或c＝－15.又圆心C1(－1，2)到直线4x－3y－5＝0的距离为d1＝＝3，圆心C1(－1，2)到直线4x－3y－15＝0的距离为d2＝＝5，由图可知，圆C1与直线4x－3y－5＝0相交，与直线4x－3y－15＝0相离，所以d17. C　由题意，得圆心为C (－1，0)，半径r＝.设点P(x，y)，则y＝x－3.易得PA＝，所以当PC最小时，PA最小．又当PC⊥l时，PC最小，此时PCmin＝＝2，所以 PAmin＝＝，故A错误；四边形PACB面积的最小值为×PAmin×AC×2＝×＝2，故D错误；当PA最小时，S△PAC＝|PA|·r＝|PC|·|AB|，即××＝×2×AB，解得AB＝，故C正确；当PA最小时，PC⊥l，直线l：x－y－3＝0的斜率为1.因为此时PA＝PB，CA＝CB，所以AB⊥PC，所以弦AB所在直线的斜率为1，故B错误．
8. B　由题意，得圆心(0，0)到直线x－y＋m＝0(m>0)的距离为d＝，则弦长AB为2＝2，所以S△AOB＝·AB·d＝×2×＝≤＝2，当且仅当4－＝，即m＝2时，△AOB的面积取得最大值2.
9. CD　对于A，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，即m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，由解得x＝3，y＝1，所以直线l恒过定点P(3，1)，故A错误；对于B, 圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，当x＝0时，y＝2±2，所以y轴被圆C截得的弦长为4，故B错误；对于C，由A可得直线l恒过定点P(3，1).因为(3－1)2＋(1－2)2<25，所以点P在圆C内，所以直线l与圆C恒相交，故C正确；对于D，当直线l被圆C截得的弦长最长时，直线l过圆心(1，2)，则(2m＋1)＋2(m＋1)－7m－4＝0，解得m＝－，所以直线l的方程为x＋y－＝0，即x＋2y－5＝0，故D正确．故选CD.
10. ACD　圆C：x2＋y2－6x－4y＋5＝0可变形为(x－3)2＋(y－2)2＝8，设x＝2cos θ＋3，y＝2sin θ＋2，θ∈[0，2π).对于A，y－x＝2sin θ－2cos θ－1＝4sin －1，所以当θ＝时，y－x的最大值为3，故A正确；对于B，x＋y＝2cos θ＋2sin θ＋5＝4sin ＋5，所以当θ＝时，x＋y的最大值为9，故B错误；对于C，设＝k，则y＝kx，圆心C(3，2)，半径为2，则≤2，解得6－2≤k≤6＋2，所以的最大值为6＋2，故C正确；对于D，x2＋y2可以看作是圆上某点P到原点的距离的平方，所以OP2≤(OC＋r)2＝(＋2)2＝21＋4，故D正确．故选ACD.
11. x－y＋4＝0　易知点A在圆O上，故所求切线与直线OA垂直．又kOA＝－，所以所求切线的斜率k＝，所以所求切线的方程为y－＝(x＋1)，即x－y＋4＝0.
12. 相交　由题意可知a2＋b2－c2>0，则c<.因为圆x2＋y2＝1的圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝<1，所以直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相交．
13. 　直线l：kx－y＋2k＝0可化为y＝k(x＋2)，所以直线l过定点A(－2，0).曲线C：＝y－1可变形为x2＋(y－1)2＝1(y≥1)，B(－1，1).如图，设直线l与曲线C相切时的斜率为k2，直线l过点B(－1，1)且与曲线C有两个交点时的斜率为k1，当直线kx－y＋2k＝0与曲线C有两个不同的交点时，斜率k满足k1≤k14. (1) 由题意可知圆C：x2＋(y－2)2＝4的圆心为C(0，2)，半径r＝2.
设与直线l垂直的直线的一般式方程为x－y＋c＝0，
代入点C(0，2)可得0－2＋c＝0，解得c＝2，
所以所求直线的方程为x－y＋2＝0.
(2) 由题意，得圆心C(0，2)到直线l的距离d＝＝，
所以AB＝2＝2×＝，
所以△ABC的面积S△ABC＝d·AB＝××＝.
15. (1) 将圆C：x2＋y2－6x－2y＋a＋5＝0化为标准方程，得(x－3)2＋(y－1)2＝5－a，
故圆心C(3，1)，半径为.
易得直线l：3x－4y＋5＝0与圆C相切，
所以＝，
解得a＝1，
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4.
(2) 设圆心C到直线m的距离为d.
由(1)可知C(3，1)，圆C的半径为2.
因为圆C上恰有两个点到直线m：kx－y＋2＝0的距离为1，
所以1解得0所以实数k的取值范围为∪.
16. (1) 由题意，得圆C的圆心是O(0，0)，半径是2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋1＝0，
则圆心O到直线l的距离为＝2，解得k＝，所以直线l的方程为3x－4y＋10＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋10＝0.
(2) 设点M(x，y)，B(x0，y0)，
由M是线段AB的中点，得
所以①
因为点B在圆C上运动，
所以x＋y＝4，②
将①代入②，得(2x＋2)2＋(2y－1)2＝4，
所以点M的轨迹方程是(x＋1)2＋＝1.