2.5.1　直线与圆的位置关系 同步作业 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5.1　直线与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 若过点P(2，1)作圆C：x2＋y2－2y－3＝0的切线，则切线方程为(　　)
A. x－y－1＝0 B. x－2y＝0
C. x＋2y－4＝0 D. x－2＝0
2 若P(1，2)为圆O：x2＋y2＝9的弦AB的中点，则直线AB的方程是(　　)
A. x－2y＋5＝0 B. 2x－y＋4＝0
C. x＋2y－5＝0 D. 2x＋y－4＝0
3若直线y＝x＋b与曲线x＝恰有1个公共点，则实数b的取值范围是(　　)
A. (－1，1] B. [－，1]
C. (－，－1] D. (－1，1]∪{－}
4若长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最小值为(　　)
A. 1 B. C. 2 D. 3
5 已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋7＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6 已知圆C：x2＋y2＋2x－1＝0，直线mx＋n(y－1)＝0与圆C交于A，B两点．若△ABC为直角三角形，则下列结论中正确的是(　　)
A. mn＝0 B. m－n＝0
C. m＋n＝0 D. m2－3n2＝0
7 已知点A(－1，0)，B(0，3)，P是圆(x－3)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值为(　　)
A. 6 B.
C. D. 6－
8 若过点M(0，－4)作圆C：x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A. 2x－y＋3＝0 B. x－7y＋18＝0
C. 2x－5y＋5＝0 D. x＋5y＋5＝0
二、 多项选择题
9 已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0，直线l：ax－2y－2a＋3＝0(其中a为参数)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 圆C的半径r＝4
B. 直线l与圆C相交
C. 直线l不可能将圆C的周长平分
D. 直线l被圆C截得的最短弦长为
10 已知直线l：kx－y＋(1－k)＝0，圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C不一定存在公共点
B. 圆心C到直线l的最大距离为
C. 当直线l与圆C相交时，－D. 当k＝－1时，圆C上有三个点到直线l的距离为
三、填空题
11 已知集合A＝{(x，y)|x－y＝1}，B＝{(x，y)|(x－2)2＋(y＋3)2＝9}，则A∩B的子集个数为________.
12 若动直线l1：mx－y－m＋3＝0，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝3，则直线l1与圆C相交的最短弦长为________.
13 已知圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过定点A，B，则直线AB的方程为________．
四、解答题
14 已知P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．
(1) 求点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值；
(2) 求x－2y的最大值和最小值；
(3) 求的最大值和最小值．
15 已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0.
(1) 过点P(3，5)作圆C的切线l，求直线l的方程；
(2) 若直线AB的方程为3x＋y－8＝0，且与圆C相交于A，B两点，求AB的长；
(3) 在(2)的前提下，若Q是圆(x＋4)2＋(y－3)2＝10上的点，求△QAB面积的最大值．
16 已知半径为4的圆C与直线l1：3x－4y＋8＝0相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1) 求圆C的方程；
(2) 已知直线l2：kx－y＋3＝0与圆C相交于A，B两点，且△ABC的面积为8，求直线l2的方程．
2．5.1　直线与圆的位置关系
1. D　由题意，得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝4，圆心为C(0，1).因为22＋(1－1)2＝4，所以点P在圆C上，则kPC＝＝0，所以所求切线与x轴垂直，故所求切线的方程为x＝2.
2. C　由题意，得直线AB的斜率存在，且OP⊥AB，所以kAB·kOP＝－1.因为kOP＝＝2，所以kAB＝－，所以直线AB的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
3. D　曲线x＝，整理，得x2＋y2＝1，x≥0，画出直线y＝x＋b与曲线x＝的图象，当直线y＝x＋b与曲线x＝相切时，圆心(0，0)到直线y＝x＋b的距离为＝1，可得b＝－(正根舍去)；当直线y＝x＋b过点(1，0)，(0，－1)时，b＝－1，如图，若直线与曲线恰有1个公共点，则－14. A　设A(x，0)，B(0，y)，由题意，得x2＋y2＝4.设AB的中点坐标为(m，n)，则所以m2＋n2＝1，即线段AB的中点的轨迹是以(0，0)为圆心，1为半径的圆．又圆心(0，0)到3x＋4y＋10＝0的距离为＝2，所以线段AB的中点到直线3x＋4y＋10＝0的距离的最小值为2－1＝1.
5. D　由题意，得(x－1)2＋(y－1)2＝9的圆心为(1，1)，半径r＝3.因为圆心(1，1)到直线的距离为＝<，所以到直线3x－4y＋7＝0的距离为1的点P共有4个．
6. A　由题意，得圆心为C(－1，0)，半径为r＝，则CA＝CB＝.因为△ABC为直角三角形，所以AB＝＝2.设圆心C(－1，0)到直线mx＋n(y－1)＝0的距离为d，则d＝＝.由弦长公式AB＝2，得d＝1，所以＝1，化简，得mn＝0.
7. D　由题意，得AB＝＝，直线AB的方程为y＝3x＋3，圆(x－3)2＋y2＝1的圆心C(3，0)，半径r＝1.因为点C到直线AB的距离d＝＝，所以点P到直线AB的距离的最小值为d－r＝－1，所以△PAB面积的最小值是××＝6－.
8. B　由题意可知圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0的圆心为C(－1，3)，半径r＝2，过点M(0，－4)作圆的两条切线MA，MB，又MC＝＝5，则MA＝＝，则以点M为圆心，MA为半径的圆为x2＋(y＋4)2＝46，即圆x2＋y2＋8y－30＝0，所以AB为两圆的公共弦所在的直线，则有作差变形可得x－7y＋18＝0，所以直线AB的方程为x－7y＋18＝0.
9. BD　对于A，由x2＋y2－2x－4y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝4，所以圆C的圆心为C(1，2)，半径r＝2，故A错误；对于B，由ax－2y－2a＋3＝0，得a(x－2)－2y＋3＝0.由得x＝2，y＝，所以直线l过点H.又HC＝＝<2，所以点H(2，)在圆内，所以直线l与圆C相交，故B正确；对于C，当直线l：ax－2y－2a＋3＝0过点C(1，2)，即a＝－1时，直线l平分圆C的周长，故C错误；对于D，当CH⊥l时，圆心到直线l的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最短，此时弦长为2×＝，故D正确．故选BD.
10. ABD　由题意，得圆心C(－1，2)，半径r＝1.对于A，圆心C到直线l的距离为d＝＝，当d>r＝1，即>1时，解得k>0或k<－，此时直线l与圆C相离，没有公共点，故A正确；对于B，因为直线l：kx－y＋(1－k)＝0，即k(x－1)＝y－1，所以直线l过定点P(1，1)，当时CP⊥l，圆心C到直线l的距离最大，最大值为CP＝＝，故B正确；对于C，当直线l与圆C相交时，<1，解得－11. 4　由题意可知集合A表示直线x－y＝1上点的集合，集合B表示圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9上点的集合．圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标为(2，－3)，半径为3.因为点(2，－3)到直线x－y＝1的距离为＝2<3，所以直线x－y＝1与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交，所以A∩B共有2个元素，所以A∩B的子集个数为22＝4.
12. 2　由题意，得直线l1：mx－y－m＋3＝0，即(x－1)m＋(3－y)＝0，所以动直线l1恒过点A(1，3).又圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝3的圆心为C(2，4)，半径r＝，所以AC＝＝13. x－2y＝0　方程x2＋y2＋ax－2ay－5＝0可化为a(x－2y)＋x2＋y2－5＝0，令解得或所以直线AB的斜率为＝，所以直线AB的方程为y－1＝(x－2)，即x－2y＝0.
14. (1) 由题意，得圆心C(－2，0)到直线3x＋4y＋12＝0的距离为d＝＝，
所以点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为d＋r＝＋1＝，最小值为d－r＝－1＝.
(2) 设t＝x－2y，则直线x－2y－t＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有公共点，
所以≤1，解得－－2≤t≤－2，
则tmax＝－2，tmin＝－2－，
所以x－2y的最大值为－2，最小值为－2－.
(3) 易知表示圆上的点P(x，y)与点A(1，2)连线的斜率．
设＝k，即kx－y－k＋2＝0，
又直线kx－y－k＋2＝0与圆(x＋2)2＋y2＝1有交点，
则≤1，
解得≤k≤，
则kmax＝，kmin＝，
所以的最大值为，最小值为.
15. (1) 圆C的方程可化为(x－2)2＋(y－3)2＝1，
则圆心C(2，3)，半径为1.
由(3－2)2＋(5－3)2>1，得点P在圆C外，
当过点P的直线斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)＋5，
即kx－y＋5－3k＝0，
则圆心C到直线l的距离为＝1，
解得k＝，
此时直线l的方程为x－y＋＝0，即3x－4y＋11＝0；
当过点P的直线斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时直线l与圆C相切．
综上，直线l的方程为3x－4y＋11＝0或x＝3.
(2) 由题意，得圆心C到直线AB的距离为d＝＝<1，
所以直线AB与圆C相交，
所以AB＝2＝.
(3) 易得圆(x＋4)2＋(y－3)2＝10的圆心为(－4，3)，半径为，
点(－4，3)到直线AB：3x＋y－8＝0的距离为＝，
所以点Q到直线AB的距离的最大值为＋＝，
所以△QAB面积的最大值为××＝.
16. (1) 由题意可设圆心C(0，b)(b<0)，
则＝4，
解得b＝－3或b＝7(舍去)，
所以圆C的方程为x2＋(y＋3)2＝16.
(2) 设圆心C到直线l2的距离为d，则AB＝2，
所以S△ABC＝AB·d＝d＝8，即d4－16d2＋64＝0，
解得d＝2.
又d＝＝2，解得k＝±，
所以直线l2的方程为x－2y＋6＝0或x＋2y－6＝0.