2.5.2　圆与圆的位置关系 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5.2　圆与圆的位置关系
一、 单项选择题
1 若圆x2－2ax＋y2＝0与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0只有一个交点，则实数a的值可以是(　　)
A. －1 B. －2
C. 1 D. 2
2 若过点P(2，2)向圆C：x2＋y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　)
A. x＋y＝ B. x＋y＝
C. x＋y＝ D. x＋y＝
3 已知圆C1：x2＋y2－2x－2y＋2－a＝0及圆C2：x2＋y2－6x－6y＋8a＝0，若存在点P，使得圆C1，C2关于点P对称，则圆C1，C2的位置关系是(　　)
A. 相离 B. 相交
C. 外切 D. 内切
4 圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有(　　)
A. 1条 B. 2条
C. 3条 D. 4条
5 已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－4x＋3＝0相交于A，B两点，则△OAB的面积为(　　)
A. B.
C. D.
6 已知圆M：(x－)2＋(y－)2＝9，点A(－2，0)，B(2，0)，若在圆M上存在点P，使得∠APB＝，则实数a的取值范围为(　　)
A. [1，25] B. [1，5]
C. D.
7 已知O为坐标原点，A(1，0)，B(0，7).若动点P满足PA＝PO，PB＝a，则正数a的最大值为(　　)
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
8 在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组的点(x，y)表示的区域面积为(　　)
A. －1 B. π
C. π－1 D. π－2
二、 多项选择题
9 已知圆C1：(x－3)2＋y2＝1，圆C2：x2＋(y－a)2＝16，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若圆C1和圆C2外离，则a>4
B. 若圆C1和圆C2外切，则a＝±4
C. 当a＝0时，圆C1和圆C2有且仅有一条公切线
D. 当a＝－2时，圆C1和圆C2相交
10 已知点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则下列结论中正确的是(　　)
A. PQ的最小值为2
B. PQ的最大值为7
C. 两个圆心所在直线的斜率为－
D. 两个圆相交弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0
三、填空题
11 已知圆C1：(x－a)2＋y2＝36与圆C2：x2＋(y－b)2＝4只有一条公切线，则a2＋b2＝________.
12已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0外切，则此时直线l：x＋y＋1＝0被圆C2所截的弦长为________.
13 已知圆C：x2＋(y－2)2＝1和圆D：x2＋y2－6x－10y＋30＝0，M，N分别是圆C，D上的动点，P为x轴上的动点，则PM＋PN的最小值是________.
四、解答题
14 已知圆C的圆心在直线x＋3y－2＝0上，且经过点E(4，2)和F(2，0).
(1) 求圆C的标准方程；
(2) 过点A(1，1)作圆C的两条切线，切点分别为P，Q，求PQ的长．
15 已知关于x，y的方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1) 若该方程表示圆C，求m的取值范围；
(2) 若圆C与圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0外切，求实数m的值；
(3) 若(2)中的圆C与经过点P的直线l相交于M，N两点，且MN＝，求直线l的方程．
16 滴水湖又名芦潮湖，呈圆形，是上海浦东新区南汇新城的中心湖泊，半径约为 km. 一“直角型”公路A－B－C(即AB⊥BC)关于OB对称且与滴水湖圆O相切，建立如图所示的平面直角坐标系．
(1) 求直线BC的方程；
(2) 现欲在湖边和“直角型”公路A－B－C围成的封闭区域内修建圆形旅游集散中心，如何设计才能使得旅游集散中心的面积最大？求出此时圆心O1到湖中心O的距离．
2．5.2　圆与圆的位置关系
1. D　易知圆x2－2ax＋y2＝0的圆心为(a，0)，半径r1＝|a|，圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心为(2，1)，半径r2＝3.因为圆x2－2ax＋y2＝0与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0只有一个交点，所以两圆内切或外切，易得圆心距d＝，半径差与和分别为||a|－3|或|a|＋3，当两圆内切时，＝||a|－3|，解得a＝2或a＝－；当两圆外切时，＝|a|＋3，无解，结合选项可知D正确．
2. A　过点P(2，2)向圆C：x2＋y2＝1作两条切线，切点分别为A，B，则CA⊥PA，CB⊥PB，所以点A，B在以PC为直径的圆上．又C(0，0)，则PC的中点为Q(1，1)，CQ＝，故以PC为直径的圆Q的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆Q的方程与圆C的方程相减，得公共弦AB所在直线的方程为2x＋2y－1＝0，所以直线AB的方程为x＋y＝.
3. C　由题意，得圆C1的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝a，圆心C1(1，1)，圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18－8a，圆心C2(3，3)，要存在点P，使得圆C1，C2关于点P对称，则圆C1，C2的半径相等，所以a＝18－8a，解得a＝2，此时圆C1，C2的半径都是.又C1C2＝＝2，所以圆C1，C2外切．
4. B　由题意，得圆C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，则圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2，圆C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，则圆心C2(2，1)，半径r2＝2，所以两圆的圆心距为C1C2＝＝.又r1－r25. A　联立两式相减可得直线AB：4x－7＝0，则点O(0，0)到直线4x－7＝0的距离为d＝，所以AB＝2＝2×＝，所以S△OAB＝AB·d＝××＝.
6. C　如图，构造圆O：x2＋y2＝4，当圆O与圆M有公共点P时，∠APB＝，即圆O与圆M相切或相交，所以解得≤a≤.
7. D　设P(x，y)，则PA＝，PO＝.因为PA＝PO，所以(x－1)2＋y2＝2(x2＋y2)，化简，得(x＋1)2＋y2＝2，故点P在以点(－1，0)为圆心，为半径的圆上．又因为PB＝a，所以点P在以点(0，7)为圆心，a为半径的圆上．结合题意可知两圆相交或外切或内切，所以|a－|≤≤a＋，解得4≤a≤6，故正数a的最大值为6.
8. D　由题意，得即所以不等式组表示的区域是圆C1：(x－1)2＋y2＝2与圆C2：(x＋1)2＋y2＝2公共的内部区域，画出图象如下图所示，C1(1，0)，C2(－1，0)，两圆的半径都是，设两个圆相交于A，B两点，则A(0，1)，B(0，－1).因为AC＋AC＝C1C，所以AC2⊥AC1，所以AC2是圆C1的切线，AC1是圆C2的切线，同理可得BC2是圆C1的切线，BC1是圆C2的切线．又BC2⊥BC1，AC1＝AC2＝BC1＝BC2＝，所以四边形AC1BC2是正方形，所以区域面积为[×π×()2－××]×2＝π－2.
9. BCD　由题意，得C1(3，0)，C2(0，a)，r1＝1，r2＝4，则C1C2＝.若圆C1和圆C2外离，则C1C2＝>r1＋r2＝5，解得a>4或a<－4，故A错误；若圆C1和圆C2外切，C1C2＝＝5，解得a＝±4，故B正确；当a＝0时，C1C2＝3＝r2－r1，则圆C1和圆C2内切，故C正确；当a＝－2时，310. BC　对于A，B，由题意，得C1(0，0)，半径为1，圆C2：(x－3)2＋(y＋4)2＝1，C2(3，－4)，半径为1，圆心距为C1C2＝＝5.因为C1C2>2，所以圆C1和圆C2外离．又点P在圆C1上，点Q在圆C2上，所以PQmin＝C1C2－2＝3，PQmax＝C1C2＋2＝7，故A错误，B正确；对于C，两个圆心所在直线的斜率为kC1C2＝＝－，故C正确；对于D，易得圆C1和圆C2外离，所以两圆无公共弦，故D错误．故选BC.
11. 16　由题意，得圆C1：(x－a)2＋y2＝36的圆心为C1(a，0)，半径r1＝6，圆C2：x2＋(y－b)2＝4的圆心为(0，b)，半径r2＝2.因为圆C1与圆C2只有一条公切线，所以两圆相内切，所以C1C2＝r1－r2，即＝4，所以a2＋b2＝16.
12. 2　由圆C1：x2＋y2＝4，得C1(0，0)，r1＝2，将圆C2：x2＋y2－8x＋6y＋m＝0化为标准方程，得圆C2：(x－4)2＋(y＋3)2＝25－m(m<25)，C2(4，－3)，r2＝.因为两圆外切，所以C1C2＝r1＋r2，即＝2＋，解得m＝16，则r2＝3.又C2(4，－3)到直线l：x＋y＋1＝0的距离d＝＝，所以直线l：x＋y＋1＝0被圆C2所截的弦长AB＝2＝2×＝2.
13. －3　由题意，得圆C：x2＋(y－2)2＝1的圆心为C(0，2)，半径为1，圆D：x2＋y2－6x－10y＋30＝0，即(x－3)2＋(y－5)2＝4，圆心为D(3，5)，半径为2，结合两圆位置，得PM＋PN≥PC－CM＋PD－DN＝PC＋PD－3，当且仅当P，M，C三点共线，且P，N，D三点共线时，等号成立，设点C关于x轴的对称点C′(0，－2)，连接C′D，与x轴交于点P，此点即为所求，此时C′D＝＝，故即为PC＋PD的最小值，所以PM＋PN的最小值为－3.
14. (1) 由题意，得EF的中点为D(3，1)，kEF＝＝1，
所以线段EF的垂直平分线的方程为y－1＝－1×(x－3)，即x＋y－4＝0.
联立解得
所以圆心C(5，－1)，
所以圆的半径为EC＝＝，
所以圆C的标准方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝10.
(2) 由题意可知，A，P，C，Q四点在以AC为直径的圆上，
易得以AC为直径的圆的圆心为M(3，0)，半径为＝×＝，
所以以AC为直径的圆的方程为(x－3)2＋y2＝5.
因为PQ是以AC为直径的圆和圆C的公共弦，
两圆方程相减，得(x－5)2＋(y＋1)2－(x－3)2－y2＝10－5，即2x－y－6＝0，
所以PQ所在直线的方程为2x－y－6＝0.
又点C(5，－1)到PQ所在直线的距离为＝，
所以PQ＝2×＝2.
15. (1) 将方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0变形，
得(x－1)2＋(y－2)2＝5－m.
因为方程表示圆，所以5－m>0，解得m<5，
所以实数m的取值范围为(－∞，5).
(2) 由圆x2＋y2－8x－12y＋36＝0，
得(x－4)2＋(y－6)2＝16，此圆圆心D(4，6)，半径r1＝4.
又圆C的圆心C(1，2)，半径r＝(m<5)，
由圆C与圆D相外切，得CD＝r1＋r，
即＝4＋，
解得m＝4.
(3) 由(2)知，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝1的圆心C(1，2)，半径r＝1.
由圆C的弦长MN＝，得圆心C(1，2)到直线l的距离d＝＝.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝，此时圆心(1，2)到直线x＝的距离为1－＝，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－＝k，即kx－y－k＋＝0.
由＝，
解得k＝，所以直线l的方程为12x－16y＋15＝0.
综上，直线l的方程为x＝或12x－16y＋15＝0.
16. (1) 由题意，得直线BC的倾斜角为135°，
设直线BC的方程y＝－x＋b，b>0，
又直线BC与圆O相切，则＝，解得b＝2，
所以直线BC的方程y＝－x＋2.
(2) 若要使旅游集散中心面积最大，则应设计为圆O1与湖相切，且与直角公路相切，
设此时OO1＝a，由∠CBO＝45°，得a－＝(2－a)，解得a＝4－4，
此时圆心O1到湖中心O的距离为(4－4)km.