2.5.3　圆的综合应用 同步练习（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2．5.3　圆的综合应用
一、 单项选择题
1 已知直线l：ax＋by－r2＝0，圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)在圆内，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线l与圆C相交
B. 直线l与圆C相切
C. 直线l与圆C相离
D. 不确定
2 已知圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0(m∈R)关于直线x＋2y＋1＝0对称，圆C2的标准方程是(x＋2)2＋(y－3)2＝16，则圆C1与圆C2的位置关系是(　　)
A. 外离 B. 外切
C. 相交 D. 内含
3 已知直线2x－my＋6＝0平分圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长，则实数m的值为(　　)
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
4 直线x＋y－2＝0截圆x2＋y2＝4得到的劣弧所对的圆心角的大小为(　　)
A. B.
C. D.
5 若过三点A(1，3)，B(5，3)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则MN等于(　　)
A. 2 B. 4
C. 2 D. 4
6 已知点A，B(2，0)，点P满足BP＝2AP，记点P的轨迹为曲线C，则下列结论中正确的是(　　)
A. 曲线C是半径为的圆
B. 曲线C与圆x2＋y2－2x－3＝0有一个交点
C. 曲线C与直线x＋y－＝0有两个交点
D. 曲线C与圆x2＋y2＝3围成图形的面积为π
7 已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋4＝0关于直线l：ax＋by－1＝0(ab>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A. 2 B. 3 C. 6 D. 4
8 已知A，B是圆x2＋y2＝4上的两个动点，点P(1，1)，且PA⊥PB，则AB的最大值为(　　)
A. B. ＋
C. 2 D. 4＋
二、 多项选择题
9 若一个以点(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论中正确的是(　　)
A. 直线x＝0与圆相切
B. 圆关于直线y＝－2x对称
C. a∈R，直线ax－y－2a－1＝0与圆都相交
D. 若P(x，y)为圆上任意一点，则的最大值为9
10 已知M(x，y)为圆C：(x＋1)2＋y2＝4上的动点，O(0，0)，A(3，0)，则下列说法中正确的是(　　)
A. △OAM面积的最大值为3
B. 直线y＝k(x－1)，k∈R与圆C相交或相切
C. ＝
D. 当∠MAO最大时，MA＝2
三、填空题
11 设O为坐标原点，点C为圆(x－2)2＋y2＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足·＝0，则＝________.
12 已知点A(4，0)，B(2，2)，若直线l过O(0，0)且平分△OAB的面积，则l被△OAB外接圆截得的弦长为________.
13 平面几何中有一个著名的塞尔瓦定理：三角形任意一个顶点到其垂心(三角形三条高的交点)的距离等于外心(外接圆圆心)到该顶点对边距离的2倍．若点A，B，C都在圆E上，直线BC的方程为x＋y－2＝0，且BC＝2，△ABC的垂心G(2，2)在△ABC内，点E在线段AG上，则圆E的标准方程为________.
四、解答题
14 已知圆O：x2＋y2＝4.
(1) 过圆外一点Q(2，1)引圆的切线，求切线方程；
(2) 设P是直线l1：x－y＋4＝0上的一点，过点P作圆的切线，切点是M，求△OPM面积的最小值以及此时点P的坐标．
15 已知圆C的圆心在x轴上，经过点(1，)和(2，2).
(1) 求圆C的方程；
(2) 已知过点P(3，1)的直线l与圆C交于A，B两点．
①若AB＝2，求直线l的方程；
②当弦AB最短时，求直线l的方程．
16 为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台O的正东方向设立了观测站A，在平台O的正北方向设立了观测站B，它们到平台O的距离分别为12 n mile和m(m>0)n mile，记海平面上到观测站A和平台O的距离之比为2的点P的轨迹为曲线C，规定曲线C及其内部区域为安全预警区.
(1) 如图，以O为坐标原点，，为x轴，y轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线C的方程；
(2) 若海平面上有渔船从A出发，沿AB方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求实数m的取值范围．
2．5.3　圆的综合应用
1. C　由题意知，点A(a，b)在圆C：x2＋y2＝r2内，则a2＋b2＝r，故直线l与圆C相离．
2. B　因为圆C1：x2＋y2－2x＋my＋1＝0，所以圆C1：(x－1)2＋＝，则圆C1的圆心为，半径r1＝，且m≠0.易知圆C2：(x＋2)2＋(y－3)2＝16的圆心为(－2，3)，半径r2＝4.因为圆C1关于直线x＋2y＋1＝0对称，所以直线x＋2y＋1＝0经过圆心C1，则1＋2×＋1＝0，解得m＝2.又C1C2＝＝5，r1＋r2＝1＋4＝5，所以C1C2＝r1＋r2，所以圆C1与圆C2外切．
3. B　由(x－1)2＋(y－2)2＝4，可得圆心为(1，2).因为直线2x－my＋6＝0平分圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4的周长，所以直线经过圆C的圆心，则2－2m＋6＝0，解得m＝4.
4. D　由圆的方程x2＋y2＝4，得圆心O的坐标为(0，0)，半径r＝2.过点O作OC⊥AB，垂足为C.因为圆心到直线x＋y－2＝0的距离＝，所以直线被圆截得的弦AB＝2×＝2，所以AB＝OA＝OB＝2，所以∠AOB＝.
5. D　由A(1，3)，B(5，3)，C(1，－7)可知，直线AB与x轴平行，直线AC与y轴平行，所以AB⊥AC，所以圆为直角三角形ABC的外接圆，所以圆心为BC的中点(3，－2)，所以半径r＝＝.由圆中弦长，弦心距，半径的关系，得MN＝2＝4.
6. B　对于A，设P(x，y)，由BP＝2AP，得＝2，整理，得x2＋y2＝1，所以曲线C的方程为x2＋y2＝1，圆心为(0，0)，半径为1，故A错误；对于B，圆x2＋y2－2x－3＝0可化为(x－1)2＋y2＝4，圆心为(1，0)，半径为2.因为两圆的圆心距等于半径之差的绝对值，所以圆C与圆x2＋y2－2x－3＝0内切，故B正确；对于C，易得圆C的圆心到直线x＋y－＝0的距离为d＝＝1，所以圆C与直线x＋y－＝0相切，故C错误；对于D，易知圆C与圆x2＋y2＝3围成的图形为同心圆围成的圆环，所以面积为π×()2－π×12＝2π，故D错误．
7. D　由题意，得圆C：x2＋y2－4x－6y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－3)2＝9.因为圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝9关于直线l：ax＋by－1＝0(ab>0)对称，所以直线l过圆心(2，3)，即2a＋3b＝1，则＋＝(2a＋3b)＝2＋＋.因为ab>0，且2a＋3b＝1，所以a>0，b>0，所以＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，所以＋的最小值是4.
8. B　设AB的中点为C，则AB＝2BC.因为OC2＋BC2＝OB2＝4，所以要使AB最大，只需OC最小．由PA⊥PB，得PC＝BC，所以OC2＋PC2＝4.设C(x，y)，则x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，整理，得＋＝，所以点C的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．又＋<，所以点O在此圆内，故OCmin＝－＝，所以BCmax＝＝，故ABmax＝＋.
9. BCD　由题意，得圆C：(x－2)2＋(y＋4)2＝16.对于A，因为圆心C(2，－4)到直线x＝0的距离为2，小于半径4，所以直线x＝0与圆相交，故A错误；对于B，因为圆心(2，－4)在直线y＝－2x上，所以圆关于直线y＝－2x对称，故B正确；对于C，易得直线ax－y－2a－1＝0，即a(x－2)－y－1＝0，则直线经过定点(2，－1).又该点在圆(x－2)2＋(y＋4)2＝16内，所以 a∈R，直线ax－y－2a－1＝0与圆都相交，故C正确；对于D，由题意，得可表示为圆上的点P(x，y)与点A(－1，0)的距离d，易知dmax＝CA＋r＝＋4＝9，故D正确．故选BCD.
10. ACD　如图，对于A，因为△MAO的底OA为定值，所以当点M到OA(即x轴)的距离最大时，三角形的面积最大．又点M到x轴的最大距离为半径2，所以△OAM面积的最大值是×3×2＝3，故A正确；对于B，因为直线y＝k(x－1)，k∈R恒过定点(1，0)，而点(1，0)在圆C：(x＋1)2＋y2＝4上，且直线不垂直于x轴，所以直线与圆相交，故B错误；对于C，＝＝＝＝，故C正确；对于D，当∠MAO最大时，直线AM与圆(x＋1)2＋y2＝4相切，则CM⊥AM.因为CM＝2，AC＝4，所以由勾股定理可得AM＝＝＝2，故D正确．故选ACD.
11. ±　由题意，得点C(2，0)，圆的半径r＝.因为·＝0，所以OM⊥CM，所以OM是圆的切线，设直线OM的方程为y＝kx，则＝，解得k＝±，所以＝±.
12. 　分别取OA，AB的中点N(2，0)，M(3，1)，则ON＝NA＝NB＝2，可知△OAB的外接圆圆心为N(2，0)，半径r＝2，由题意可知直线l过点O(0，0)，M(3，1)，则直线l：y＝x，即x－3y＝0，则圆心N(2，0)到直线l的距离d＝＝，所以所求弦长为2＝2×＝.
13. (x－3)2＋(y－3)2＝18　由题意，得△ABC的垂心G(2，2)到直线BC的距离d＝，设圆E的半径为r，由塞尔瓦定理，得r＋EG＝2(EG＋)，由圆的几何性质，得(EG＋)2＋()2＝r2，联立解得EG＝，r＝3.因为直线BC的方程为x＋y－2＝0，EG⊥BC，且G(2，2)，所以直线EG的方程为y＝x，设E(a，a)，则点E到直线BC的距离d′＝＝2，解得a＝－1(舍去)或a＝3，所以圆E的标准方程为(x－3)2＋(y－3)2＝18.
14. (1) 当切线斜率存在时，设切线的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y－2k＋1＝0.
因为圆心(0，0)到切线的距离是2，
所以＝2，解得k＝－，
所以切线方程为－x－y＋＋1＝0，
即3x＋4y－10＝0；
当切线斜率不存在时，易知x＝2与圆也相切．
综上，所求切线方程为3x＋4y－10＝0或x＝2.
(2) 由圆的几何性质可知，当OP⊥l1时，△OPM的面积取最小值．
因为直线l1：x－y＋4＝0，
所以直线OP的方程为y＝－x.
联立解得
所以点P的坐标为(－2，2).
此时△OPM的面积最小，最小值为×2×2＝2.
15. (1) 设圆心为C(a，0)，
由题意，得＝，
解得a＝2，
所以圆C的半径为r＝＝2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4.
(2) ①当AB＝2时，圆心C到直线l的距离为d＝＝＝1，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，
此时圆心C到直线l的距离为1，符合题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，
则d＝＝＝1，解得k＝0，
此时直线l的方程为y＝1.
综上，直线l的方程为x＝3或y＝1.
②当PC⊥AB时，圆心C到直线l的距离最大，此时AB最短．
因为kPC＝＝1，则kAB＝－＝－1，
所以直线l的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.
16. (1) 由题意可设P(x，y)且A(12，0)，O(0，0).
由＝2，得＝2，
即(x－12)2＋y2＝4(x2＋y2)，整理，得(x＋4)2＋y2＝64，
所以曲线C的方程为(x＋4)2＋y2＝64.
(2) 易得A(12，0)，B(0，m)，则过AB的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直，
所以直线AB的截距式方程为＋＝1(m>0)，
化为一般式方程为mx＋12y－12m＝0(m>0).
由题意，得>8且m>0，
解得m>4.
综上，m的取值范围为(4，＋∞).