3.1.2 椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1 椭圆x2+=1的短轴长为( )
A. 1 B. 2 C. D. 4
2 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则实数m的值为( )
A. B. C. 2 D. 4
3 已知直线l:x+y-1=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,则椭圆的离心率为( )
A. B. -1
C. D.
4 若椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长等于焦距,则椭圆的离心率为( )
A. B.
C. D.
5 设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.若BF2=F1F2=4,则该椭圆的方程为( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
6 椭圆E1:+=1与椭圆E2:+=1(0A. 长轴长相等 B. 短轴长相等
C. 离心率相等 D. 焦距相等
7 如图,椭圆+y2=1(a>1)与x轴,y轴的正半轴分别交于点A,B,P是过左焦点F1且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点,O为坐标原点,若AB∥OP,则椭圆的焦距为( )
A.
B. 2
C. 1
D. 2
8设P(a,b)为椭圆+=1上一点,过点P分别向x轴,y轴作垂线,垂足分别为M,N,则矩形PMON面积的最大值为( )
A. 9 B. C. 9 D. 18
二、 多项选择题
9已知椭圆M:+=1,椭圆N:+y2=1,则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆M与椭圆N的离心率相等
B. 椭圆M与椭圆N的焦距相等
C. 椭圆M与椭圆N的长轴长相等
D. 椭圆M的短轴长是椭圆N的短轴长的两倍
10 中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,离心率为,且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A. +y2=1 B. x2+=1
C. x2+4y2=1 D. 4x2+y2=16
三、 填空题
11若点P在椭圆C:+=1上,则点P的横坐标的取值范围是________.
12已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,B为短轴的一个端点,则△BF1F2的周长为________.
13 若椭圆E:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,上顶点为P,则∠F1PF2=________.
四、 解答题
14 求满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3;
(2) 椭圆的离心率为e=,短轴长为8.
15 设m为实数,已知方程+=1表示椭圆.
(1) 求实数m的取值范围;
(2) 若m=1,过椭圆的焦点作长轴的垂线,交椭圆于A,B两点,求AB的长.
16已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆(x-1)2+y2=25的圆心为M,P为此圆上一点.
(1) 求椭圆C的离心率;
(2) 记线段MP与椭圆C的交点为Q,求PQ的取值范围.
3.1.2 椭圆的简单几何性质
1. B
2. A 椭圆x2+my2=1,即x2+=1.因为椭圆的焦点在y轴上,所以>1.又长轴长是短轴长的两倍,所以2=2×2,解得m=.
3. D 由椭圆C:+=1(a>b>0),知右焦点(c,0)和上顶点(0,b).因为直线l:x+y-1=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点和上顶点,所以c=1,b=1,所以 e===.
4. C 由题意,得b=c,即b2=a2-c2=c2,所以a=c,所以椭圆的离心率为e==.
5. A 由BF2=F1F2=4,得a=2c=4,所以a=4,c=2,则b2=a2-c2=12,所以椭圆的方程为+=1.
6. D 对于椭圆E1,它的长、短半轴长及半焦距分别为a1=3,b1=2,c1=,对于椭圆E2,它的长、短半轴长及半焦距分别为a2=,b2=,c2=,所以它们的长轴长不相等,短轴长不相等,离心率不相等,焦距相等.
7. D 由题意,得F1(-c,0),A(a,0),B(0,1),则点P,所以直线AB的斜率kAB=-,直线OP的斜率kOP==-.由AB∥OP,得kAB=kOP,所以-=-,解得c=1,所以椭圆的焦距为2c=2.
8. B 由题意,得+=1,矩形PMON的面积S=|ab|,则+=1≥2=2·,所以S≤,当且仅当a2=2b2=9时取等号,所以矩形PMON面积的最大值为.
9. BD 椭圆M:+=1的长半轴长a=,短半轴长b=2,半焦距c=3;椭圆N:+y2=1的长半轴长a′=,短半轴长b′=1,半焦距c′=3.对于A,椭圆M的离心率e=,椭圆N的离心率e′=,故A错误;对于B,椭圆M与N的焦距都为6,故B正确;对于C,椭圆M与N的长轴长不相等,故C错误;对于D,椭圆M的短轴长是椭圆N的短轴长的两倍,故D正确.故选BD.
10. AD 椭圆+y2=1过点(2,0),且a=2,b=1,c=,离心率为,故A正确;椭圆x2+=1不过点(2,0),故B错误;椭圆x2+4y2=1不过点(2,0),故C错误;椭圆4x2+y2=16过点(2,0),且a=4,b=2,c=2,离心率为,故D正确.故选AD.
11. [-,] 因为椭圆C:+=1,所以椭圆上的点P的横坐标的取值范围是[-,].
12. 18 椭圆+=1的长半轴长a=5,短半轴长b=3,则半焦距c==4,所以BF1+BF2=2a=10,F1F2=2c=8,所以△BF1F2的周长为2a+2c=18.
13. 在椭圆E:+y2=1中,a=2,b=1,在Rt△OPF2中,cos ∠OPF2===.又∠OPF2∈,则∠OPF2=,故∠F1PF2=2∠OPF2=.
14. (1) 由题意,得a=5,c=3,
所以b2=a2-c2=25-9=16.
又焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2) 由题意,得解得
又焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
15. (1) 因为+=1表示椭圆,
所以解得-1即实数m的取值范围为(-1,2)∪(2,5).
(2) 当m=1时,椭圆方程为+=1,
所以焦点坐标为(±,0).
将x=±代入椭圆方程可得y2=1,即y=±1,
所以AB=|1-(-1)|=2.
16. (1) 由题意,得c=,a2=b2+c2,
且×2a×2b=2ab=12,即ab=6,
解得a=3,b=2,
所以椭圆C的离心率e==.
(2) 由题意,得PQ=MP-MQ=5-MQ.
设Q(x1,y1),则+=1,
所以MQ===.
因为x1∈[-3,3],
所以当x1=时,(MQ)min=;
当x1=-3时,(MQ)max=4,
所以PQ的取值范围为.