3.1.2　椭圆的简单几何性质 同步作业 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．1.2　椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1已知椭圆方程为＋＝1，则椭圆的短轴长为(　　)
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
2 已知椭圆C：＋＝1(m>0)的离心率为，则实数m的值为(　　)
A. 3 B. C. 2 D.
3 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率为，则椭圆C的方程是(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋＝1
4已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，若PF1＋PF2＝4，椭圆C的离心率为，则椭圆C的焦距为(　　)
A. 1 B. 2 C. D. 2
5 已知焦点在x轴上的椭圆＋＝1(a>0)，则它的离心率的取值范围是(　　)
A. B. (0，]
C. D. [，1)
6 设椭圆＋＝1(a>)的右焦点为F，右顶点为A.已知＋＝，其中O为坐标原点，e为该椭圆的离心率，则该椭圆的标准方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1
C. ＋＝1 D. ＋y2＝1
7如图，这是一块宋代椭圆形玉璧，采用上好的和田青玉雕琢而成，该椭圆形玉璧长10.2 cm，宽7.1 cm，玉璧中心的椭圆形孔长1.6 cm，宽1.0 cm.设该玉璧的外轮廓为椭圆M，玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆M的离心率等于椭圆N的离心率
B. 椭圆M的离心率小于椭圆N的离心率
C. 椭圆M的离心率大于椭圆N的离心率
D. 椭圆M与椭圆N的离心率无法比较大小
8 如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为R的球体，近地点离地面的距离为r，则远地点离地面的距离l为(　　)
A. 3r＋2R
B. 5r＋2R
C.
D.
二、 多项选择题
9 已知椭圆C：＋＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. (2，0)是椭圆C的一个顶点
B. (0，1)是椭圆C的一个焦点
C. 椭圆C的离心率为e＝
D. 椭圆C的短轴长为2
10 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图，已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m km，远地点B(离地面最远的点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则下列结论中正确的是(　　)
A. a－c＝m＋R
B. a＋c＝n＋R
C. 2a＝m＋n
D. 2b＝2
三、填空题
11焦点在y轴上，短轴长为8，离心率为的椭圆的标准方程是________．
12 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上的点，若∠F1PF2＝60°，PF1＝2PF2，则椭圆的离心率为________．
13若椭圆C：＋＝1(m>9)比椭圆D：＋＝1更扁，则椭圆C的长轴长的取值范围是________.
四、解答题
14 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 焦点在y轴上，短轴长为12，离心率为；
(2) 离心率为，且经过点(2，0).
15 已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点，AF2＋BF2＝2.
(1) 若椭圆的离心率为，求椭圆的方程；
(2) 若点M到直线l的距离不小于，求椭圆离心率的取值范围．
16 已知椭圆中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，直线y＝x与椭圆在第一象限交于点M，且点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F2，另一个焦点是F1.
(1) 求椭圆的离心率；
(2) 若1·2＝2，求椭圆的方程．
3．1.2　椭圆的简单几何性质
1. B
2. C　由题意，得a＝，c＝1，则离心率e＝＝，解得m＝2.
3. D　由题意易知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝1，a＝2，则b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.
4. B　由题意，得解得a＝2，c＝1，所以焦距为2c＝2.
5. B　因为方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，所以4a>a2＋1，解得2－6. C　由＋＝，得＋＝，化简，得a2＝4c2.又b2＝3，所以a2－c2＝3c2＝3，则c＝1，a＝2，所以该椭圆的标准方程为＋＝1.
7. B　由题意可得椭圆M的长轴长为10.2 cm，短轴长为7.1cm，椭圆N的长轴长为1.6cm，短轴长为1.0cm.因为≈0.696，＝0.625，所以>.又e＝，所以越大，离心率越小，所以椭圆M的离心率小于椭圆N的离心率．
8. D　不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则e＝，且r＝a－c－R，解得a＝，c＝，故该卫星远地点离地面的距离为a＋c－R＝＋－R＝r＋R.又e＝，所以r＋R＝r＋R＝r＋R＝.
9. BCD　由椭圆C：＋＝1可知，椭圆的焦点在y轴上，且a＝2，b＝，c＝＝1，椭圆有四个顶点，分别为(0，2)，(0，－2)，(，0)，(－，0)，焦点有两个，分别为(0，1)，(0，－1)，椭圆的短轴长为2b＝2，离心率为e＝＝，故A错误，B，C，D正确．故选BCD.
10. ABD　由题意，得m＝a－c－R，n＝a＋c－R，所以a－c＝m＋R，a＋c＝n＋R，m＋n＝2a－2R，故A，B正确，C错误；又2b＝2＝2，故D正确．故选ABD.
11. ＋＝1　由题意，得解得又椭圆的焦点在y轴上，故椭圆的标准方程是＋＝1.
12. 　由椭圆定义，得PF1＋PF2＝2a.又PF1＝2PF2，故PF1＝，PF2＝.在△PF1F2中，由余弦定理可得 cos ∠F1PF2＝＝＝＝，故－8c2＝，解得＝，故离心率为.
13. (6，＋∞)　因为椭圆D：＋＝1的离心率e2＝＝，椭圆C比椭圆D更扁，所以椭圆C的离心率e1>e2，即>，解得m>18，故椭圆C的长轴长2>2＝6.
14. (1) 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得2b＝12，＝，得b＝6.
又a2＝b2＋c2＝36＋c2，解得a＝10，c＝8，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 由题意可得e＝＝.
设a＝2k，c＝k，k>0，则b＝k.
又椭圆经过的点(2，0)为其顶点，
故若点(2，0)为长轴顶点，则a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为＋y2＝1；
若点(2，0)为短轴顶点，则b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为＋＝1.
15. (1) 由题意及椭圆的定义，得2a＝AF2＋AF1＝AF2＋BF2＝2，所以a＝.
又e＝＝，a2＝b2＋c2，
所以c＝1，b＝1，
故椭圆的方程为＋y2＝1.
(2) 设点M的坐标为(0，b)，则点M到直线l的距离为.
由题意，得≥，故b≥1，则a2－c2≥1.
因为a＝，所以0所以0<≤，
即椭圆离心率的取值范围是.
16. (1) 设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0).
由题意，得xM＝c，yM＝，
代入直线方程，得c＝＝，
化简，得e2＋e－1＝0，解得e＝(负值舍去)，
故椭圆的离心率为.
(2) 由(1)，得M，F1(－c，0)，F2(c，0)，
所以＝，＝.
因为·＝2，
所以＝2，解得c＝2.
因为e＝＝，所以a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4，
所以椭圆的方程为＋＝1.