3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步作业 (含答案) 2025-2026学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册

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名称 3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步作业 (含答案) 2025-2026学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
格式 docx
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资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-22 21:38:00

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文档简介

3.1.2 椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1已知椭圆方程为+=1,则椭圆的短轴长为(  )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
2 已知椭圆C:+=1(m>0)的离心率为,则实数m的值为(  )
A. 3 B. C. 2 D.
3 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为,则椭圆C的方程是(  )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
4已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若PF1+PF2=4,椭圆C的离心率为,则椭圆C的焦距为(  )
A. 1 B. 2 C. D. 2
5 已知焦点在x轴上的椭圆+=1(a>0),则它的离心率的取值范围是(  )
A. B. (0,]
C. D. [,1)
6 设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为坐标原点,e为该椭圆的离心率,则该椭圆的标准方程为(  )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +y2=1
7如图,这是一块宋代椭圆形玉璧,采用上好的和田青玉雕琢而成,该椭圆形玉璧长10.2 cm,宽7.1 cm,玉璧中心的椭圆形孔长1.6 cm,宽1.0 cm.设该玉璧的外轮廓为椭圆M,玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N,则下列结论中正确的是(  )
A. 椭圆M的离心率等于椭圆N的离心率
B. 椭圆M的离心率小于椭圆N的离心率
C. 椭圆M的离心率大于椭圆N的离心率
D. 椭圆M与椭圆N的离心率无法比较大小
8 如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为(  )
A. 3r+2R
B. 5r+2R
C.
D.
二、 多项选择题
9 已知椭圆C:+=1,则下列说法中正确的是(  )
A. (2,0)是椭圆C的一个顶点
B. (0,1)是椭圆C的一个焦点
C. 椭圆C的离心率为e=
D. 椭圆C的短轴长为2
10 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m km,远地点B(离地面最远的点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则下列结论中正确的是(  )
A. a-c=m+R
B. a+c=n+R
C. 2a=m+n
D. 2b=2
三、填空题
11焦点在y轴上,短轴长为8,离心率为的椭圆的标准方程是________.
12 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上的点,若∠F1PF2=60°,PF1=2PF2,则椭圆的离心率为________.
13若椭圆C:+=1(m>9)比椭圆D:+=1更扁,则椭圆C的长轴长的取值范围是________.
四、解答题
14 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 焦点在y轴上,短轴长为12,离心率为;
(2) 离心率为,且经过点(2,0).
15 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,AF2+BF2=2.
(1) 若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;
(2) 若点M到直线l的距离不小于,求椭圆离心率的取值范围.
16 已知椭圆中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,直线y=x与椭圆在第一象限交于点M,且点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F2,另一个焦点是F1.
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 若1·2=2,求椭圆的方程.
3.1.2 椭圆的简单几何性质
1. B
2. C 由题意,得a=,c=1,则离心率e==,解得m=2.
3. D 由题意易知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1,a=2,则b=,所以椭圆C的方程为+=1.
4. B 由题意,得解得a=2,c=1,所以焦距为2c=2.
5. B 因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以4a>a2+1,解得2-6. C 由+=,得+=,化简,得a2=4c2.又b2=3,所以a2-c2=3c2=3,则c=1,a=2,所以该椭圆的标准方程为+=1.
7. B 由题意可得椭圆M的长轴长为10.2 cm,短轴长为7.1cm,椭圆N的长轴长为1.6cm,短轴长为1.0cm.因为≈0.696,=0.625,所以>.又e=,所以越大,离心率越小,所以椭圆M的离心率小于椭圆N的离心率.
8. D 不妨以椭圆中心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则椭圆的方程为+=1(a>b>0),则e=,且r=a-c-R,解得a=,c=,故该卫星远地点离地面的距离为a+c-R=+-R=r+R.又e=,所以r+R=r+R=r+R=.
9. BCD 由椭圆C:+=1可知,椭圆的焦点在y轴上,且a=2,b=,c==1,椭圆有四个顶点,分别为(0,2),(0,-2),(,0),(-,0),焦点有两个,分别为(0,1),(0,-1),椭圆的短轴长为2b=2,离心率为e==,故A错误,B,C,D正确.故选BCD.
10. ABD 由题意,得m=a-c-R,n=a+c-R,所以a-c=m+R,a+c=n+R,m+n=2a-2R,故A,B正确,C错误;又2b=2=2,故D正确.故选ABD.
11. +=1 由题意,得解得又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的标准方程是+=1.
12.  由椭圆定义,得PF1+PF2=2a.又PF1=2PF2,故PF1=,PF2=.在△PF1F2中,由余弦定理可得 cos ∠F1PF2====,故-8c2=,解得=,故离心率为.
13. (6,+∞) 因为椭圆D:+=1的离心率e2==,椭圆C比椭圆D更扁,所以椭圆C的离心率e1>e2,即>,解得m>18,故椭圆C的长轴长2>2=6.
14. (1) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由题意,得2b=12,=,得b=6.
又a2=b2+c2=36+c2,解得a=10,c=8,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2) 由题意可得e==.
设a=2k,c=k,k>0,则b=k.
又椭圆经过的点(2,0)为其顶点,
故若点(2,0)为长轴顶点,则a=2,b=1,椭圆的标准方程为+y2=1;
若点(2,0)为短轴顶点,则b=2,a=4,椭圆的标准方程为+=1.
15. (1) 由题意及椭圆的定义,得2a=AF2+AF1=AF2+BF2=2,所以a=.
又e==,a2=b2+c2,
所以c=1,b=1,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2) 设点M的坐标为(0,b),则点M到直线l的距离为.
由题意,得≥,故b≥1,则a2-c2≥1.
因为a=,所以0所以0<≤,
即椭圆离心率的取值范围是.
16. (1) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由题意,得xM=c,yM=,
代入直线方程,得c==,
化简,得e2+e-1=0,解得e=(负值舍去),
故椭圆的离心率为.
(2) 由(1),得M,F1(-c,0),F2(c,0),
所以=,=.
因为·=2,
所以=2,解得c=2.
因为e==,所以a=2,
所以b2=a2-c2=4,
所以椭圆的方程为+=1.