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高中数学
人教A版(2019)
选择性必修 第一册
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步作业 (含答案) 2025-2026学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
文档属性
名称
3.1.2 椭圆的简单几何性质 同步作业 (含答案) 2025-2026学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
格式
docx
文件大小
234.6KB
资源类型
教案
版本资源
人教A版(2019)
科目
数学
更新时间
2025-06-22 21:38:00
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文档简介
3.1.2 椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1已知椭圆方程为+=1,则椭圆的短轴长为( )
A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
2 已知椭圆C:+=1(m>0)的离心率为,则实数m的值为( )
A. 3 B. C. 2 D.
3 已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率为,则椭圆C的方程是( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +=1
4已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆C上,若PF1+PF2=4,椭圆C的离心率为,则椭圆C的焦距为( )
A. 1 B. 2 C. D. 2
5 已知焦点在x轴上的椭圆+=1(a>0),则它的离心率的取值范围是( )
A. B. (0,]
C. D. [,1)
6 设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为坐标原点,e为该椭圆的离心率,则该椭圆的标准方程为( )
A. +=1 B. +=1
C. +=1 D. +y2=1
7如图,这是一块宋代椭圆形玉璧,采用上好的和田青玉雕琢而成,该椭圆形玉璧长10.2 cm,宽7.1 cm,玉璧中心的椭圆形孔长1.6 cm,宽1.0 cm.设该玉璧的外轮廓为椭圆M,玉璧中心的椭圆形孔对应的曲线为椭圆N,则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆M的离心率等于椭圆N的离心率
B. 椭圆M的离心率小于椭圆N的离心率
C. 椭圆M的离心率大于椭圆N的离心率
D. 椭圆M与椭圆N的离心率无法比较大小
8 如图,某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心F1为一个焦点且离心率为的椭圆,地球可看作半径为R的球体,近地点离地面的距离为r,则远地点离地面的距离l为( )
A. 3r+2R
B. 5r+2R
C.
D.
二、 多项选择题
9 已知椭圆C:+=1,则下列说法中正确的是( )
A. (2,0)是椭圆C的一个顶点
B. (0,1)是椭圆C的一个焦点
C. 椭圆C的离心率为e=
D. 椭圆C的短轴长为2
10 某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m km,远地点B(离地面最远的点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则下列结论中正确的是( )
A. a-c=m+R
B. a+c=n+R
C. 2a=m+n
D. 2b=2
三、填空题
11焦点在y轴上,短轴长为8,离心率为的椭圆的标准方程是________.
12 已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上的点,若∠F1PF2=60°,PF1=2PF2,则椭圆的离心率为________.
13若椭圆C:+=1(m>9)比椭圆D:+=1更扁,则椭圆C的长轴长的取值范围是________.
四、解答题
14 分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 焦点在y轴上,短轴长为12,离心率为;
(2) 离心率为,且经过点(2,0).
15 已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点,AF2+BF2=2.
(1) 若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;
(2) 若点M到直线l的距离不小于,求椭圆离心率的取值范围.
16 已知椭圆中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,直线y=x与椭圆在第一象限交于点M,且点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F2,另一个焦点是F1.
(1) 求椭圆的离心率;
(2) 若1·2=2,求椭圆的方程.
3.1.2 椭圆的简单几何性质
1. B
2. C 由题意,得a=,c=1,则离心率e==,解得m=2.
3. D 由题意易知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1,a=2,则b=,所以椭圆C的方程为+=1.
4. B 由题意,得解得a=2,c=1,所以焦距为2c=2.
5. B 因为方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,所以4a>a2+1,解得2-
6. C 由+=,得+=,化简,得a2=4c2.又b2=3,所以a2-c2=3c2=3,则c=1,a=2,所以该椭圆的标准方程为+=1.
7. B 由题意可得椭圆M的长轴长为10.2 cm,短轴长为7.1cm,椭圆N的长轴长为1.6cm,短轴长为1.0cm.因为≈0.696,=0.625,所以>.又e=,所以越大,离心率越小,所以椭圆M的离心率小于椭圆N的离心率.
8. D 不妨以椭圆中心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则椭圆的方程为+=1(a>b>0),则e=,且r=a-c-R,解得a=,c=,故该卫星远地点离地面的距离为a+c-R=+-R=r+R.又e=,所以r+R=r+R=r+R=.
9. BCD 由椭圆C:+=1可知,椭圆的焦点在y轴上,且a=2,b=,c==1,椭圆有四个顶点,分别为(0,2),(0,-2),(,0),(-,0),焦点有两个,分别为(0,1),(0,-1),椭圆的短轴长为2b=2,离心率为e==,故A错误,B,C,D正确.故选BCD.
10. ABD 由题意,得m=a-c-R,n=a+c-R,所以a-c=m+R,a+c=n+R,m+n=2a-2R,故A,B正确,C错误;又2b=2=2,故D正确.故选ABD.
11. +=1 由题意,得解得又椭圆的焦点在y轴上,故椭圆的标准方程是+=1.
12. 由椭圆定义,得PF1+PF2=2a.又PF1=2PF2,故PF1=,PF2=.在△PF1F2中,由余弦定理可得 cos ∠F1PF2====,故-8c2=,解得=,故离心率为.
13. (6,+∞) 因为椭圆D:+=1的离心率e2==,椭圆C比椭圆D更扁,所以椭圆C的离心率e1>e2,即>,解得m>18,故椭圆C的长轴长2>2=6.
14. (1) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由题意,得2b=12,=,得b=6.
又a2=b2+c2=36+c2,解得a=10,c=8,
故椭圆的标准方程为+=1.
(2) 由题意可得e==.
设a=2k,c=k,k>0,则b=k.
又椭圆经过的点(2,0)为其顶点,
故若点(2,0)为长轴顶点,则a=2,b=1,椭圆的标准方程为+y2=1;
若点(2,0)为短轴顶点,则b=2,a=4,椭圆的标准方程为+=1.
15. (1) 由题意及椭圆的定义,得2a=AF2+AF1=AF2+BF2=2,所以a=.
又e==,a2=b2+c2,
所以c=1,b=1,
故椭圆的方程为+y2=1.
(2) 设点M的坐标为(0,b),则点M到直线l的距离为.
由题意,得≥,故b≥1,则a2-c2≥1.
因为a=,所以0
所以0<≤,
即椭圆离心率的取值范围是.
16. (1) 设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
由题意,得xM=c,yM=,
代入直线方程,得c==,
化简,得e2+e-1=0,解得e=(负值舍去),
故椭圆的离心率为.
(2) 由(1),得M,F1(-c,0),F2(c,0),
所以=,=.
因为·=2,
所以=2,解得c=2.
因为e==,所以a=2,
所以b2=a2-c2=4,
所以椭圆的方程为+=1.
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同课章节目录
第一章 空间向量与立体几何
1.1 空间向量及其运算
1.2 空间向量基本定理
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
1.4 空间向量的应用
第二章 直线和圆的方程
2.1 直线的倾斜角与斜率
2.2 直线的方程
2.3 直线的交点坐标与距离公式
2.4 圆的方程
2.5 直线与圆、圆与圆的位置
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.2 双曲线
3.3 抛物线
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