3.1.2　椭圆的简单几何性质 同步练习（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．1.2　椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1 直线＋＝1与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系为(　　)
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
2 若椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，则的最小值为(　　)
A. B. 1
C. D. 2
3 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为29∶30，则地球运行轨道所在椭圆的离心率是(　　)
A. B. C. D.
4 过点P(1，0)作倾斜角为45°的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，则PA·PB的值为(　　)
A. B. C. D.
5若直线l：y＝x＋m与椭圆C：＋＝1没有公共点，则实数m的取值范围为(　　)
A. (－2，2)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－，)
D. (－∞，－)∪(，＋∞)
6 已知椭圆＋y2＝1，P是椭圆上任意一点，则点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值是(　　)
A. B.
C. D.
7 在椭圆＋＝1中，以M为中点的弦所在直线的斜率为(　　)
A. － B. －4
C. － D. －2
8 已知动点P(x，y)满足方程10＝|3x＋4y＋2|，则动点P的轨迹是(　　)
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 无法确定
二、 多项选择题
9 直线y＝kx＋2(k∈R)和椭圆＋＝1的交点情况有可能为(　　)
A. 没有公共点
B. 一个公共点
C. 两个公共点
D. 无法确定
10 椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆C上的任意一点，则下列结论中正确的是(　　)
A. 椭圆C的长轴长为3
B. 椭圆C的离心率为
C. PF1的最大值为5
D. 存在点P，使得PF1⊥PF2
三、填空题
11 已知直线l：y＝x－3与椭圆C：＋＝1相交，则椭圆C的长轴长的取值范围是________.
12 已知P为椭圆＋＝1上一动点. 设点A(1，0)，B，则PA＋PB的最小值为________．
13 过椭圆M：＋＝1(a>b>0)右焦点的直线x＋y－＝0交椭圆M于A，B两点，P为AB的中点，且直线OP的斜率为，则椭圆M的方程为________．
四、 解答题
14已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦点，F1F2＝4，且过点(0，2).
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点P在椭圆C上，∠F1PF2＝90°，求△OPF2的面积．
15 已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且经过点(1，).
(1) 求椭圆M的标准方程；
(2) 若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x－y－3＝0平行，求直线l1的斜截式方程．
16已知椭圆＋＝1(a>b>0)的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，焦距为2.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 过椭圆的左焦点F1，且斜率为1的直线l交椭圆于A，B两点，求△OAB的面积．
3．1.2　椭圆的简单几何性质
1. C　因为直线＋＝1过点(a，0)，(0，b)，且(a，0)，(0，b)为椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点和上顶点，故直线＋＝1与椭圆＋＝1(a>b>0)相交．
2. A　由题意，得＝，即c＝a，所以b2＝a2－c2＝，则＝＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝时取等号，所以的最小值为.
3. A　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c.由题意，得＝，整理，得a＝59c，即＝，所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
4. A　由题意，得直线l的方程为y＝x－1，与椭圆C：＋＝1联立，消去x并整理，得5y2＋4y－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1·y2＝－，故PA·PB＝|y1|·|y2|＝2×＝.
5. D　联立消去y并整理，得14x2＋18mx＋9m2－45＝0，则Δ＝324m2－56(9m2－45)<0，解得m<－或m>.
6. A　联立消去y并整理，得5x2＋8x＋16＝0，则Δ＝(8)2－4×5×16＝0，所以直线x－y＋＝0与椭圆＋y2＝1相切，且在椭圆上方．设直线方程为x－y＋m＝0，联立消去y并整理，得5x2＋8mx＋4m2－4＝0，故Δ＝0，即64m2－4×5(4m2－4)＝0，解得m＝(舍去)或m＝－，则x－y－＝0，故点P到直线x－y＋＝0的距离的最大值为d＝＝.
7. C　设弦的两个端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以上两式两边分别作差，得＋(y－y)＝0，整理，得·＝－.因为M为AB的中点，所以x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×＝1，所以·＝kAB×＝－，即kAB＝－.
8. A　由10＝|3x＋4y＋2|，得＝×，其几何意义为点P(x，y)到定点(1，2)的距离等于到定直线3x＋4y＋2＝0的距离的，根据椭圆的第二定义，可得点P的轨迹是以(1，2)为焦点，直线3x＋4y＋2＝0为准线的椭圆．
9. BC　因为直线y＝kx＋2(k∈R)过定点(0，2)，且椭圆＋＝1的上顶点也为(0，2)，所以当直线的斜率为0时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点；当直线的斜率不为0时，此时直线与椭圆有两个公共点．故选BC.
10. BC　椭圆C：＋＝1的长半轴长a＝3，短半轴长b＝，半焦距c＝＝2.对于A，椭圆C的长轴长为6，故A错误；对于B，椭圆C的离心率为＝，故B正确；对于C，(PF1)max＝a＋c＝5，故C正确；对于D，c11. 　将y＝x－3代入＋＝1，得5x2－6x＋9－4m＝0，则Δ＝36－20(9－4m)>0，解得m>.因为椭圆C的长轴长为2＝4>，所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
12. 　易知A为椭圆的右焦点，设F(－1，0)为椭圆的左焦点，则PA＝4－PF，所以PA＋PB＝4－PF＋PB≥4－BF，当P，B，F三点共线时，等号成立．又BF＝，则4－BF＝，故PA＋PB的最小值为.
13. ＋＝1　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则＋＝1，＋＝1，＝－1，由此可得＝－＝1.因为x2＋x1＝2x0，y2＋y1＝2y0，＝，所以a2＝2b2.又由题意可知，椭圆M 的右焦点为(，0)，所以a2－b2＝3，所以a2＝6，b2＝3，所以椭圆M的方程为＋＝1.
14. (1) 由题意，得b＝2.
又F1F2＝4，则c＝2.
由a2＝b2＋c2＝12，得a＝2，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2) 如图，由椭圆的定义及∠F1PF2＝90°可得PF1＋PF2＝4，PF＋PF＝F1F＝32，
所以PF1·PF2＝8，
则△PF1F2的面积为PF1·PF2＝4.
因为△OPF2的面积是△PF1F2面积的，
所以△OPF2的面积为2.
15. (1) 由题意可得解得
所以椭圆M的标准方程为＋＝1.
(2) 设直线l1的斜截式方程为y＝x＋n.
联立消去y并整理，得4x2＋2nx＋n2－6＝0，
由Δ＝4n2－4×4(n2－6)＝0，得n＝±2，
则直线l1的斜截式方程为y＝x＋2或y＝x－2.
16. (1) 由题意，得焦距2c＝2，离心率e＝＝，则c＝1，a＝.
又由b2＝a2－c2，得b2＝4，
所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2) 由(1)可知左焦点为F1(－1，0)，
则直线l的方程为y＝x＋1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得9x2＋10x－15＝0，
则Δ＝102－4×9×(－15)>0，
且x1＋x2＝－，x1x2＝－.
由弦长公式，得AB＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
又点O到直线AB的距离d＝＝，
故S△OAB＝AB·d＝××＝.