3.1.2 椭圆的简单几何性质
一、 单项选择题
1 直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切
C. 相交 D. 无法确定
2 若椭圆+=1(a>b>0)的离心率是,则的最小值为( )
A. B. 1
C. D. 2
3 德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆,已知地球运行的轨道是一个椭圆,太阳在它的一个焦点上,轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为29∶30,则地球运行轨道所在椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
4 过点P(1,0)作倾斜角为45°的直线l与椭圆C:+=1交于A,B两点,则PA·PB的值为( )
A. B. C. D.
5若直线l:y=x+m与椭圆C:+=1没有公共点,则实数m的取值范围为( )
A. (-2,2)
B. (-∞,-2)∪(2,+∞)
C. (-,)
D. (-∞,-)∪(,+∞)
6 已知椭圆+y2=1,P是椭圆上任意一点,则点P到直线x-y+=0的距离的最大值是( )
A. B.
C. D.
7 在椭圆+=1中,以M为中点的弦所在直线的斜率为( )
A. - B. -4
C. - D. -2
8 已知动点P(x,y)满足方程10=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线
C. 抛物线 D. 无法确定
二、 多项选择题
9 直线y=kx+2(k∈R)和椭圆+=1的交点情况有可能为( )
A. 没有公共点
B. 一个公共点
C. 两个公共点
D. 无法确定
10 椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上的任意一点,则下列结论中正确的是( )
A. 椭圆C的长轴长为3
B. 椭圆C的离心率为
C. PF1的最大值为5
D. 存在点P,使得PF1⊥PF2
三、填空题
11 已知直线l:y=x-3与椭圆C:+=1相交,则椭圆C的长轴长的取值范围是________.
12 已知P为椭圆+=1上一动点. 设点A(1,0),B,则PA+PB的最小值为________.
13 过椭圆M:+=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交椭圆M于A,B两点,P为AB的中点,且直线OP的斜率为,则椭圆M的方程为________.
四、 解答题
14已知F1,F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点,F1F2=4,且过点(0,2).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 若点P在椭圆C上,∠F1PF2=90°,求△OPF2的面积.
15 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的焦距为4,且经过点(1,).
(1) 求椭圆M的标准方程;
(2) 若直线l1与椭圆M相切,且直线l1与直线l:x-y-3=0平行,求直线l1的斜截式方程.
16已知椭圆+=1(a>b>0)的中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为,焦距为2.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过椭圆的左焦点F1,且斜率为1的直线l交椭圆于A,B两点,求△OAB的面积.
3.1.2 椭圆的简单几何性质
1. C 因为直线+=1过点(a,0),(0,b),且(a,0),(0,b)为椭圆+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,故直线+=1与椭圆+=1(a>b>0)相交.
2. A 由题意,得=,即c=a,所以b2=a2-c2=,则==+≥2=,当且仅当=,即a=时取等号,所以的最小值为.
3. A 设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c.由题意,得=,整理,得a=59c,即=,所以地球运行轨道所在椭圆的离心率是.
4. A 由题意,得直线l的方程为y=x-1,与椭圆C:+=1联立,消去x并整理,得5y2+4y-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1·y2=-,故PA·PB=|y1|·|y2|=2×=.
5. D 联立消去y并整理,得14x2+18mx+9m2-45=0,则Δ=324m2-56(9m2-45)<0,解得m<-或m>.
6. A 联立消去y并整理,得5x2+8x+16=0,则Δ=(8)2-4×5×16=0,所以直线x-y+=0与椭圆+y2=1相切,且在椭圆上方.设直线方程为x-y+m=0,联立消去y并整理,得5x2+8mx+4m2-4=0,故Δ=0,即64m2-4×5(4m2-4)=0,解得m=(舍去)或m=-,则x-y-=0,故点P到直线x-y+=0的距离的最大值为d==.
7. C 设弦的两个端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则以上两式两边分别作差,得+(y-y)=0,整理,得·=-.因为M为AB的中点,所以x1+x2=2×1=2,y1+y2=2×=1,所以·=kAB×=-,即kAB=-.
8. A 由10=|3x+4y+2|,得=×,其几何意义为点P(x,y)到定点(1,2)的距离等于到定直线3x+4y+2=0的距离的,根据椭圆的第二定义,可得点P的轨迹是以(1,2)为焦点,直线3x+4y+2=0为准线的椭圆.
9. BC 因为直线y=kx+2(k∈R)过定点(0,2),且椭圆+=1的上顶点也为(0,2),所以当直线的斜率为0时,此时直线与椭圆相切,仅有一个公共点;当直线的斜率不为0时,此时直线与椭圆有两个公共点.故选BC.
10. BC 椭圆C:+=1的长半轴长a=3,短半轴长b=,半焦距c==2.对于A,椭圆C的长轴长为6,故A错误;对于B,椭圆C的离心率为=,故B正确;对于C,(PF1)max=a+c=5,故C正确;对于D,c11. 将y=x-3代入+=1,得5x2-6x+9-4m=0,则Δ=36-20(9-4m)>0,解得m>.因为椭圆C的长轴长为2=4>,所以椭圆C的长轴长的取值范围是.
12. 易知A为椭圆的右焦点,设F(-1,0)为椭圆的左焦点,则PA=4-PF,所以PA+PB=4-PF+PB≥4-BF,当P,B,F三点共线时,等号成立.又BF=,则4-BF=,故PA+PB的最小值为.
13. +=1 设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则+=1,+=1,=-1,由此可得=-=1.因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0,=,所以a2=2b2.又由题意可知,椭圆M 的右焦点为(,0),所以a2-b2=3,所以a2=6,b2=3,所以椭圆M的方程为+=1.
14. (1) 由题意,得b=2.
又F1F2=4,则c=2.
由a2=b2+c2=12,得a=2,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2) 如图,由椭圆的定义及∠F1PF2=90°可得PF1+PF2=4,PF+PF=F1F=32,
所以PF1·PF2=8,
则△PF1F2的面积为PF1·PF2=4.
因为△OPF2的面积是△PF1F2面积的,
所以△OPF2的面积为2.
15. (1) 由题意可得解得
所以椭圆M的标准方程为+=1.
(2) 设直线l1的斜截式方程为y=x+n.
联立消去y并整理,得4x2+2nx+n2-6=0,
由Δ=4n2-4×4(n2-6)=0,得n=±2,
则直线l1的斜截式方程为y=x+2或y=x-2.
16. (1) 由题意,得焦距2c=2,离心率e==,则c=1,a=.
又由b2=a2-c2,得b2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(2) 由(1)可知左焦点为F1(-1,0),
则直线l的方程为y=x+1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理,得9x2+10x-15=0,
则Δ=102-4×9×(-15)>0,
且x1+x2=-,x1x2=-.
由弦长公式,得AB=·|x1-x2|
=·
=·=.
又点O到直线AB的距离d==,
故S△OAB=AB·d=××=.