3.2.1　双曲线及其标准方程 同步作业（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．2.1　双曲线及其标准方程
一、 单项选择题
1 已知双曲线E：－＝1，设M是双曲线E上的一点，F1，F2分别是双曲线E的左、右焦点，若MF1＝3，则MF2的长为(　　)
A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
2 若椭圆＋＝1(a>0)与双曲线－y2＝1的焦点相同，则实数a的值为(　　)
A. 25 B. 16
C. 5 D. 4
3 已知点A(3，2)，B(－3，－2)，若动点M满足直线MA与直线MB的斜率之积为，则动点M的轨迹方程为(　　)
A. y2－＝1(x≠±3)
B. －y2＝1(x≠±3)
C. y2－＝1
D. －y2＝1
4 已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则实数n的取值范围是(　　)
A. (－1，3)
B. (1，3)
C. (－∞，－1)∪(3，＋∞)
D. (－∞，1)∪(3，＋∞)
5 已知F是双曲线－＝1的左焦点，点A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则PF＋PA的最小值为(　　)
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
6 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，若2a＝8，则△ABF2的周长是(　　)
A. 16 B. 18
C. 21 D. 26
7 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”. 如图，Rt△ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线的方程为(　　)
A. x2－＝1
B. －y2＝1
C. －＝1
D. －＝1
8 已知有相同焦点F1，F2的椭圆＋y2＝1(m>1)和双曲线－y2＝1(n>0)，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是(　　)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 以上均有可能
二、多项选择题
9 已知曲线C：mx2＋ny2＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 若m>n>0，则曲线C是圆
B. 若m＝n>0，则曲线C是椭圆
C. 若mn<0，则曲线C是双曲线
D. 若m＝0，n>0，则曲线C是两条直线
10 已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上. 若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B. C. 4 D. 2
三、填空题
11 已知双曲线C：x2＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，并且经过点M(－2，)，则MF1－MF2＝________．
12 设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，且·＝0，||·||＝2，则a＝________．
13 已知M为圆O：x2＋y2＝1上的动点，点F1(－2，0)，F2(2，0)，延长F1M至点N，使得MN＝F1M，线段F1N的垂直平分线交直线F2N于点P，记点P的轨迹为Γ，则Γ的方程为________.
四、解答题
14 已知圆C1：(x＋2)2＋y2＝，圆C2：(x－2)2＋y2＝，动圆C与圆C1，C2都外切，求圆心C的轨迹方程．
15 四个森林防火观察站A，B，C，D的坐标依次为(5，0)，(－5，0)，(0，5)，(0，－5)，他们都发现某一地区有火讯. 若A，B观察到的距离相差为6，且离A近，C，D观察到的距离相差也为6，且离C近. 试求火讯点的坐标．
16 已知F1，F2是双曲线－＝1的两个焦点．
(1) 若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2) 如图，若P是双曲线左支上的一点，且PF1·PF2＝32，试求△F1PF2的面积．
3．2.1　双曲线及其标准方程
1. B　因为a2＝4，所以a＝2.因为M是双曲线E上的一点，所以|MF1－MF2|＝4，即|3－MF2|＝4，解得MF2＝－1(舍去)或MF2＝7.
2. C　由题意可知，双曲线的两个焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，则a2＝42＋9＝25，所以a＝5(负值舍去).
3. A　设点M的坐标为(x，y).由题意，得·＝，整理可得y2－＝1，且x≠±3，即动点M的轨迹方程为y2－＝1(x≠±3).
4. A　由该双曲线两焦点间的距离为4，得c＝2.当双曲线的焦点在x轴上时，c2＝4m2＝4，m2＝1，则方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则－15. C　F是双曲线的左焦点，则F(－4，0)，右焦点为H(4，0).由双曲线的定义可得PF＋PA＝2a＋PH＋PA≥2a＋AH＝9.
6. D　如图，由双曲线的定义知，AF2－AF1＝8①，BF2－BF1＝8②.又AF1＋BF1＝AB＝5③，由①②③，得AF2＋BF2＝21，故△ABF2的周长为AF2＋BF2＋AB＝26.
7. A　由题意知，双曲线的焦点在x轴上，焦距2c＝AB＝10，即c＝5，且2a＝|AC－BC|＝BC－AC＝8－6＝2，即a＝1，则b2＝c2－a2＝25－1＝24，故过点C的双曲线的方程为x2－＝1.
8. B　由题意，得椭圆与双曲线的焦点都在x轴上，不妨设点P在第一象限，F1是左焦点，F2是右焦点，则由椭圆与双曲线的定义，得所以PF1＝＋，PF2＝－，则PF＋PF＝2(m＋n).因为两者有公共焦点，设半焦距为c，则m－1＝c2，n＋1＝c2，所以m＋n＝2c2，所以F1F＝4c2＝2(m＋n)，所以F1F＝PF＋PF，可得∠F1PF2＝90°，所以△F1PF2是直角三角形．
9. CD　因为曲线C：mx2＋ny2＝1，当m＝n>0时，表示圆；当m>0，n>0且m≠n时，表示椭圆；当nm<0时，表示双曲线；当或时，表示两条直线．故选CD.
10. AC　由双曲线C：－＝1可得c＝＝＝4.根据双曲线的对称性可知，只需考虑PF1⊥F1F2或PF1⊥PF2即可．当PF1⊥F1F2时，将x＝－4代入－＝1可得y＝±，所以△PF1F2的面积为F1F2·PF1＝；当PF1⊥PF2时，由双曲线的定义可知|PF1－PF2|＝2a＝4，由勾股定理可得PF＋PF＝F1F＝(2c)2＝64.因为PF＋PF＝(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝64，所以PF1·PF2＝8，此时△PF1F2的面积为PF1·PF2＝4.综上，△PF1F2的面积为4或.故选AC.
11. －2　由点M(－2，)在双曲线C：x2＋＝1上，得4＋＝1，解得m＝－2，即双曲线的方程为x2－＝1.显然点M在双曲线的左支上，所以MF1－MF2＝－2a＝－2.
12. 1　由题意，得△PF1F2是直角三角形，且PF＋PF＝F1F＝4c2＝20a，所以(PF1－PF2)2＋2PF1·PF2＝20a，即(2)2＋4＝20a，解得a＝1.
13. x2－＝1　如图1，图2，连接OM，PF2.因为O，M分别为F1F2，F1N的中点，所以F2N＝2OM＝2，由垂直平分线的性质可知F1P＝PN，则|PF1－PF2|＝F2N＝2<4＝F1F2，所以点P的轨迹是以F1，F2为焦点且实轴长为2的双曲线，所以2a＝2，2c＝4，所以a2＝1，b2＝c2－a2＝3，所以轨迹方程为x2－＝1.
图1 图2
14. 设动圆C的半径为r.
由题意可知，圆C1的圆心为C1(－2，0)，半径为，圆C2的圆心为C2(2，0)，半径为.
因为动圆C与圆C1，圆C2都外切，
所以CC1＝r＋，CC2＝r＋，
所以CC1－CC2＝2故点C的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的右支．
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则2a＝2，2c＝4，
可得a＝1，则c＝2，
所以b＝＝＝，
所以圆心C的轨迹方程为x2－＝1(x≥1).
15. 设火讯点P的坐标为(x，y).
因为观察到的距离相差为6，且AB＝CD＝10>6，
所以点P在双曲线上，且c＝5，2a＝6，即a＝3，
则b2＝c2－a2＝16.
因为离A近，所以点P在双曲线－＝1(x≥3)上；
因为离C近，所以点P在双曲线－＝1(y≥3)上．
联立两双曲线的方程可得
故火讯点的坐标为P.
16. 由题意，得a＝3，b＝4，c＝＝5.
(1) 由双曲线的定义，得|MF1－MF2|＝2a＝6，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
(2) 由题意，得PF2－PF1＝6，
两边平方，得PF＋PF－2PF1·PF2＝ 36，
所以PF＋PF＝36＋2PF1·PF2＝36＋2×32＝100.
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos ∠F1PF2＝＝＝0.
因为∠F1PF2∈(0°，180°)，所以∠F1PF2＝90°，
故S△F1PF2＝PF1·PF2＝×32＝16.