3.2.2　双曲线的简单几何性质 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．2.2　双曲线的简单几何性质
一、 单项选择题
1 已知双曲线－＝1(a>0)的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为(　　)
A. B. C. D.
2双曲线C：－＝1的渐近线方程为(　　)
A. y＝±x B. y＝±x
C. y＝±2x D. y＝±4x
3若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为4，实轴长为2，则其离心率为(　　)
A. 2 B.
C. D.
4 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，它的一个焦点为(0，2)，则双曲线的标准方程是(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
5 下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是(　　)
A. x2－＝1 B. －y2＝1
C. －x2＝1 D. y2－＝1
6已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且该双曲线与圆x2＋y2＝a2＋b2在第二象限的交点为P，若tan ∠PF1F2＝2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. 2 C. D.
7 已知幂函数y＝x-1的图象是等轴双曲线C，且它的焦点在直线y＝x上，则下列曲线中，与曲线C的实轴长相等的双曲线是(　　)
A. ＋＝1 B. －＝1
C. x2－y2＝1 D. －＝1
8 已知双曲线－＝1(a>b>0)的两条渐近线之间的夹角为，一个焦点为(－2，0)，则双曲线的顶点到渐近线的距离为(　　)
A. B. C. D.
二、 多项选择题
9已知双曲线C的标准方程为－＝1，则下列说法中正确的是(　　)
A. 双曲线C的实轴长为6
B. 双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C. 双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D. 双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
10 双曲线－＝1与－＝1有相同的(　　)
A. 实轴长 B. 焦距
C. 离心率 D. 渐近线
三、填空题
11若双曲线－y2＝1的实轴长为4，则正数m＝________．
12 若双曲线－＝1的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程为________．
13 已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的最大值是________.
四、解答题
14 求以椭圆＋＝1的两个焦点为顶点、两个顶点为焦点的双曲线方程，并求此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程．
15 求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1) 双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(－3，2)；
(2) 渐近线方程为y＝±x，且经过点A(2，－3).
16 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为.P为双曲线右支上的一点，
(1) 若点P到x轴的距离为2，△PF1F2的面积为2，求双曲线的标准方程；
(2) 若PF1⊥PF2，求tan ∠PF1F2的值．
3．2.2　双曲线的简单几何性质
1. A
2. B　由双曲线的标准方程可得a＝2，b＝，所以双曲线C：－＝1的渐近线方程为y＝±x＝±x.
3. A　由题意，得2c＝4，2a＝2，所以a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝2.
4. B　由题意可得a＝b, 且c＝2.因为a2＋b2＝c2，所以a2＝b2＝2.又焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.
5. C　由A，B可得双曲线的焦点在x轴上，故A，B错误；由C可得焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±2x，故C正确；由D可得焦点在y轴上，渐近线方程为y＝±x，故D错误．
6. C　因为a2＋b2＝c2，所以x2＋y2＝c2是以原点为圆心，c为半径的圆，故PF1⊥PF2.因为tan ∠PF1F2＝2，所以＝2，即PF2＝2PF1.由双曲线的定义，得PF2－PF1＝2a，即PF1＝2a，PF2＝4a.由勾股定理，得PF＋PF＝F1F，即4a2＋16a2＝4c2，解得e＝＝.故双曲线的离心率为.
7. B　由双曲线几何性质知，双曲线的焦点在实轴上，实轴与双曲线的交点A1(－1，－1)，A2(1，1)是双曲线的顶点，故双曲线C的实轴长A1A2＝2.显然A表示的是椭圆；B的双曲线实轴长为2；C的双曲线实轴长为2；D的双曲线实轴长为4，故B正确，A，C，D错误．
8. B　对于双曲线 －＝1(a>b>0)，其渐近线方程为y＝±x.由题意可得渐近线y＝x的倾斜角为，所以＝tan ＝.又c2＝a2＋b2＝4，可得a＝，b＝1.因为双曲线的任一顶点到任一渐近线的距离都相等，不妨取顶点(a，0)和渐近线y＝x，则双曲线的顶点到渐近线的距离为＝＝＝.
9. AC　由双曲线－＝1，得a＝3，b＝4，则c＝＝5.对于A，双曲线C的实轴长为2a＝6，故A正确；对于B，双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；对于C，设双曲线C的右焦点F(5，0)，不妨设一条渐近线方程为y＝x，即4x－3y＝0，可得焦点到渐近线的距离为d＝＝4，故C正确；对于D，根据双曲线的性质，得双曲线上的点到焦点的最短距离为c－a＝2，故D错误．故选AC.
10. ABC　由双曲线－＝1可知a2＝4，b2＝2，c2＝a2＋b2＝6，所以实轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，离心率为＝，渐近线为y＝±x＝±x.由双曲线－＝1可知，a2＝4，b2＝2，c2＝a2＋b2＝6，所以实轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，离心率为＝，渐近线为y＝±x＝±x.故A，B，C正确，D错误．故选ABC.
11. 　由题意可知，双曲线－y2＝1的实轴在x轴上，且2a＝2＝4.又因为m>0，解得m＝.
12. y＝±x　由题意可知，离心率e＝＝2，即c＝2a.又a2＋b2＝c2＝4a2，即b2＝3a2，则＝，故此双曲线的渐近线方程为y＝±x.
13. 3　因为F1，F2是左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，所以PF2－PF1＝2a，代入，得＝＝PF1＋4a＋≥2＋4a＝8a，当且仅当PF1＝2a时取等号．又P是双曲线左支上任意一点，所以PF1≥c－a，得2a≥c－a，即e≤3.故e的最大值为3.
14. 由题意可知，椭圆的两个焦点为F1(－，0)，F2(，0)，即为双曲线的顶点．
因为双曲线的顶点和焦点在同一直线上，
所以双曲线的焦点应为椭圆长轴端点A1(－4，0)，A2(4，0)，
故c＝4，a＝，所以b＝＝＝3，
得双曲线的标准方程为－＝1，
故该双曲线的实轴长为2a＝2，虚轴长为2b＝6，离心率为e＝＝＝，渐近线方程为y＝±x.
15. (1) 设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).
因为e＝，所以e2＝＝＝1＋＝，
所以＝，
所以解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
(2) 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，设双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0).
因为点A(2，－3)在双曲线上，
所以－(－3)2＝λ，即λ＝－8，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
16. (1) 设点P(x1，y1)，x1>0，
由题意，得|y1|＝2，
则S△PF1F2＝F1F2·|y1|＝c|y1|＝2，
解得c＝.
由题意，得e＝＝，所以a＝1，
所以b2＝c2－a2＝4，
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2) 设PF2＝x，则由双曲线定义，得PF1－PF2＝2a，则PF1＝x＋2a.
由勾股定理，得F1F＝PF＋PF，
则2x2＋4ax＋4a2－4c2＝0.
由题意，得e＝＝，代入上式，得x2＋2ax－8a2＝0，解得x＝2a或x＝－4a(舍去)，
所以tan ∠PF1F2＝＝.