3.2.2　双曲线的简单几何性质 同步练习（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．2.2　双曲线的简单几何性质
一、 单项选择题
1 已知双曲线－＝1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，则其虚轴长为(　　)
A. 1 B. 4 C. 3 D. 0
2 若双曲线－＝1的一个焦点坐标为(，0)，则双曲线的离心率为(　　)
A. 2 B. C. D.
3已知直线l：y＝x＋2与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线在第一象限内交于点A，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　)
A. (1，＋∞) B. (，＋∞)
C. (，＋∞) D. (2，＋∞)
4 已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y＝x与双曲线的右支交于点P，则·的值为(　　)
A. 1 B. 0
C. －1 D. －2
5 双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为e1，双曲线－＝－1(a>0，b>0)的离心率为e2，则e1＋e2的最小值是(　　)
A. B. 2
C. 2 D. 4
6 已知点A(－1，0)，B(1，0)，直线AM，BM相交于点M，且直线AM与直线BM的斜率之积为1，则点M的轨迹方程为(　　)
A. x2＋y2＝1(x≠±1)
B. x2－y2＝1(x≠±1)
C. x2－＝1(x≠±1)
D. x2＋＝1(x≠±1)
7 已知直线l：x＝ty＋2和双曲线C：y2－x2＝8，若直线l与双曲线C的上支交于不同的两点，则实数t的取值范围是(　　)
A. (－，) B. (－，0)
C. (0，) D. (－，－1)
8 3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒(数据均以外壁即塔筒外侧表面计算)的上底直径为6 cm，下底直径为9 cm，喉部(中间最细处)的直径为8 cm，则该塔筒的高为(　　)
A. cm
B. 18 cm
C. cm
D. 9 cm
二、 多项选择题
9 已知双曲线－y2＝1，则下列关于双曲线的说法中正确的是(　　)
A. 双曲线的焦点坐标为(－，0)和(，0)
B. 双曲线的渐近线方程为y＝x和y＝－x
C. 双曲线的离心率为
D. 双曲线与直线l：y＝x＋1有且仅有一个公共点
10 已知F是双曲线－＝1的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上的一点，则∠POF的大小可能是(　　)
A. 15° B. 25°
C. 60° D. 165°
三、填空题
11 已知F1，F2分别为双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在双曲线E上，F1F2∶F2M∶F1M＝2∶3∶4，则双曲线E的离心率为________．
12 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若以线段F1F2为直径的圆与直线ax－by＋2ac＝0有交点，则双曲线C的离心率的取值范围为________．
13 双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，B为该双曲线的焦点. 若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
四、解答题
14 设A，B为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形．
(1) 求双曲线C的离心率；
(2) 若双曲线左支上任意一点到右焦点F的距离的最小值为3，求双曲线C的标准方程．
15 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为.
(1) 求双曲线C的方程；
(2) 若直线y＝x＋m被双曲线C截得的弦长为8，求实数m的值．
16 已知双曲线C：－y2＝1，点F1，F2是双曲线C的左、右焦点，点M的坐标为(m，2)，斜率为k的直线l过点M.
(1) 若m＝0，且直线l与双曲线C只有一个公共点，求实数k的值；
(2) 双曲线C上有一点P，∠F1PF2的夹角为120°，求△PF1F2的面积．
3．2.2　双曲线的简单几何性质
1. B　设双曲线－＝1(b>0)的一个焦点为(c，0)，且c2＝5＋b2，一条渐近线的方程为bx－·y＝0，b>0，则＝b＝2，则虚轴长为2b＝4.
2. C　由题意知，双曲线－＝1的焦点在x轴上，所以该双曲线的离心率e＝＝.
3. B　由两条直线交于第一象限，得直线l：y＝x＋2的斜率小于，即>1，所以双曲线C的离心率e＝＝>，所以双曲线C的离心率的取值范围是(，＋∞).
4. C　由题意，得点F1(－2，0)，F2(2，0).联立可得x＝y＝或x＝y＝－.因为P是直线y＝x与双曲线的右支交点，所以点P(，)，则＝，＝，所以·＝·＋＝－1.
5. C　由题意，得双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e1＝＝，－＝－1(a>0，b>0)的离心率e2＝＝，所以e1＋e2＝＋≥×c＝2，当且仅当a＝b时取等号，故e1＋e2的最小值为2.
6. B　设点M(x，y)，则kAM·kBM＝·＝1(x≠±1)，化简，得x2－y2＝1(x≠±1)，即点M的轨迹方程为x2－y2＝1(x≠±1).
7. D　设直线l与双曲线C的上支交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x并整理，得(1－t2)y2－4ty－12＝0，则解得－8. D　该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则由双曲线的离心率为，得＝，则b2＝4a2.由喉部(中间最细处)的直径为8 cm，得2a＝8，a＝4，所以双曲线的标准方程为－＝1.设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，由xA＝3，xB＝，得yA＝2，yB＝－7，所以该塔筒的高为yA－yB＝9 cm.
9. CD　对于A，因为c2＝a2＋b2＝4，所以c＝2，所以焦点坐标为(±2，0)，故A错误；对于B，因为a＝，b＝1，所以渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故B错误；对于C，因为a＝，c＝2，所以e＝＝，故C正确；对于D，因为直线l：y＝x＋1与渐近线y＝x平行，所以直线l与双曲线有且仅有一个交点，故D正确．故选CD.
10. ABD　因为该双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，所以两条渐近线的倾斜角分别为30°，150°.当点P在右支上时，∠POF的取值范围是[0°，30°)；当点P在左支上时，∠POF的取值范围是(150°，180°]，所以∠POF的大小不可能为60°，可能为15°，25°，165°.故选ABD.
11. 2　由F1F2∶F2M∶F1M＝2∶3∶4，F1F2＝2c，得F2M＝3c，F1M＝4c.又2a＝F1M－F2M＝4c－3c＝c，所以e＝＝2.
12. [2，＋∞)　以线段F1F2为直径的圆的方程是x2＋y2＝c2，与直线ax－by＋2ac＝0有交点，则圆心到直线的距离d＝＝2a≤c，则双曲线的离心率e＝≥2.
13. 2　因为四边形OABC为正方形且边长为2，所以c＝OB＝2.又∠AOB＝，所以＝tan ＝1，即a＝b.又因为a2＋b2＝c2＝8，所以a＝2.
14. (1) 如图，当直线l垂直于x轴时，△AMN为等腰直角三角形，
则有AF＝NF＝MF，
所以a＋c＝，即c2－ac－2a2＝0，
则e2－e－2＝0，结合e>1，解得e＝2，
故双曲线C的离心率为2.
(2) 由双曲线的几何性质知，在双曲线的左支上，左顶点到右焦点F的距离最小，最小距离为a＋c，
则a＋c＝3.
又e＝＝2，所以a＝1，c＝2，
所以b2＝c2－a2＝3，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
15. (1) 因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2，右焦点F到渐近线的距离为，
所以解得a＝1，b＝，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2) 联立消去y并整理，得x2－2mx－m2－2＝0.
因为直线y＝x＋m被双曲线C截得的弦长为8，
所以Δ＝4m2＋4m2＋8>0.
设直线与双曲线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2，
则AB＝·|x1－x2|＝·＝8，解得m＝±.
16. (1) 当m＝0时，点M(0，2)，则直线l的方程为y＝kx＋2.
当k≠±时，联立消去y并整理，得(1－4k2)x2－16kx－20＝0.
因为直线l与双曲线C只有一个公共点，
所以直线和双曲线相切，
所以Δ＝(－16k)2－4·(1－4k2)·(－20)＝0，解得k＝±；
因为双曲线C：－y2＝1的渐近线为y＝±x，
所以当k＝±时，直线与渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个公共点．
综上，当直线与双曲线C只有一个公共点时，k＝±或k＝±.
(2) 由双曲线C：－y2＝1，则点F1(－，0)，F2(，0)，F1F2＝2.
又点P在双曲线上，即|PF1－PF2|＝4，即(PF1－PF2)2＝PF12＋PF22－2PF1·PF2＝16.
在△PF1F2中，由余弦定理，得cos ∠F1PF2＝，
即－＝，
解得PF1·PF2＝，
所以△PF1F2的面积为S△PF1F2＝PF1·PF2·sin ∠F1PF2＝××＝.