3.2.1　双曲线及其标准方程 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1　双曲线及其标准方程
一、 单项选择题
1 已知点A(0，－2)，B(0，2)，动点P满足PA－PB＝2，则点P的轨迹是(　　)
A. 椭圆
B. 双曲线的一支
C. 双曲线
D. 射线
2 已知双曲线－＝1(m>0)的焦距为6，则实数m的值为(　　)
A. 5 B. 2
C. D. 32
3 已知点F1(－4，0)，F2(4，0)，曲线上一点P到点F1，F2的距离之差为6，则曲线的方程为(　　)
A. －＝1(x>0) B. －＝1
C. －＝1(y>0) D. －＝1
4 已知m，n是实数，则“mn<0”是“曲线mx2＋ny2＝1是焦点在x轴上的双曲线”的(　　)
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5 若方程＋＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－∞，－7)∪(4，＋∞)
B. (－7，4)
C. (－∞，－4)∪(7，＋∞)
D. (－4，7)
6 双曲线－＝1(a>0)的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且MF1＝5，则MF2的长为(　　)
A. 9 B. 1 C. 1或9 D. 2
7 若方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则角α所在的象限是(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
8 若ab≠0，则直线ax－y＋b＝0和＋＝1所表示的曲线可能是图中的(　　)
A B C D
二、 多项选择题
9 已知a＝2，c＝4，则双曲线的标准方程为(　　)
A. －＝1
B. －＝1
C. －＝1
D. －＝1
10 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：＋y2＝m，则下列说法中正确的有(　　)
A. 若m>1，则曲线C是椭圆
B. 若m>2，则曲线C是椭圆
C. 若m<0，则曲线C是双曲线
D. 若m<1，则曲线C是双曲线
三、填空题
11 已知(0，2)是双曲线x2－y2＝m的一个焦点，则m＝________．
12 焦点在x轴上，且经过点P(4，2)与Q(2，2)的双曲线的标准方程为________．
13 若双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围为________．
四、 解答题
14 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1) 焦距为2，经过点(－5，2)，且焦点在x轴上；
(2) 与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点(3，2).
15 当方程＋＝1表示下列曲线时，求实数m的取值范围：
(1) 圆；
(2) 椭圆；
(3) 双曲线．
16 某地发生地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路PA，PB送到矩形灾民区ABCD中去，若PA＝100 km，PB＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近，而另一侧的点沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并在合适的坐标系中求出其方程．
3．2.1　双曲线及其标准方程
1. B　因为A(0，－2)，B(0，2)，所以AB＝4，则PA－PB＝22. A　因为双曲线－＝1(m>0)的焦距为6，所以2c＝6，即c＝3，且a2＝m，b2＝4，c2＝m＋4，所以m＋4＝9，解得m＝5.
3. A　由题意，得PF1－PF2＝60).
4. B　若曲线mx2＋ny2＝1是焦点在x轴上的双曲线，则m>0，n<0，所以mn<0，故必要性成立；若m＝－1，n＝1，则满足mn<0，但是曲线y2－x2＝1是焦点在y轴上的双曲线，故充分性不成立，所以“mn<0”是“曲线mx2＋ny2＝1是焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件．
5. D　若方程＋＝1表示的曲线是焦点在x轴上的双曲线，则解得－46. A　因为2c＝8，即c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2.由双曲线的定义可得|MF1－MF2|＝2a＝4，即|5－MF2|＝4，解得MF2＝1或MF2＝9.当MF2＝1时，MF1＋MF2＝6<8，不符合题意，舍去；当MF2＝9时，MF1＋MF2＝14>8，符合题意．综上，MF2的长为9.
7. D　方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则其标准方程为－＝1，所以sin α<0，cos α>0，所以角α在第四象限．
8. D　因为ab≠0，所以当a<0，b<0时，＋＝1不表示任何曲线；当a>0，b<0时，＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，ax－y＋b＝0表示过第一、三、四象限的直线，故D正确；当a<0，b>0时，＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，ax－y＋b＝0表示过第一、二、四象限的直线，故B错误；当a>0，b>0，且a≠b时，＋＝1表示椭圆，ax－y＋b＝0表示过第一、二、三象限的直线，故A，C错误．
9. AC　由题意，得b2＝c2－a2＝12，所以当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为－＝1；当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为－＝1.故选AC.
10. BC　当m>1时，若m＝2，则方程为x2＋y2＝2，此时为圆，故A错误；当m>2时，方程可化为＋＝1，因为m>2，所以m(m－1)>0，且m(m－1)>m，符合椭圆方程的标准形式，故B正确；当m<0时，＋＝1，因为m<0，所以m(m－1)>0，符合双曲线方程的标准形式，故C正确；若m<1，令m＝0，则方程化为y2－x2＝0，即y＝±x，故D错误．故选BC.
11. －2　显然m≠0，且双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的方程为－＝1，即－＝1.因为(0，2)是双曲线－＝1的一个焦点，所以－2m＝4，解得m＝－2.
12. －＝1　设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0).因为点P(4，2)，Q(2，2)在双曲线上，所以解得所以双曲线的标准方程为－＝1.
13. (3，＋∞)　若双曲线＋＝1的焦点在y轴上，则解得k>3，即实数k的取值范围为(3，＋∞).
14. (1) 因为焦点在x轴上，且c＝，
所以设双曲线的标准方程为－＝1(0又因为双曲线过点(－5，2)，所以－＝1，
解得a2＝5或a2＝30(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
(2) 设所求双曲线的标准方程为－＝1(－16<λ<4).
因为双曲线过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝－4或λ＝14(舍去)，
故所求双曲线的标准方程为－＝1.
15. (1) 方程表示圆，则7－m＝m－1>0，
解得m＝4.
(2) 方程表示椭圆，则
解得1(3) 方程表示双曲线，则(7－m)(m－1)<0，
解得m<1或m>7.
16. 矩形灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样远近，由题意，知界线是第三类点的轨迹．
设M为界线上的任意一点，则PA＋MA＝PB＋MB，MA－MB＝PB－PA＝50，所以界线是以A，B为焦点的双曲线的右支的一部分．
如图，以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
设所求双曲线的方程的标准形式为－＝1(a>0，b>0).因为a＝25，
2c＝AB＝＝50，
所以c＝25，b2＝c2－a2＝3 750，
故双曲线的标准方程为－＝1，
易知点C的坐标为(25，60)，故y的最大值为60，此时x＝35，
故界线所在的曲线方程为－＝1(25≤x≤35，y>0).