3.3.2　抛物线的简单几何性质 同步作业（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．3.2　抛物线的简单几何性质
一、 单项选择题
1 直线y＝x－1被抛物线y2＝4x截得的线段AB的中点坐标是(　　)
A. (2，6) B. (3，2)
C. (6，4) D. (4，6)
2 已知直线y＝x＋b交抛物线y＝于A，B两点，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则b的值为(　　)
A. 2 B. 0 C. 1 D. 4
3 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为该抛物线上任意一点，若AF>1恒成立，则p的取值范围是(　　)
A. (－∞，2) B. (2，＋∞)
C. (－∞，4) D. (4，＋∞)
4 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，过焦点F且斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，则＋的值为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x有且只有1个公共点的直线条数为(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6 已知P是抛物线y2＝4x上的一动点，则点P到直线l：2x－y＋3＝0和y轴的距离之和的最小值是(　　)
A. B.
C. 2 D. －1
7 已知F为抛物线C：y2＝－3x的焦点，过点F的直线y＝kx＋3与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的长为(　　)
A. B. C. D.
8已知圆心在x轴上移动的圆经过点M(－4，0)，且与x轴，y轴分别交于A，B两个动点，过点A，B分别作x轴，y轴的垂线，两条垂线的交点记为P，则点P的轨迹为(　　)
A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
二、 多项选择题
9 已知抛物线C过点A(1，－4)，则下列结论中正确的是(　　)
A. 抛物线C的标准方程可能为y2＝16x
B. 抛物线C的标准方程可能为x2＝－y
C. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D. 过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
10设抛物线C：y2＝2px的焦点为F，准线为x＝－1.A，B是抛物线C上不同的两点，且AF＋BF＝8，则下列结论中正确的是(　　)
A. p＝2
B. 以线段AB为直径的圆必与准线相切
C. 线段AB的长为定值
D. 线段AB的中点E到准线的距离为定值
三、填空题
11已知F为抛物线C：y2＝8x的焦点，A为抛物线C上一点. 若AF＝11，则点F的坐标为________，点A的横坐标为________．
12 已知点A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则线段AB的最小值为________．
13 已知抛物线的方程为x2＝－2y，A，B是抛物线上分别位于y轴两侧的两个动点，且·＝3(其中O为坐标原点)，则直线AB所过定点的坐标为________.
四、解答题
14 (1) 求抛物线y2＝2x的焦点坐标和准线方程；
(2) 求过点P(0，1)且与抛物线y2＝2x有且只有一个公共点的直线方程．
15 如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB，AC交抛物线于B，C两点，求证：直线BC的斜率是定值．
16 已知抛物线C：y2＝2px过点P(4，2)，焦点为F.
(1) 求抛物线C过点P的切线方程；
(2) 从点F发出的光线经过点P被抛物线C反射，求反射光线所在的直线方程．
3．3.2　抛物线的简单几何性质
1. B　联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0，则Δ＝(－6)2－4×1×1＝32>0.设直线y＝x－1与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，故y1＋y2＝(x1－1)＋(x2－1)＝x1＋x2－2＝4，所以线段AB的中点坐标是(3，2).
2. A　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得x2－2x－2b＝0，则Δ＝4＋8b>0，可得b>－，x1x2＝－2b.由题意可知b≠0.因为OA⊥OB，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－2b＋b2＝0，解得b＝2.
3. B　由题意及抛物线的定义可知，AF等于点A到抛物线准线的距离，AF的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即AF≥.若AF>1恒成立，则>1，解得p>2.
4. A　因为抛物线的焦点F到准线的距离为2，即p＝2，则抛物线C的标准方程为y2＝4x，F(1，0)，所以直线l的方程为y＝2(x－1)，即y＝2x－2.设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y并整理，得x2－3x＋1＝0，则Δ＝32－4＝5>0，x1＋x2＝3，x1x2＝1.又由抛物线的定义可知AF＝x1＋1，BF＝x2＋1，所以＋＝＋＝＝1.
5. D　如图，设过点P(0，1)的直线为l，则当直线l与x轴平行时，与抛物线有一个公共点；当直线l和抛物线相切(有两条切线)时，直线与抛物线也只有一个公共点．由图象可知，过点P(0，1)与抛物线y2＝2x有且只有1个公共点的直线有3条．
6. D　由题意，得抛物线的焦点为F(1，0). 设点P到直线l的距离为d.由抛物线的定义可知，点P到y轴的距离为PF－1，所以点P到直线l的距离与到y轴的距离之和为d＋PF－1.易知d＋PF的最小值为点F到直线l的距离，故d＋PF的最小值为焦点F(1，0)到直线l的距离，即＝，所以d＋PF－1的最小值为 －1.
7. C　抛物线C：y2＝－3x的焦点为F，将点代入y＝kx＋3，解得k＝4.联立消去y并整理，得16x2＋27x＋9＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，所以AB＝p－(x1＋x2)＝＋＝.
8. D　设圆心坐标为(a，0)，则圆的方程为(x－a)2＋y2＝(a＋4)2.令y＝0，得x＝－4或x＝2a＋4，则点A(2a＋4，0). 令x＝0，得y2＝8a＋16，则点B(0，±)，所以点P(2a＋4，±)，所以y2＝4x，故点P的轨迹为抛物线．
9. ABD　对于A，当抛物线的焦点在x轴的正半轴时，设抛物线的标准方程为y2＝2px，p>0，将点A(1，－4)代入抛物线C的方程中，得p＝8，则抛物线C的标准方程为y2＝16x，故A正确；对于B，当抛物线的焦点在y轴的负半轴时，设抛物线的标准方程为x2＝－2py，p>0，将点A(1，－4)代入抛物线C的方程中，得p＝，则抛物线C的标准方程为x2＝－y，故B正确；对于C，D，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确．故选ABD.
10. AD　由题意知，抛物线的焦点为F(1，0)，标准方程为y2＝4x，则p＝2，故A正确；令点A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然AF＋BF＝x1＋1＋x2＋1＝8，则x1＋x2＝6，取x1＝0，则x2＝6，即点A(0，0)，B(6，±2)，则AB＝2，以线段AB为直径的圆的圆心为(3，±)，该圆心到准线x＝－1的距离为4，不等于圆的半径，所以该圆与准线不相切，故B错误；以A(0，0)，B(6，±2)为端点的线段长为AB＝2，当直线AB垂直于x轴时，x1＝x2＝3，此时AB＝4，故C错误；线段AB的中点 E 的横坐标为3，则点E到准线的距离为3－(－1)＝4，故D正确．故选AD.
11. (2，0)　9　由题意，得抛物线C的焦点为F(2，0).设点A(x，y)，因为AF＝x＋2＝11，所以x＝9.
12. 　设点B(x，y)，则x＝y2≥0.因为AB＝＝＝＝，所以当x＝时，AB取得最小值，最小值为.
13. (0，－3)　设直线AB的方程为y＝tx＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB与y轴的交点为M(0，m).联立消去y并整理，得x2＋2tx＋2m＝0，则x1＋x2＝－2t，x1x2＝2m.因为·＝3，所以x1x2＋y1y2＝3.因为x＝－2y1，x＝－2y2，所以x1x2＋＝3.又点A，B位于y轴的两侧，所以x1x2＝－6，所以2m＝－6，解得m＝－3，所以直线AB的方程为y＝tx－3，所以直线AB经过定点(0，－3).
14. (1) 因为抛物线y2＝2x，
所以2p＝2，＝.
因为抛物线焦点在x轴的正半轴上，
所以焦点为F，准线方程为x＝－.
(2) 若直线没有斜率，则x＝0与抛物线相切，满足要求；
若所求直线有斜率，则由其过点P(0，1)，设其方程为y＝kx＋1.
联立消去y并整理，得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.
当k＝0时，直线方程为y＝1，解得只有一个公共点；
当k≠0时，Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝，此时直线的方程为y＝x＋1.
综上，所求直线的方程为x＝0或y＝1或x－2y＋2＝0.
15. 由题意可设kAB＝k(k≠0).
因为直线AB，AC的倾斜角互补，
所以kAC＝－k(k≠0)，
所以直线AB的方程是y＝k(x－4)＋2.
联立消去y并整理，得k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.
因为A(4，2)，B(xB，yB)是上述方程组的解，
所以4·xB＝，即xB＝.
以－k代换xB中的k，得xC＝，
所以kBC＝＝＝＝＝－，
所以直线BC的斜率为定值－.
16. (1) 由抛物线C：y2＝2px过点P(4，2)，得22＝2p×4，解得p＝，
所以所求抛物线C的标准方程为y2＝x.
由题可设切线的方程为x－4＝m(y－2)，
联立消去x并整理，得y2－my＋2m－4＝0，
令Δ＝m2－4×1×(2m－4)＝0，解得m＝4，
所以所求切线方程为x－4y＋4＝0.
(2) 由题意知，点F发出的入射光线所在的直线与反射光线所在的直线关于抛物线C在点P处的切线l对称，
又F，
设点F关于点P处的切线l的对称点为Q(x0，y0)，则由FQ的中点在直线l上及FQ⊥l，得解得
即Q，
所以所求反射光线所在的直线方程为y＝2.