3.3.2　抛物线的简单几何性质 同步练习（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3．3.2　抛物线的简单几何性质
一、 单项选择题
1 抛物线y＝2x2的准线方程是(　　)
A. y＝ B. y＝－
C. x＝ D. x＝－
2抛物线y＝x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为(　　)
A. 4 B. 2
C. D. 1
3 顶点在坐标原点，关于y轴对称，并且经过点M(－2，1)的抛物线方程为(　　)
A. y2＝x B. y2＝－x
C. x2＝4y D. x2＝－4y
4已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线－y2＝1的一个焦点，则p的值为(　　)
A. 2 B.
C. 2 D. 4
5设抛物线y2＝4x的焦点为F，过抛物线上一点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则PQ的长为(　　)
A. B.
C. D.
6过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则＋等于(　　)
A. B. p2 C. D.
7若斜率为1的直线l经过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，线段AB的长为8，则p的值为(　　)
A. B. 1
C. 2 D. 3
8 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)
A. － B.
C. ± D.
二、 多项选择题
9已知抛物线y＝x2，焦点为F，准线为l，弦PQ过点F，则下列说法中正确的是(　　)
A. 焦点F的坐标为
B. 准线l的方程为x＝－
C. 若点P(x0，y0)，则FP＝y0＋
D. 弦PQ的长度大于等于1
10 设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在y轴上．若线段FM的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点M的坐标为(　　)
A. (0，－1) B. (0，－2)
C. (0，2) D. (0，1)
三、填空题
11 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于其对称轴的直线交抛物线C于点M，N，若MN＝4，则焦点到其准线的距离为________.
12已知抛物线C的焦点为F(0，1)，则抛物线C的标准方程为________. 设点Q(2，3)，点P在抛物线C上，则PF＋PQ的最小值为________．
13 如图，已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作AB⊥l于点B，AK＝AF，则△AFK的面积为________．
四、 解答题
14 求适合下列条件的抛物线的标准方程．
(1) 关于y轴对称，准线经过点(4，－4)；
(2) 关于x轴对称，且经过点(－3，2)；
(3) 顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x－4y－12＝0上．
15 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2.
(1) 求抛物线C的标准方程和准线方程；
(2) 若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F，且与抛物线C相交于A，B两点，求线段AB的长．
16 设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点M的横坐标为2，且AF＋BF＝6.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若直线l(斜率存在)经过焦点F，求直线l的方程．
3．3.2　抛物线的简单几何性质
1. B　抛物线方程化成标准方程为x2＝y，所以2p＝，解得p＝，且抛物线开口向上，所以抛物线的准线方程为y＝－＝－.
2. A　将A(x0，2)代入抛物线方程，得2＝×x，即x0＝±4.因为该抛物线的对称轴为y轴，所以抛物线上的点A到其对称轴的距离为4.
3. C　由题意可设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，将点M(－2，1)代入，得a＝4，所以所求抛物线方程为x2＝4y.
4. C　因为双曲线－y2＝1的焦点坐标为(±，0)，抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线－y2＝1的一个焦点，所以－＝－，p＝2.
5. C　作出示意图如图，则由抛物线的性质，得PF＝PQ.又∠PQF＝30°，所以PF的倾斜角为120°，可得PF＋PQ＝PF＋PF＝p＝2，所以PQ＝PF＝＝.
6. C　由题意，得直线的斜率不为0，设过焦点F的直线方程为x＝ty＋，将直线方程与抛物线方程联立，消去x并整理，得y2－2pty－p2＝0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝2pt，y1y2＝－p2，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋p＝2pt2＋p，x1x2＝＝，则＋＝＋＝＝＝.
7. C　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线l方程为y＝x－，联立消去x并整理，得y2－2py－p2＝0，y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2.因为线段AB的长为·＝×＝4p＝8，解得p＝2.
8. A　将y＝1代入y2＝4x，得x＝，即A(，1).由抛物线的光学性质可知，直线AB经过焦点F(1，0)，所以直线AB的斜率为＝－.
9. CD　由x2＝y，得2p＝1，故p＝，所以焦点为，故A错误；准线l的方程为y＝－，故B错误；根据焦半径公式可得若点P(x0，y0)，则FP＝y0＋，故C正确；设过点F的直线方程为y＝kx＋，联立其与抛物线的方程可得x2－kx－＝0，设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则Δ＝k2＋1>0，x1＋x2＝k，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋＝k2＋，故PQ＝y1＋y2＋p＝k2＋1≥1，故当k＝0时，此时弦PQ最短长度为1，即PQ≥1，故D正确．故选CD.
10. BC　设点M(0，y0)，易知点F，则点B.如图，过点B作准线的垂线，交准线于点B1，则BB1＝＋＝，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝2x，且点B.又点B在抛物线上，所以y＝2×，解得y0＝±2，所以点M的坐标为(0，2)或(0，－2).故选BC.
11. 2　因为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于其对称轴的直线交抛物线C于点M，N，所以xM＝xN＝.将xM＝xN＝代入抛物线方程，可得yM＝p，yN＝－p，所以MN＝p＋p＝2p＝4，解得p＝2，所以焦点到其准线的距离为2.
12. x2＝4y　4　因为抛物线C的焦点为F(0，1)，所以＝1，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.抛物线的准线为l：y＝－1，过点P向准线作PM⊥l于点M，由抛物线的性质可得PF＝PM，所以PF＋PQ＝PM＋PQ，当Q，P，M三点在一条直线上时，PM＋PQ的值最小，最小值即为点Q到准线l：y＝－1的距离3＋1＝4.
13. 8　由题意，得抛物线的焦点为F(2，0)，准线l的方程为x＝－2，所以点K(－2，0).设点A(x0，y0)(y0＞0)，则点B(－2，y0)，所以AF＝AB＝x0－(－2)＝x0＋2.又AK＝AF，可得x0＝2，y0＝4，即点A(2，4)，所以△AFK的面积为KF·y0＝×4×4＝8.
14. (1) 由题意知，抛物线焦点在y轴正半轴上，且＝4，所以p＝8，
故抛物线标准方程为x2＝16y.
(2) 由题意可设抛物线标准方程为y2＝－2px(p>0)，将点(－3，2)代入，得p＝，
故抛物线的标准方程为y2＝－x.
(3) 由于直线3x－4y－12＝0与x轴的交点为(4，0)，
由题意可知抛物线焦点为(4，0)，则＝4，所以p＝8，
故抛物线的标准方程为y2＝16x.
15. (1) 因为焦点F到准线的距离是p＝2，抛物线C的标准方程为y2＝2px，
所以抛物线C的标准方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.
(2) 由(1)知，焦点F(1，0)，直线l的方程为y＝x－1.
联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，Δ＝62－4>0，
所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
16. (1) 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点M的横坐标x＝＝2，
所以x1＋x2＝4.
又AF＋BF＝x1＋x2＋p＝4＋p＝6，解得p＝2，
所以抛物线的标准方程为y2＝4x.
(2) 由(1)可知抛物线的焦点为F(1，0).
设直线l的方程为y＝k(x－1)，k≠0，
联立消去y并整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝＝4，解得k＝±，
所以直线l的方程为y＝(x－1)或y＝－(x－1).