3.3.2 抛物线的简单几何性质
一、 单项选择题
1 抛物线y=2x2的准线方程是( )
A. y= B. y=-
C. x= D. x=-
2抛物线y=x2上一点A(x0,2)到其对称轴的距离为( )
A. 4 B. 2
C. D. 1
3 顶点在坐标原点,关于y轴对称,并且经过点M(-2,1)的抛物线方程为( )
A. y2=x B. y2=-x
C. x2=4y D. x2=-4y
4已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线-y2=1的一个焦点,则p的值为( )
A. 2 B.
C. 2 D. 4
5设抛物线y2=4x的焦点为F,过抛物线上一点P作其准线的垂线,设垂足为Q,若∠PQF=30°,则PQ的长为( )
A. B.
C. D.
6过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则+等于( )
A. B. p2 C. D.
7若斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,线段AB的长为8,则p的值为( )
A. B. 1
C. 2 D. 3
8 抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线y2=4x的焦点为F,一条平行于x轴的光线从点M(3,1)射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,则直线AB的斜率为( )
A. - B.
C. ± D.
二、 多项选择题
9已知抛物线y=x2,焦点为F,准线为l,弦PQ过点F,则下列说法中正确的是( )
A. 焦点F的坐标为
B. 准线l的方程为x=-
C. 若点P(x0,y0),则FP=y0+
D. 弦PQ的长度大于等于1
10 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在y轴上.若线段FM的中点B在抛物线上,且点B到抛物线准线的距离为,则点M的坐标为( )
A. (0,-1) B. (0,-2)
C. (0,2) D. (0,1)
三、填空题
11 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于其对称轴的直线交抛物线C于点M,N,若MN=4,则焦点到其准线的距离为________.
12已知抛物线C的焦点为F(0,1),则抛物线C的标准方程为________. 设点Q(2,3),点P在抛物线C上,则PF+PQ的最小值为________.
13 如图,已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线l与x轴的交点为K,点A在抛物线C上,且在x轴的上方,过点A作AB⊥l于点B,AK=AF,则△AFK的面积为________.
四、 解答题
14 求适合下列条件的抛物线的标准方程.
(1) 关于y轴对称,准线经过点(4,-4);
(2) 关于x轴对称,且经过点(-3,2);
(3) 顶点在原点,对称轴为x轴,焦点在直线3x-4y-12=0上.
15 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2.
(1) 求抛物线C的标准方程和准线方程;
(2) 若斜率为1的直线l经过抛物线C的焦点F,且与抛物线C相交于A,B两点,求线段AB的长.
16 设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l与抛物线C交于不同的两点A,B,线段AB的中点M的横坐标为2,且AF+BF=6.
(1) 求抛物线C的标准方程;
(2) 若直线l(斜率存在)经过焦点F,求直线l的方程.
3.3.2 抛物线的简单几何性质
1. B 抛物线方程化成标准方程为x2=y,所以2p=,解得p=,且抛物线开口向上,所以抛物线的准线方程为y=-=-.
2. A 将A(x0,2)代入抛物线方程,得2=×x,即x0=±4.因为该抛物线的对称轴为y轴,所以抛物线上的点A到其对称轴的距离为4.
3. C 由题意可设抛物线方程为x2=ay(a≠0),将点M(-2,1)代入,得a=4,所以所求抛物线方程为x2=4y.
4. C 因为双曲线-y2=1的焦点坐标为(±,0),抛物线y2=2px(p>0)的准线经过双曲线-y2=1的一个焦点,所以-=-,p=2.
5. C 作出示意图如图,则由抛物线的性质,得PF=PQ.又∠PQF=30°,所以PF的倾斜角为120°,可得PF+PQ=PF+PF=p=2,所以PQ=PF==.
6. C 由题意,得直线的斜率不为0,设过焦点F的直线方程为x=ty+,将直线方程与抛物线方程联立,消去x并整理,得y2-2pty-p2=0,由根与系数的关系,得y1+y2=2pt,y1y2=-p2,x1+x2=t(y1+y2)+p=2pt2+p,x1x2==,则+=+===.
7. C 设点A(x1,y1),B(x2,y2),设直线l方程为y=x-,联立消去x并整理,得y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,y1y2=-p2.因为线段AB的长为·=×=4p=8,解得p=2.
8. A 将y=1代入y2=4x,得x=,即A(,1).由抛物线的光学性质可知,直线AB经过焦点F(1,0),所以直线AB的斜率为=-.
9. CD 由x2=y,得2p=1,故p=,所以焦点为,故A错误;准线l的方程为y=-,故B错误;根据焦半径公式可得若点P(x0,y0),则FP=y0+,故C正确;设过点F的直线方程为y=kx+,联立其与抛物线的方程可得x2-kx-=0,设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=k2+1>0,x1+x2=k,则y1+y2=k(x1+x2)+=k2+,故PQ=y1+y2+p=k2+1≥1,故当k=0时,此时弦PQ最短长度为1,即PQ≥1,故D正确.故选CD.
10. BC 设点M(0,y0),易知点F,则点B.如图,过点B作准线的垂线,交准线于点B1,则BB1=+=,解得p=,所以抛物线的方程为y2=2x,且点B.又点B在抛物线上,所以y=2×,解得y0=±2,所以点M的坐标为(0,2)或(0,-2).故选BC.
11. 2 因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F且垂直于其对称轴的直线交抛物线C于点M,N,所以xM=xN=.将xM=xN=代入抛物线方程,可得yM=p,yN=-p,所以MN=p+p=2p=4,解得p=2,所以焦点到其准线的距离为2.
12. x2=4y 4 因为抛物线C的焦点为F(0,1),所以=1,所以抛物线C的标准方程为x2=4y.抛物线的准线为l:y=-1,过点P向准线作PM⊥l于点M,由抛物线的性质可得PF=PM,所以PF+PQ=PM+PQ,当Q,P,M三点在一条直线上时,PM+PQ的值最小,最小值即为点Q到准线l:y=-1的距离3+1=4.
13. 8 由题意,得抛物线的焦点为F(2,0),准线l的方程为x=-2,所以点K(-2,0).设点A(x0,y0)(y0>0),则点B(-2,y0),所以AF=AB=x0-(-2)=x0+2.又AK=AF,可得x0=2,y0=4,即点A(2,4),所以△AFK的面积为KF·y0=×4×4=8.
14. (1) 由题意知,抛物线焦点在y轴正半轴上,且=4,所以p=8,
故抛物线标准方程为x2=16y.
(2) 由题意可设抛物线标准方程为y2=-2px(p>0),将点(-3,2)代入,得p=,
故抛物线的标准方程为y2=-x.
(3) 由于直线3x-4y-12=0与x轴的交点为(4,0),
由题意可知抛物线焦点为(4,0),则=4,所以p=8,
故抛物线的标准方程为y2=16x.
15. (1) 因为焦点F到准线的距离是p=2,抛物线C的标准方程为y2=2px,
所以抛物线C的标准方程为y2=4x,准线方程为x=-1.
(2) 由(1)知,焦点F(1,0),直线l的方程为y=x-1.
联立消去y并整理,得x2-6x+1=0,
则x1+x2=6,x1x2=1,Δ=62-4>0,
所以AB=x1+x2+p=6+2=8.
16. (1) 设点A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点M的横坐标x==2,
所以x1+x2=4.
又AF+BF=x1+x2+p=4+p=6,解得p=2,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.
(2) 由(1)可知抛物线的焦点为F(1,0).
设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,
联立消去y并整理,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,
所以x1+x2==4,解得k=±,
所以直线l的方程为y=(x-1)或y=-(x-1).