第二章 直线和圆的方程 同步练习 （含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章　直线和圆的方程
一、 单项选择题
1 (四川期中)过点P(1，－1)且倾斜角为135°的直线方程为(　　)
A. 2x－y－3＝0
B. x－y－2＝0
C. x＋y－2＝0
D. x＋y＝0
2 若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
3 (宁波期中)已知直线l1：(3a＋1)x＋2ay－1＝0和直线l2：ax－3y＋3＝0，则“a＝”是“l1⊥l2”的(　　)
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4 (山东开学考试)已知曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异的交点，则实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5 (济南二模)已知圆C：x2＋y2＝1，A(4，a)，B(4，－a)，若圆C上有且仅有一点P使PA⊥PB，则正实数a的取值为(　　)
A. 2或4 B. 2或3
C. 4或5 D. 3或5
6 (唐山期中)已知(x1＋2)2＋y＝5，x2＋2y2＝4，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为(　　)
A. B. C. D.
7 (三门峡期末)若圆(x－a)2＋(y＋2)2＝16上存在到直线4x－3y－2＝0的距离等于1的点，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C. ∪
D. ∪
8 (晋中期中)已知圆C：(x＋6)2＋(y－7)2＝49和点A(0，－4)，B(0，2)，若点M在圆C上，且AM2＋BM2＝m2，则实数m的最小值是(　　)
A. 2 B. 6
C. －6 D. －2
二、 多项选择题
9 (张家口开学考试)已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1，一条光线从点A(6，4)射出经x轴反射，则下列结论中正确的是(　　)
A. 圆C关于直线y＝x对称
B. 若圆C关于反射光线对称，则入射光线所在直线的方程为3x－2y＋10＝0
C. 若反射光线与圆C相切，则这条光线从点A到切点所经过的路程为
D. 存在两条反射光线与圆C相切
10 (合肥二模)已知圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4，a∈R，则下列结论中正确的是(　　)
A. 两圆的圆心距OC的最小值为1
B. 若圆O与圆C相切，则a＝±2
C. 若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2D. 若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
三、填空题
11 (上海延安中学期末)若过点A(3，4)，Q(6，3a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围为________.
12 (上海期末)经过圆x2＋y2－4y＋2＝0上一点(－1，1)且与圆相切的直线的一般方程为________.
13 (沈阳二模)已知点A(－1，0)，B(－4，0)，PB＝2PA，若平面内满足到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离为1的点P有且只有3个，则实数m的值为________．
四、解答题
14 (天津新华中学月考)已知直线m：(a－1)x＋(2a＋3)y－a＋6＝0，直线n：x－2y＋3＝0.
(1) 若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；
(2) 当a＝0时，直线l过直线m与直线n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程．
15 (深圳期中)已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M(1，).
(1) 求圆C的方程；
(2) 若直线l经过点M(1，)且与圆C相切，求直线l的方程；
(3) 已知P是圆C上的动点，试求点P到直线 x＋y－4＝0的距离的最大值.
16 (石家庄精英中学调研)在△ABC中，顶点A在直线y＝x上，顶点B的坐标为(－4，0)，边AB的中线CD所在的直线方程为5x＋7y－2＝0，边BC的垂直平分线的斜率为.
(1) 求直线AC的方程；
(2) 若直线l过点B，且点A，点C到直线l的距离相等，求直线l的方程．
第二章　直线和圆的方程
本 章 复 习
1. D　
2. B　由题意，得直线l：y＝kx－恒过点P(0，－)，且直线2x＋3y－6＝0与坐标轴的交点分别为A(3，0)，B(0，2)，所以直线AP的斜率kAP＝，此时倾斜角为；直线BP的斜率不存在，此时倾斜角为，所以直线l的倾斜角的取值范围是.
3. B　若l1⊥l2，则a×(3a＋1)＋2a×(－3)＝0，解得a＝0或a＝，所以“a＝”是“l1⊥l2”的充分不必要条件．
4. B　由y＝1＋，得x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，所以曲线y＝1＋表示以(0，1)为圆心，2为半径的上半圆，易知直线y＝k(x－2)＋4恒过定点(2，4)，如图所示，当y＝k(x－2)＋4过点(－2，1)时，满足两个相异的交点，且此时k取得最大值，最大值为＝；当y＝k(x－2)＋4与y＝1＋相切时，＝2，解得k＝，故若曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异的交点，则k∈.
5. D　由题意可知圆C：x2＋y2＝1的圆心为C(0，0)，半径r＝1，且a>0.因为PA⊥PB，所以点P的轨迹为以线段AB的中点M(4，0)为圆心，半径R＝a的圆．又因为点P在圆C：x2＋y2＝1上，可知圆C与圆M有且仅有一个公共点，则CM＝r＋R或CM＝|r－R|，即4＝1＋a或4＝|1－a|，解得a＝3或a＝5.
6. B　易知(x1－x2)2＋(y1－y2)2为圆(x＋2)2＋y2＝5上一点A(x1，y1)与直线x＋2y＝4上一点B(x2，y2)的距离的平方．又圆心C(－2，0)，半径r＝，点C到直线x＋2y＝4的距离d＝＝，所以(AB)＝(d－r)2＝.
7. A　由圆(x－a)2＋(y＋2)2＝16可得圆心(a，－2)，半径r＝4，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝，当直线与圆相离或相切，即d≥r时，圆上的点到直线的距离最小值为d－r，由题意，得0≤d－r≤1，解得－≤a≤－6或4≤a≤；当直线与圆相交，即d1，所以不等式显然成立．由不等式r－d>0，解得－68. D　设M(x，y)，由AM2＋BM2＝m2，得x2＋(y＋4)2＋x2＋(y－2)2＝m2，化简，得x2＋(y＋1)2＝.若m2<18，此时点M(x，y)不存在，舍去；若m2＝18，此时点M的坐标为(0，－1)，但(0，－1)不在圆C：(x＋6)2＋(y－7)2＝49上，不符合要求，舍去；若m2>18，则点M在圆N：x2＋(y＋1)2＝上，圆心为N(0，－1)，半径r1＝.易知圆心C(－6，7)，半径r2＝7.又点M在圆C上，所以圆C与圆N有公共点，所以≤≤＋7，解得36≤m2≤596，所以－2≤m≤－6或6≤m≤2，故实数m的最小值为－2.
9. ACD　对于A，由(x－2)2＋(y－2)2＝1可知圆心为(2，2).因为直线y＝x经过点(2，2)，所以圆C关于直线y＝x对称，故A正确；对于B，若圆C关于反射光线对称，则反射光线经过圆心(2，2)，所以入射光线经过点A(6，4)及圆心(2，2)关于x轴对称的点(2，－2)，当x＝6时，y＝＝14，所以点A(6，4)不在直线3x－2y＋10＝0上，即入射光线所在直线的方程不是3x－2y＋10＝0，故B错误；对于C，易知反射光线必经过点A(6，4)关于x轴对称的点(6，－4)，且从点A到切点所经过的路程与点(6，－4)到切点所经过的路程相等，由切线的性质可得该路程为＝，故C正确；对于D，设反射光线的方程为y＝k(x－6)－4，即kx－y－6k－4＝0，则有＝1，即15k2＋48k＋35＝0.又Δ＝482－4×15×35＝204>0，所以该方程有两个不同解，即存在两条反射光线与圆C相切，故D正确．故选ACD.
10. AD　由题意，得圆O：x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r＝1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2＝4的圆心为C(a，1)，半径R＝2.对于A，两圆的圆心距OC＝≥1，故A正确；对于B，当两圆内切时，圆心距OC＝R－r＝1，即＝1，解得a＝0；当两圆外切时，圆心距OC＝R＋r＝3，即＝3，解得a＝±2.综上，若两圆相切，则a＝0或a＝±2，故B错误；对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，OC∈(R－r，R＋r)，即∈(1，3)，解得－211. 　由题意，得直线AQ的斜率k＝＝a－.因为直线AQ的倾斜角为锐角，所以a－>0，解得a>.
12. x＋y＝0　由x2＋y2－4y＋2＝0，得x2＋(y－2)2＝2，则圆心坐标为M(0，2).因为点N(－1，1)在圆上，所以kMN＝＝1，则切线的斜率为－1，所以切线方程为y－1＝－(x＋1)，即x＋y＝0.
13. 5或－5　设点P(x，y)，由PB＝2PA，得＝2，两边平方整理，得x2＋y2＝4，即点P的轨迹是圆，圆心在原点，半径为2.若该圆上有且只有3个点到直线l：3x＋4y＋m＝0的距离为1，则圆心到直线l的距离d＝＝1，解得m＝±5.
14. (1) 设原点O到直线m的距离为d，
则d＝＝，
解得a＝－或a＝－.
(2) 当a＝0时，直线m：－x＋3y＋6＝0.
联立解得
所以直线m与直线n的交点为(－21，－9).
当直线l经过原点时，此时直线斜率为，
所以直线l的方程为3x－7y＝0；
当直线l不经过原点时，设直线l的方程为＋＝1，
将点(－21，－9)代入，得b＝－12，
所以直线l的方程为x－y＋12＝0.
综上，直线l的方程为3x－7y＝0或x－y＋12＝0.
15. (1) 由题意，得圆C的半径为OM＝＝2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2) 易得直线CM的斜率kCM＝，
所以直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y－＝－(x－1)，即y＝－x＋.
(3)易得圆心C(0，0)到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2>2，
所以直线x＋y－4＝0与圆C相离，
所以点P到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为2＋2.
16. (1) 由边BC的垂直平分线的斜率为，
得直线BC的方程为y＝－(x＋4)，即2x＋5y＋8＝0.
又边AB的中线CD所在的直线方程为5x＋7y－2＝0，
联立解得
则C(6，－4).
设点A(a，a)，则点D，
所以5×＋7×－2＝0，解得a＝2，
即点A(2，2)，
则直线AC的斜率k＝＝－，
所以直线AC的方程为y－2＝－(x－2)，即3x＋2y－10＝0.
(2) 由(1)知，A(2，2)，C(6，－4)，
由直线l过点B，且点A，点C到直线l的距离相等，
得直线l过边AC的中点(4，－1)或l∥AC.
当直线l过点(4，－1)时，直线l的斜率为＝－，
所以直线l的方程为y＝－(x＋4)，即x＋8y＋4＝0；
当直线l∥AC时，直线l的斜率为－，
所以直线l的方程为y＝－(x＋4)，即3x＋2y＋12＝0.
综上，直线l的方程为x＋8y＋4＝0或3x＋2y＋12＝0.