第三章 圆锥曲线的方程
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一、 单项选择题
1 (四川泸县五中月考)已知双曲线C:-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,则实数a的值为( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 3
2 已知抛物线y=x2,则抛物线的焦点到准线的距离为( )
A. B. C. 8 D. 16
3 (应城一中开学考试)已知F1,F2是椭圆C:x2+=1的两个焦点,点M在椭圆C上,则MF1·MF2的最大值为( )
A. 1 B. 4 C. 9 D. 6
4 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
5 已知双曲线-y2=1(a>0)的渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则a的值为( )
A. 3 B. C. D.
6 若长为3的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为( )
A. +=1 B. +=1 C. +=1 D. +=1
7 (湖北月考)椭圆+=1上的点P到直线x+2y-8=0的最大距离为( )
A. B. C. D. 2
8 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则双曲线C的标准方程为( )
A. -=1 B. -=1 C. -=1 D. -=1
二、 多项选择题
9 下列双曲线中,以直线3x±4y=0为渐近线的是( )
A. -=1 B. -=1
C. -=1 D. -=1
10 (宿迁期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过抛物线C上一点A(2,2)作两条斜率之和为0的直线,与抛物线C的另外两个交点分别为M,N,则下列说法中正确的是( )
A. 抛物线C的准线方程是x=-
B. 直线MN的斜率为定值
C. 若圆N与以为半径的圆F相外切,则圆N与直线x=0相切
D. 若△AMN的面积为,则直线MN的方程为3x+6y+4=0
三、填空题
11 (山东大教育联盟联考)双曲线C1:x2-y2=2的两条渐近线分别与圆C2:(x-2)2+y2=4交于点A, B(异于原点O),则AB的长为________.
12 已知过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和为5,则这样的直线有________条.
13 已知A(0,1)是椭圆x2+4y2=4上的点,P是椭圆上的动点,当弦AP的长度最大时,则点P的坐标是________.
四、解答题
14 (乐山期末)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,且两顶点间的距离是4,虚轴长是实轴长的.
(1) 求双曲线C的离心率;
(2) 直线y=kx(k≠0)与双曲线交于A,B两点,若四边形AF1BF2的面积为2,求AB的长.
15 (内江期末)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点.
(1) 求点F的坐标和抛物线C的准线方程;
(2) 设点M(t,2)在抛物线C的准线上,若MF⊥l,求△MAB的面积.
16 (南京期末)对于椭圆:+=1(a>b>0),我们称双曲线:-=1为其伴随双曲线. 已知椭圆C:+=1(0(1) 求椭圆C伴随双曲线M的标准方程;
(2) 如图,E,F分别为双曲线M的下顶点和上焦点,过点F的直线l与双曲线M的上支交于A,B两点,△ABE的面积为(3+2),求直线AB的方程.
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1. A 因为双曲线C:-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,所以a=3.
2. C 由y=x2,得x2=16y,所以2p=16,故p=8,故抛物线的焦点到准线的距离为p=8.
3. B 由椭圆的定义,得MF1+MF2=2a=4,由基本不等式,得MF1·MF2≤=4,当且仅当MF1=MF2=2时,等号成立,故MF1·MF2的最大值为4.
4. C 因为直线x-2y-4=0与坐标轴的两个交点分别是(4,0)和(0,-2),由椭圆性质可知a=4,b=2,所以c==2,所以该椭圆的离心率为e==.
5. C 由双曲线-y2=1(a>0),得其一条渐近线为ay+x=0.圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1.因为双曲线的渐近线与圆相切,所以=1,解得a=(负值舍去).
6. D 设点M(x,y),A(a,0),B(0,b),由题意,得即所以AB===3,即x2+=9,所以+=1.
7. C 由P(x,y)是椭圆+=1上的动点,可设x=2cos α,y=sin α(0≤α≤2π),由点到直线的距离公式可得d==. 因为4sin ∈[-4,4],所以∈[4,12],所以d∈,所以点P到直线x+2y-8=0的最大距离为d=.
8. B 由题意,得=,且椭圆+=1的焦点(3,0),(-3,0)也是双曲线的焦点,则a2+b2=c2=9,解得a=2,b=,则双曲线C的标准方程为-=1.
9. AD 因为双曲线-=1的渐近线为±=0,即3x±4y=0,故A正确;因为双曲线-=1的渐近线为±=0,即3y±4x=0,故B错误;因为双曲线-=1的渐近线为±=0,即4x±3y=0,故C错误;因为双曲线-=1的渐近线为±=0,即3x±4y=0,故D正确.故选AD.
10. AC 由题意,得22=2p×2,解得p=1,即抛物线C:y2=2x,焦点为F,准线方程为x=-,故A正确;设M(x1,y1),N(x2,y2),显然x1≠x2,x1≠2,x2≠2,直线AM的斜率k1===,同理直线AN的斜率k2=,由k1+k2=0,得+=0,解得y1+y2=-4,所以直线MN的斜率k==-,故B错误;圆F:+y2=,令圆N的半径为r,由圆N与圆F相外切,得NF=r+.又NF=x2+,所以x2=r,即圆N的圆心到y轴的距离为圆N的半径,则圆N与直线x=0相切,故C正确;联立消去x并整理,得y2+4y+=0,Δ=16-=>0,y1+y2=-4,y1y2=,MN=·=,而点A到直线3x+6y+4=0的距离d=,则△AMN的面积S=MN·d=××=>,故D错误.故选AC.
11. 4 双曲线C1:x2-y2=2的渐近线方程为y=±x.由且x≠0,可得A(2,2).由且x≠0,可得B(2,-2),所以AB=4.
12. 2 由题意,得抛物线焦点为(1,0).当该直线斜率不存在时,此时直线的方程为x=1,则xA+xB=2,不符合题意,所以设直线的方程为y=k(x-1).代入y2=4x,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0,则xA+xB= =5,解得k=±,所以这样的直线有2条.
13. 设点P(2cos θ,sin θ),则AP==,所以当sin θ=-时,AP取得最大值,此时点P的坐标为.
14. (1) 因为2a=4,2b=×2a,所以a=2,b=1.
因为c2=a2+b2,所以c=,
所以双曲线的离心率e==.
(2) 因为直线y=kx(k≠0)与双曲线交于A,B两点,如图,所以A,B两点关于原点O对称,设点A(x0,y0),B(-x0,-y0).
又OF1=OF2,所以△AOF2的面积为,
所以·c·|y0|=,所以|y0|=1.
又点A(x0,y0)在双曲线-y2=1上,则x=8,
所以OA===3,
所以AB=2OA=6.
15. (1) 因为抛物线C的标准方程为y2=4x,
所以抛物线C的焦点F的坐标为(1,0),准线方程为x=-1.
(2) 因为点M(t,2)在抛物线C的准线上,所以t=-1,即M(-1,2),此时kMF==-1.
因为MF⊥l,所以kMF·kl=-1,解得kl=1,
所以直线l的方程为y=x-1.
设点A(x1,y1),B(x2,y2),
联立消去y并整理,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,所以AB=x1+x2+2=8.
因为MF==2,
则S△MAB=×AB×MF=×8×2=8.
16. (1) 设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为e1,e2.由题意,得a2=3,e1=e2,
即e=e,即=×,解得b2=1,
所以椭圆C:+x2=1,则椭圆C伴随双曲线M的标准方程为-x2=1.
(2) 由(1) 可知F(0,2),E(0,-),设直线l的斜率为k,点A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线l的方程为y=kx+2,与双曲线-x2=1联立,消去y并整理,得(k2-3)x2+4kx+1=0,
则Δ=12k2+12>0,所以x1+x2=,x1x2=.
则|x1-x2|===.
又EF=2+,
所以S△ABE=EF·|x1-x2|=(2+)·=(3+2),
解得k2=1或k2=7.
因为直线l与双曲线M的上支交于A,B两点,
所以y1y2>0,即(kx1+2)(kx2+2)>0,
k2x1x2+2k(x1+x2)+4>0,即<0,
解得k2<3,所以k=±1,
所以直线AB的方程为y=x+2或y=-x+2.