第三章圆锥曲线的方程 同步练习（含答案） 2025-2026学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章　圆锥曲线的方程
本 章 复 习
一、 单项选择题
1 (四川泸县五中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，则实数a的值为(　　)
A. 3 B. 2 C. 3 D. 3
2 已知抛物线y＝x2，则抛物线的焦点到准线的距离为(　　)
A. B. C. 8 D. 16
3 (应城一中开学考试)已知F1，F2是椭圆C：x2＋＝1的两个焦点，点M在椭圆C上，则MF1·MF2的最大值为(　　)
A. 1 B. 4 C. 9 D. 6
4 已知中心在坐标原点的椭圆经过直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点，则该椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
5 已知双曲线－y2＝1(a>0)的渐近线与圆x2＋y2－4y＋3＝0相切，则a的值为(　　)
A. 3 B. C. D.
6 若长为3的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则点A关于点B对称的点M的轨迹方程为(　　)
A. ＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1 D. ＋＝1
7 (湖北月考)椭圆＋＝1上的点P到直线x＋2y－8＝0的最大距离为(　　)
A. B. C. D. 2
8 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则双曲线C的标准方程为(　　)
A. －＝1 B. －＝1 C. －＝1 D. －＝1
二、 多项选择题
9 下列双曲线中，以直线3x±4y＝0为渐近线的是(　　)
A. －＝1 B. －＝1
C. －＝1 D. －＝1
10 (宿迁期末)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过抛物线C上一点A(2，2)作两条斜率之和为0的直线，与抛物线C的另外两个交点分别为M，N，则下列说法中正确的是(　　)
A. 抛物线C的准线方程是x＝－
B. 直线MN的斜率为定值
C. 若圆N与以为半径的圆F相外切，则圆N与直线x＝0相切
D. 若△AMN的面积为，则直线MN的方程为3x＋6y＋4＝0
三、填空题
11 (山东大教育联盟联考)双曲线C1：x2－y2＝2的两条渐近线分别与圆C2：(x－2)2＋y2＝4交于点A, B(异于原点O)，则AB的长为________．
12 已知过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和为5，则这样的直线有________条．
13 已知A(0，1)是椭圆x2＋4y2＝4上的点，P是椭圆上的动点，当弦AP的长度最大时，则点P的坐标是________．
四、解答题
14 (乐山期末)已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且两顶点间的距离是4，虚轴长是实轴长的.
(1) 求双曲线C的离心率；
(2) 直线y＝kx(k≠0)与双曲线交于A，B两点，若四边形AF1BF2的面积为2，求AB的长．
15 (内江期末)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
(1) 求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2) 设点M(t，2)在抛物线C的准线上，若MF⊥l，求△MAB的面积．
16 (南京期末)对于椭圆：＋＝1(a>b>0)，我们称双曲线：－＝1为其伴随双曲线. 已知椭圆C：＋＝1(0(1) 求椭圆C伴随双曲线M的标准方程；
(2) 如图，E，F分别为双曲线M的下顶点和上焦点，过点F的直线l与双曲线M的上支交于A，B两点，△ABE的面积为(3＋2)，求直线AB的方程．
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1. A　因为双曲线C：－＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±x，所以a＝3.
2. C　由y＝x2，得x2＝16y，所以2p＝16，故p＝8，故抛物线的焦点到准线的距离为p＝8.
3. B　由椭圆的定义，得MF1＋MF2＝2a＝4，由基本不等式，得MF1·MF2≤＝4，当且仅当MF1＝MF2＝2时，等号成立，故MF1·MF2的最大值为4.
4. C　因为直线x－2y－4＝0与坐标轴的两个交点分别是(4，0)和(0，－2)，由椭圆性质可知a＝4，b＝2，所以c＝＝2，所以该椭圆的离心率为e＝＝.
5. C　由双曲线－y2＝1(a>0)，得其一条渐近线为ay＋x＝0.圆x2＋(y－2)2＝1的圆心为(0，2)，半径为1.因为双曲线的渐近线与圆相切，所以＝1，解得a＝(负值舍去).
6. D　设点M(x，y)，A(a，0)，B(0，b)，由题意，得即所以AB＝＝＝3，即x2＋＝9，所以＋＝1.
7. C　由P(x，y)是椭圆＋＝1上的动点，可设x＝2cos α，y＝sin α(0≤α≤2π)，由点到直线的距离公式可得d＝＝. 因为4sin ∈[－4，4]，所以∈[4，12]，所以d∈，所以点P到直线x＋2y－8＝0的最大距离为d＝.
8. B　由题意，得＝，且椭圆＋＝1的焦点(3，0)，(－3，0)也是双曲线的焦点，则a2＋b2＝c2＝9，解得a＝2，b＝，则双曲线C的标准方程为－＝1.
9. AD　因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3x±4y＝0，故A正确；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3y±4x＝0，故B错误；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即4x±3y＝0，故C错误；因为双曲线－＝1的渐近线为±＝0，即3x±4y＝0，故D正确．故选AD.
10. AC　由题意，得22＝2p×2，解得p＝1，即抛物线C：y2＝2x，焦点为F，准线方程为x＝－，故A正确；设M(x1，y1)，N(x2，y2)，显然x1≠x2，x1≠2，x2≠2，直线AM的斜率k1＝＝＝，同理直线AN的斜率k2＝，由k1＋k2＝0，得＋＝0，解得y1＋y2＝－4，所以直线MN的斜率k＝＝－，故B错误；圆F：＋y2＝，令圆N的半径为r，由圆N与圆F相外切，得NF＝r＋.又NF＝x2＋，所以x2＝r，即圆N的圆心到y轴的距离为圆N的半径，则圆N与直线x＝0相切，故C正确；联立消去x并整理，得y2＋4y＋＝0，Δ＝16－＝>0，y1＋y2＝－4，y1y2＝，MN＝·＝，而点A到直线3x＋6y＋4＝0的距离d＝，则△AMN的面积S＝MN·d＝××＝>，故D错误．故选AC.
11. 4　双曲线C1：x2－y2＝2的渐近线方程为y＝±x.由且x≠0，可得A(2，2).由且x≠0，可得B(2，－2)，所以AB＝4.
12. 2　由题意，得抛物线焦点为(1，0).当该直线斜率不存在时，此时直线的方程为x＝1，则xA＋xB＝2，不符合题意，所以设直线的方程为y＝k(x－1).代入y2＝4x，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，则xA＋xB＝ ＝5，解得k＝±，所以这样的直线有2条．
13. 　设点P(2cos θ，sin θ)，则AP＝＝，所以当sin θ＝－时，AP取得最大值，此时点P的坐标为.
14. (1) 因为2a＝4，2b＝×2a，所以a＝2，b＝1.
因为c2＝a2＋b2，所以c＝，
所以双曲线的离心率e＝＝.
(2) 因为直线y＝kx(k≠0)与双曲线交于A，B两点，如图，所以A，B两点关于原点O对称，设点A(x0，y0)，B(－x0，－y0).
又OF1＝OF2，所以△AOF2的面积为，
所以·c·|y0|＝，所以|y0|＝1.
又点A(x0，y0)在双曲线－y2＝1上，则x＝8，
所以OA＝＝＝3，
所以AB＝2OA＝6.
15. (1) 因为抛物线C的标准方程为y2＝4x，
所以抛物线C的焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x＝－1.
(2) 因为点M(t，2)在抛物线C的准线上，所以t＝－1，即M(－1，2)，此时kMF＝＝－1.
因为MF⊥l，所以kMF·kl＝－1，解得kl＝1，
所以直线l的方程为y＝x－1.
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立消去y并整理，得x2－6x＋1＝0，则x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋2＝8.
因为MF＝＝2，
则S△MAB＝×AB×MF＝×8×2＝8.
16. (1) 设椭圆C与其伴随双曲线M的离心率分别为e1，e2.由题意，得a2＝3，e1＝e2，
即e＝e，即＝×，解得b2＝1，
所以椭圆C：＋x2＝1，则椭圆C伴随双曲线M的标准方程为－x2＝1.
(2) 由(1) 可知F(0，2)，E(0，－)，设直线l的斜率为k，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则直线l的方程为y＝kx＋2，与双曲线－x2＝1联立，消去y并整理，得(k2－3)x2＋4kx＋1＝0，
则Δ＝12k2＋12>0，所以x1＋x2＝，x1x2＝.
则|x1－x2|＝＝＝.
又EF＝2＋，
所以S△ABE＝EF·|x1－x2|＝(2＋)·＝(3＋2)，
解得k2＝1或k2＝7.
因为直线l与双曲线M的上支交于A，B两点，
所以y1y2>0，即(kx1＋2)(kx2＋2)>0，
k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4>0，即<0，
解得k2<3，所以k＝±1，
所以直线AB的方程为y＝x＋2或y＝－x＋2.