专题一 空间向量的综合应用（含答案） 高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 专题一 空间向量的综合应用（含答案） 高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-06-22 21:33:56 | ||
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文档简介
空间向量的综合应用
一、 单项选择题
1 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则点C到直线AB1的距离为( )
A. B. C. D.
2 设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，则“〈m，n〉＝60°”是“直线l与平面α的夹角为30°”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 阅读材料：在空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x－y＋z＝2，点M(－1，2，1)，则点M到平面α的距离为( )
A. B. C. D.
4 如图，在四棱锥A-BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4.则点E到平面ABC的距离为( )
A. B. C. D. 2
(第4题) (第5题)
5 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 三棱锥F-ABE的体积为
D. 直线BC与平面AEF所成的角为45°
6 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tan θ的最大值为( )
A. B. C. 2 D.
(第6题) (第7题)
7 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若点D在棱AA1上，二面角B1-DC-C1的大小为60°，则AD的长为( )
A. B. C. 2 D.
8 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体. 若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论中错误的是( )
图1 图2 图3
A. 点C1到直线CQ的距离是
B. ＝－2－＋2
C. 平面ECG与平面BC1D的夹角余弦值为
D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为
二、 多项选择题
9在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(2，0，0)，B(1，1，－2)，C(2，3，1)，则下列说法中正确的有( )
A. ·＝－3
B. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为
C. ||＝
D. 点C到直线AB的距离为
10如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝BC＝2，AB＝AD＝1，CF＝，则下列说法中正确的是( )
A. BD⊥EC
B. BF∥平面ADE
C. 平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为
D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
三、填空题
11 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，则A1B与B1C所成角的余弦值为________．
(第11题) (第12题)
12(涟水一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为________.
13 在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________.
四、 解答题
14如图，在几何体B-ACDE中，CD∥AE，∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，CD＝2EA＝2，AB＝AC＝2，BC＝2，F为BD的中点．
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 求直线AB与平面BDE所成角的正弦值．
15 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，F为棱PD的中点，二面角D-FC-B的余弦值为.
(1) 求PD的长；
(2) 求异面直线BF与PA所成角的余弦值；
(3) 求直线AF与平面BCF所成角的正弦值．
16 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC＝∠BAD＝，SA＝AB＝BC＝AD＝1.
(1) 求证：BD∥平面AEG；
(2) 求二面角C-SD-E的余弦值；
(3) 在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，请说明理由．
1．4.3 空间向量的综合应用
1. D 因为AB＝BB1＝2，所以BB1＝，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，BO＝，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)，所以＝(，1，)＝(0，－2，0)，所以在上的投影的长度为＝＝，所以点C到直线AB1的距离为d＝＝.
2. A 若直线l与平面α的夹角为30°，平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，则〈m，n〉＝60°或120°，故“〈m，n〉＝60°”是“直线l与平面α的夹角为30°”的充分不必要条件．
3. C 由题意可知平面α的法向量为n＝(2，－1，1)，在平面α上任取一点A(0，0，2)，则＝(1，－2，1)，所以点M到平面α的距离为d＝＝＝＝.
4. C 由题意，以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E(2，0，0)，A(0，0，4)，B(3，2，0)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，－4)，＝(3，2，－4)，＝(0，2，－4).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)，所以点E到平面ABC的距离为d＝＝＝.
5. B 对于A，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥CC1，直线AF与直线CC1不垂直，所以直线AF与直线DD1不垂直，故A错误；如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E(，1，0)，F(0，1，)，G，A1(1，0，1)，对于B，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z).又＝，＝，所以令y＝1，则x＝2，z＝2，所以n＝(2，1，2).因为＝，所以·n＝0×2＋1×1－×2＝0，所以⊥n.因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，故B正确；对于C，因为S△ABE＝BE·AB＝×1×＝，所以三棱锥F-ABE的体积为S△AEB·d＝××＝，故C错误；对于D，因为B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以＝(－1，0，0)，设直线BC与平面AEF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故D错误．
6. B 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设P(x，3，z)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，4)，则＝(x－3，3，z)，＝(－3，－3，4)，因为AP⊥BD1，所以·＝－3(x－3)－3×3＋4z＝0，所以z＝x，所以BP＝＝＝≥.连接BP，易知AB⊥平面BCC1B1，所以AP与平面BCC1B1所成的角即为∠APB，所以tan θ＝≤，所以tan θ的最大值为.
7. A 以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，设AD＝t，则C(0，0，0)，D(1，0，t)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，易知平面CDC1的法向量为＝(0，2，0).设平面CDB1的法向量为m＝(x，y，z)，则 即令z＝－1，则x＝t，y＝1，所以平面 CDB1的法向量为m＝(t，1，－1)，则cos 60°＝ ＝＝，解得t＝.
8. A 由题意，得＝＋＝－＋2＝－＋2(－)＝－2－＋2，故B正确；如图，以A1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B1(0，1，0)，C1(－1，1，0)，D1(－1，0，0)，Q(0，－1，1)，C(－1，1，－1)，E(1，－1，－1)，G(－1，－1，1)，B(0，1，－1)，D(－1，0，－1)，所以＝(－2，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，1).设平面ECG的法向量为n1＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝1，故平面ECG的一个法向量 n1＝(1，1，1)，设平面BC1D的法向量为n2＝(a，b，c)，则令a＝1，则b＝－1，c＝1，故平面BC1D的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则|cos 〈n1，n2〉|＝＝，故C正确；因为＝(－1，－1，0)，＝(1，－2，2)，所以cos 〈，〉＝＝，所以tan 〈，〉＝，故D正确；因为＝(－1，2，－1)，设m＝＝，所以点C1到直线CQ的距离为d＝＝＝，故A错误．
9. BC 因为＝(－1，1，－2)，＝(1，2，3)，所以·＝－1＋2－6＝－5，故A错误；因为＝(1，1，－2)，＝(0，3，1)，所以||＝＝，故C正确；cos 〈，〉＝＝＝，故B正确；点C到直线AB的距离为＝＝，故D错误．故选BC.
10. BCD 由题意可知AE，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，F(1，2，)，则＝(－1，1，0)，＝(1，2，－2)，＝(－1，0，2)，所以·＝－1×1＋1×2＋0×(－2)＝1≠0，所以BD，EC不垂直，故A错误；由题意，得＝(1，0，0)是平面ADE的法向量．又＝，所以·＝0，则BF⊥AB.又因为直线BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE，故B正确；设m＝(a，b，c)为平面BDE的一个法向量，则令b＝2，则a＝2，c＝1，所以m＝(2，2，1).又易知底面ABCD的一个法向量为＝(0，0，2)，设平面EBD与平面ABCD夹角为α，则cos α＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，故C正确；设直线CE与平面BDE所成角为θ，＝(－1，－2，2)，则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝，故D正确．故选BCD.
11. 0 以A为坐标原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AA1＝，AB＝2，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，1，0)，B1(，1，)，C(0，2，0)，所以＝(，1，－)，＝(－，1，－).设异面直线A1B与B1C所成的角为θ，则θ∈，所以cos θ＝＝＝0，所以异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为0.
12. 由题意，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(1，0，0)，A(0，2，0)，P(0，0，2)，所以＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，即·＝4，||＝，所以在上的投影向量的长度为＝＝，故点C到直线PA的距离为＝.
13. 易证AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成角为∠ADB，则tan ∠ADB＝＝，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值．在等腰直角三角形△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，1，1)，则＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，＝(－3，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝3，则x＝2，z＝3，所以n＝(2，3，3).因为cos 〈n，〉＝＝，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为.
14. (1) 取BC的中点G，连接FG，AG.
因为F为BD的中点，CD＝2EA，CD∥AE，
所以FG＝CD＝EA，且FG∥CD∥AE，
所以四边形AGFE是平行四边形，
所以EF∥AG.
又EF 平面ABC，AG 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2) 因为∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，平面EACD∩平面ABC＝AC，EA 平面EACD，
所以EA⊥平面ABC，
由(1)可知FG∥AE，
所以FG⊥平面ABC.
又AB＝AC，G为BC的中点，
所以AG⊥BC，所以GA，GB，GF两两垂直．
以G为坐标原点，GA，GB，GF所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，2)，E(1，0，1)，
所以＝(－1，，0)，＝(0，－2，2)，＝(1，－，1).
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得n＝(0，1，)，
设直线AB与平面BDE所成的角为α，
则sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝.
所以直线AB与平面BDE所成角的正弦值为.
15. (1) 取AB的中点M，连接DM，易知DM⊥DC，以D为坐标原点，DM，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设FD＝a，则D(0，0，0)，F(0，0，a)，C(0，2，0)，B(，1，0)，A(，－1，0)，
所以＝(0，2，－a)，＝(，－1，0).
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z).
由令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝.
取平面DFC的一个法向量为n＝(1，0，0).
由题意，得|cos 〈m，n〉|＝＝＝，解得a＝，
所以PD＝2FD＝2.
(2) 由题意，得P(0，0，2)，＝(，1，－)，＝(，－1，－2).
设异面直线BF与PA所成的角为θ1，
则cos θ1＝|cos 〈，〉|＝＝＝，
即异面直线BF与PA所成角的余弦值为.
(3) 由题意，得＝(，－1，－).
设直线AF与平面BCF所成的角为θ2，
则sin θ2＝|cos 〈m，〉|＝＝＝ ，
即直线AF与平面BCF所成角的正弦值为.
16. (1) 连接FG.
在△SBD中，F，G分别为SD，SB的中点，
所以FG∥BD.
又因为FG 平面AEG，BD 平面AEG，
所以BD∥平面AEG.
(2) 因为SA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD.
又∠BAD＝，所以AB⊥AD，
以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，S(0，0，1)，E(0，2，1)，G，
所以＝(－1，1，0)，＝(1，1，－1).
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则 即
令x＝1，得y＝1，z＝2，
所以平面SCD的一个法向量为m＝(1，1，2).
易知平面ESD的一个法向量为＝(1，0，0)，
所以cos 〈m，〉＝＝＝，
又由图可知，二面角C-SD-E为钝二面角，故二面角C-SD-E的余弦值为－.
(3) 存在，理由如下：
假设存在点H，设＝λ＝，
则＝＋λ＝，
由(2)知，平面SCD的一个法向量为m＝(1，1，2)，
则sin ＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，
解得λ＝1，
则＝＝，
故存在满足题意的点H，此时GH＝||＝.
一、 单项选择题
1 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB＝BB1＝2，则点C到直线AB1的距离为( )
A. B. C. D.
2 设平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，则“〈m，n〉＝60°”是“直线l与平面α的夹角为30°”的( )
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3 阅读材料：在空间直角坐标系O-xyz中，过点P(x0，y0，z0)且一个法向量为n＝(a，b，c)的平面α的方程为a(x－x0)＋b(y－y0)＋c(z－z0)＝0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面α的方程为2x－y＋z＝2，点M(－1，2，1)，则点M到平面α的距离为( )
A. B. C. D.
4 如图，在四棱锥A-BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE为直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4.则点E到平面ABC的距离为( )
A. B. C. D. 2
(第4题) (第5题)
5 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 直线D1D与直线AF垂直
B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 三棱锥F-ABE的体积为
D. 直线BC与平面AEF所成的角为45°
6 如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，P是侧面BCC1B1内的动点，且AP⊥BD1，记AP与平面BCC1B1所成的角为θ，则tan θ的最大值为( )
A. B. C. 2 D.
(第6题) (第7题)
7 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若点D在棱AA1上，二面角B1-DC-C1的大小为60°，则AD的长为( )
A. B. C. 2 D.
8 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体. 若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论中错误的是( )
图1 图2 图3
A. 点C1到直线CQ的距离是
B. ＝－2－＋2
C. 平面ECG与平面BC1D的夹角余弦值为
D. 异面直线CQ与BD所成角的正切值为
二、 多项选择题
9在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A(2，0，0)，B(1，1，－2)，C(2，3，1)，则下列说法中正确的有( )
A. ·＝－3
B. 异面直线OB与AC所成角的余弦值为
C. ||＝
D. 点C到直线AB的距离为
10如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AE＝BC＝2，AB＝AD＝1，CF＝，则下列说法中正确的是( )
A. BD⊥EC
B. BF∥平面ADE
C. 平面EBD与平面ABCD夹角的余弦值为
D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为
三、填空题
11 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AA1，则A1B与B1C所成角的余弦值为________．
(第11题) (第12题)
12(涟水一中月考)如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，PB＝AB＝2BC＝2，则点C到直线PA的距离为________.
13 在三棱锥P-ABC中，PA，AB，AC两两垂直，D为棱PC上一动点，PA＝AC＝2，AB＝3.当BD与平面PAC所成角最大时，AD与平面PBC所成角的正弦值为________.
四、 解答题
14如图，在几何体B-ACDE中，CD∥AE，∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，CD＝2EA＝2，AB＝AC＝2，BC＝2，F为BD的中点．
(1) 求证：EF∥平面ABC；
(2) 求直线AB与平面BDE所成角的正弦值．
15 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，PD⊥底面ABCD，F为棱PD的中点，二面角D-FC-B的余弦值为.
(1) 求PD的长；
(2) 求异面直线BF与PA所成角的余弦值；
(3) 求直线AF与平面BCF所成角的正弦值．
16 如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC＝∠BAD＝，SA＝AB＝BC＝AD＝1.
(1) 求证：BD∥平面AEG；
(2) 求二面角C-SD-E的余弦值；
(3) 在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，请说明理由．
1．4.3 空间向量的综合应用
1. D 因为AB＝BB1＝2，所以BB1＝，取AC的中点O，连接BO，则BO⊥AC，BO＝，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，－1，0)，B1(，0，)，C(0，1，0)，所以＝(，1，)＝(0，－2，0)，所以在上的投影的长度为＝＝，所以点C到直线AB1的距离为d＝＝.
2. A 若直线l与平面α的夹角为30°，平面α的法向量为n，直线l的方向向量为m，则〈m，n〉＝60°或120°，故“〈m，n〉＝60°”是“直线l与平面α的夹角为30°”的充分不必要条件．
3. C 由题意可知平面α的法向量为n＝(2，－1，1)，在平面α上任取一点A(0，0，2)，则＝(1，－2，1)，所以点M到平面α的距离为d＝＝＝＝.
4. C 由题意，以D为坐标原点，DE，DC，DA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则E(2，0，0)，A(0，0，4)，B(3，2，0)，C(0，2，0)，所以＝(2，0，－4)，＝(3，2，－4)，＝(0，2，－4).设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则令z＝1，则x＝0，y＝2，所以n＝(0，2，1)，所以点E到平面ABC的距离为d＝＝＝.
5. B 对于A，因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以DD1∥CC1，直线AF与直线CC1不垂直，所以直线AF与直线DD1不垂直，故A错误；如图，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E(，1，0)，F(0，1，)，G，A1(1，0，1)，对于B，设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z).又＝，＝，所以令y＝1，则x＝2，z＝2，所以n＝(2，1，2).因为＝，所以·n＝0×2＋1×1－×2＝0，所以⊥n.因为A1G在平面AEF外，所以直线A1G与平面AEF平行，故B正确；对于C，因为S△ABE＝BE·AB＝×1×＝，所以三棱锥F-ABE的体积为S△AEB·d＝××＝，故C错误；对于D，因为B(1，1，0)，C(0，1，0)，所以＝(－1，0，0)，设直线BC与平面AEF所成的角为θ，则sin θ＝＝＝，故D错误．
6. B 以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．设P(x，3，z)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，D1(0，0，4)，则＝(x－3，3，z)，＝(－3，－3，4)，因为AP⊥BD1，所以·＝－3(x－3)－3×3＋4z＝0，所以z＝x，所以BP＝＝＝≥.连接BP，易知AB⊥平面BCC1B1，所以AP与平面BCC1B1所成的角即为∠APB，所以tan θ＝≤，所以tan θ的最大值为.
7. A 以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，设AD＝t，则C(0，0，0)，D(1，0，t)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，易知平面CDC1的法向量为＝(0，2，0).设平面CDB1的法向量为m＝(x，y，z)，则 即令z＝－1，则x＝t，y＝1，所以平面 CDB1的法向量为m＝(t，1，－1)，则cos 60°＝ ＝＝，解得t＝.
8. A 由题意，得＝＋＝－＋2＝－＋2(－)＝－2－＋2，故B正确；如图，以A1为坐标原点，建立空间直角坐标系，则B1(0，1，0)，C1(－1，1，0)，D1(－1，0，0)，Q(0，－1，1)，C(－1，1，－1)，E(1，－1，－1)，G(－1，－1，1)，B(0，1，－1)，D(－1，0，－1)，所以＝(－2，0，2)，＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，1).设平面ECG的法向量为n1＝(x，y，z)，则令x＝1，则y＝1，z＝1，故平面ECG的一个法向量 n1＝(1，1，1)，设平面BC1D的法向量为n2＝(a，b，c)，则令a＝1，则b＝－1，c＝1，故平面BC1D的一个法向量为n2＝(1，－1，1)，则|cos 〈n1，n2〉|＝＝，故C正确；因为＝(－1，－1，0)，＝(1，－2，2)，所以cos 〈，〉＝＝，所以tan 〈，〉＝，故D正确；因为＝(－1，2，－1)，设m＝＝，所以点C1到直线CQ的距离为d＝＝＝，故A错误．
9. BC 因为＝(－1，1，－2)，＝(1，2，3)，所以·＝－1＋2－6＝－5，故A错误；因为＝(1，1，－2)，＝(0，3，1)，所以||＝＝，故C正确；cos 〈，〉＝＝＝，故B正确；点C到直线AB的距离为＝＝，故D错误．故选BC.
10. BCD 由题意可知AE，AB，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，1，0)，E(0，0，2)，F(1，2，)，则＝(－1，1，0)，＝(1，2，－2)，＝(－1，0，2)，所以·＝－1×1＋1×2＋0×(－2)＝1≠0，所以BD，EC不垂直，故A错误；由题意，得＝(1，0，0)是平面ADE的法向量．又＝，所以·＝0，则BF⊥AB.又因为直线BF 平面ADE，所以BF∥平面ADE，故B正确；设m＝(a，b，c)为平面BDE的一个法向量，则令b＝2，则a＝2，c＝1，所以m＝(2，2，1).又易知底面ABCD的一个法向量为＝(0，0，2)，设平面EBD与平面ABCD夹角为α，则cos α＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，故C正确；设直线CE与平面BDE所成角为θ，＝(－1，－2，2)，则sin θ＝|cos 〈，m〉|＝＝，故D正确．故选BCD.
11. 0 以A为坐标原点，在平面ABC内过点A作AC的垂线为x轴，AC所在直线为y轴，AA1所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，设AA1＝，AB＝2，则A(0，0，0)，A1(0，0，)，B(，1，0)，B1(，1，)，C(0，2，0)，所以＝(，1，－)，＝(－，1，－).设异面直线A1B与B1C所成的角为θ，则θ∈，所以cos θ＝＝＝0，所以异面直线A1B与B1C所成角的余弦值为0.
12. 由题意，以B为坐标原点，BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C(1，0，0)，A(0，2，0)，P(0，0，2)，所以＝(1，0，－2)，＝(0，2，－2)，即·＝4，||＝，所以在上的投影向量的长度为＝＝，故点C到直线PA的距离为＝.
13. 易证AB⊥平面PAC，则BD与平面PAC所成角为∠ADB，则tan ∠ADB＝＝，当AD取得最小值时，∠ADB取得最大值．在等腰直角三角形△PAC中，当D为PC的中点时，AD取得最小值，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0，0，0)，B(3，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，1，1)，则＝(0，1，1)，＝(0，2，－2)，＝(－3，2，0).设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝3，则x＝2，z＝3，所以n＝(2，3，3).因为cos 〈n，〉＝＝，所以AD与平面PBC所成角的正弦值为.
14. (1) 取BC的中点G，连接FG，AG.
因为F为BD的中点，CD＝2EA，CD∥AE，
所以FG＝CD＝EA，且FG∥CD∥AE，
所以四边形AGFE是平行四边形，
所以EF∥AG.
又EF 平面ABC，AG 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2) 因为∠EAC＝90°，平面EACD⊥平面ABC，平面EACD∩平面ABC＝AC，EA 平面EACD，
所以EA⊥平面ABC，
由(1)可知FG∥AE，
所以FG⊥平面ABC.
又AB＝AC，G为BC的中点，
所以AG⊥BC，所以GA，GB，GF两两垂直．
以G为坐标原点，GA，GB，GF所在直线分别为 x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，D(0，－，2)，E(1，0，1)，
所以＝(－1，，0)，＝(0，－2，2)，＝(1，－，1).
设平面BDE的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令y＝1，得n＝(0，1，)，
设直线AB与平面BDE所成的角为α，
则sin α＝|cos 〈，n〉|＝＝.
所以直线AB与平面BDE所成角的正弦值为.
15. (1) 取AB的中点M，连接DM，易知DM⊥DC，以D为坐标原点，DM，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设FD＝a，则D(0，0，0)，F(0，0，a)，C(0，2，0)，B(，1，0)，A(，－1，0)，
所以＝(0，2，－a)，＝(，－1，0).
设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z).
由令x＝1，则y＝，z＝，所以m＝.
取平面DFC的一个法向量为n＝(1，0，0).
由题意，得|cos 〈m，n〉|＝＝＝，解得a＝，
所以PD＝2FD＝2.
(2) 由题意，得P(0，0，2)，＝(，1，－)，＝(，－1，－2).
设异面直线BF与PA所成的角为θ1，
则cos θ1＝|cos 〈，〉|＝＝＝，
即异面直线BF与PA所成角的余弦值为.
(3) 由题意，得＝(，－1，－).
设直线AF与平面BCF所成的角为θ2，
则sin θ2＝|cos 〈m，〉|＝＝＝ ，
即直线AF与平面BCF所成角的正弦值为.
16. (1) 连接FG.
在△SBD中，F，G分别为SD，SB的中点，
所以FG∥BD.
又因为FG 平面AEG，BD 平面AEG，
所以BD∥平面AEG.
(2) 因为SA⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD.
又∠BAD＝，所以AB⊥AD，
以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，S(0，0，1)，E(0，2，1)，G，
所以＝(－1，1，0)，＝(1，1，－1).
设平面SCD的法向量为m＝(x，y，z)，
则 即
令x＝1，得y＝1，z＝2，
所以平面SCD的一个法向量为m＝(1，1，2).
易知平面ESD的一个法向量为＝(1，0，0)，
所以cos 〈m，〉＝＝＝，
又由图可知，二面角C-SD-E为钝二面角，故二面角C-SD-E的余弦值为－.
(3) 存在，理由如下：
假设存在点H，设＝λ＝，
则＝＋λ＝，
由(2)知，平面SCD的一个法向量为m＝(1，1，2)，
则sin ＝|cos 〈m，〉|＝＝＝，
解得λ＝1，
则＝＝，
故存在满足题意的点H，此时GH＝||＝.