第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
【课程标准】 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.
教|材|回|顾
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是________．
2．斜率公式
(1)定义式：直线l的倾斜角为α，则斜率k＝tan α.
(2)坐标式：设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ (x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 ＋＝1(其中a≠0，b≠0) 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0) 平面内所有直线都适用
微|点|延|伸
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)的一个方向向量为a＝(－B，A)，或a＝(B，－A)．
小|题|快|练
1．若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m＝( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
2．已知直线l过点(1,1)，且倾斜角为90°，则直线l的方程为( )
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．过点(1,2)且方向向量的坐标为(－1,2)的直线的方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y－3＝0
4．(人A选一P67T7改编)过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________．
5．(人A选一P80T16改编)直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________．
类型一 直线的倾斜角与斜率自练自悟
1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为( )
A． B．
C． D．
2．直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A． B．
C．∪ D．∪
3.
(多选题)如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则下列选项正确的是( )
A．k1
C．α1<α3<α2 D．α3<α2<α1
4．直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为____________________．
1．由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tan x在∪上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的．
2．过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在．
类型二 求直线的方程
【例1】 (1)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程为________．
(2)过点A(4,2)且在x轴上截距是在y轴上截距的3倍的直线l的方程为________．
(3)经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且一个方向向量为ν＝(－3,2)的直线方程为________．
直线方程的求法
1．直接法：根据已知条件，求出直线方程的确定条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程．
2．待定系数法：设出直线方程的恰当形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式)，进而根据已知条件求解．
3．涉及截距问题，还要考虑截距为0这一特殊情况．
【训练】 (1)已知过点M(2,1)的直线l与x轴、y轴分别交于P，Q两点．若M为线段PQ的中点，则直线l的方程为( )
A．2x－y－3＝0 B．2x＋y＋5＝0
C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＋3＝0
(2)(多选题)若直线l过点A(1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l的方程可能为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0 D．x－y－1＝0
类型三 直线方程的应用
考向 ：过定点问题
【例2】 直线kx－y＋1－3k＝0，当k变动时，所有直线都通过定点( )
A．(3,1) B．(0,1) C．(0,0) D．(2,1)
解含参数的直线恒过定点问题的策略
1．任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．
2．含有一个参数的二元一次方程，若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得．若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0)．
考向 ：最值(范围)问题
【例3】 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
1．求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基本不等式(或函数)求解最值．
2．求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决问题．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.直线(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0恒过定点( )
A．(1,1) B．(1，－1)
C．(－1,1) D．(－1，－1)
2．(2025·临沂模拟)已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．
B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2]∪
D．
3．已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
必备知识·梳理
教材回顾
1．(2)0° (3)0°≤α<180°
小题快练
1．A 解析 由题意得＝1，解得m＝1.故选A.
2．D
3．A 解析 由题意可知直线的斜率k＝＝－2，由点斜式方程得，所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，即2x＋y－4＝0.故选A.
4．3x－2y＝0或x＋y－5＝0 解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
5．(1，－1) 解析 直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，令解得故所过的定点坐标为(1，－1)．
关键能力·落实
1．A
2．B 解析 由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是.故选B.
3．AD 解析 如题图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，倾斜角分别为α1，α2，α3，则k2>k3>0，k1<0，故>α2>α3>0，且α1为钝角．故选AD.
4．(－∞，－]∪[1，＋∞) 解析
解法一：设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是kAP＝1，直线PB的斜率是kBP＝－，如图，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－]．故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
解法二：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.因为A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，所以(2k－1－k)(－－k)≤0，即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.即直线l的斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞)．
【例1】 (1)3x＋4y＋15＝0 解析 由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tan α＝3，所以tan 2α＝＝－.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.
(2)y＝x或x＋3y－10＝0 解析 当直线过原点时，它在x轴、y轴上的截距都是零，满足题意．此时，直线的斜率为，所以直线方程为y＝x；当直线不过原点时，由题意可设直线方程为＋＝1，又直线过点A(4,2)，所以＋＝1，解得a＝，方程为x＋3y－10＝0.综上，所求直线方程为y＝x或x＋3y－10＝0.
(3)2x＋3y－5＝0 解析 联立解得所以直线过点(1,1)．因为直线的方向向量ν＝(－3,2)，所以直线的斜率k＝－，则直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
【训练】 (1)C 解析 由题意知直线l的斜率存在，且不为0.设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)．令x＝0，得y＝1－2k，所以点Q的坐标为(0,1－2k)．又因为M为线段PQ的中点，点P的纵坐标为0，所以根据中点坐标公式得＝1，解得k＝－，所以所求直线的方程为x＋2y－4＝0.故选C.
(2)ABC 解析 当直线经过原点时，斜率为k＝＝2，所求的直线方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y＝k，把点A(1,2)代入可得1－2＝k或1＋2＝k，解得k＝－1或k＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.综上，所求的直线方程为2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.故选ABC.
【例2】 A 解析 直线kx－y＋1－3k＝0可以为y－1＝k(x－3)，表示过点(3,1)，斜率为k的直线，所以所有直线都通过定点(3,1)．故选A.
【例3】 解 解法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A，B(0,1－2k)．因为l与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，所以所以k<0.于是S△AOB＝·|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝≥＝4.当且仅当－＝－4k＝2，即k＝－时，△AOB面积有最小值为4，此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
解法二：设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1.又因为＋≥2，所以ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，△AOB的面积S＝ab有最小值为4.此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0.
【题组对点练】
1．A 解析 将(a－1)x－(a＋1)y＋2＝0变形为(x－y)a－x－y＋2＝0，令x－y＝0且－x－y＋2＝0，解得x＝1，y＝1，所以直线恒过定点(1,1)．故选A.
2．D 解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，因为kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，所以－2≤k≤.故选D.
3. 解析 直线方程可化为＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2,0)，与y轴的交点为B(0,1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－22＋，0≤b≤1，故当b＝时，ab取得最大值.(共36张PPT)
第一节
第八章 平面解析几何
直线的倾斜角与斜率、直线方程
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
直线的倾斜角与斜率 自练自悟
解析
解析
解析
解析
类型二
求直线的方程
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
直线方程的应用
解析
解
解
解析
解析
解析
R
赢在欲点
3
0
y个
B
C
A
0
X
P微练(六十四) 直线的倾斜角与斜率、直线方程
基础过关
一、单项选择题
1．在x轴与y轴上截距分别为－2,2的直线的倾斜角为( )
A．45° B．135°
C．90° D．180°
2．在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n＝(3,4)是l的一个法向量，则直线l倾斜角的余弦值为( )
A．－ B．
C． D．－
3．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是( )
A． B．
C．－ D．－
4．若过点P(1－a，1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,1) B．(－1,2)
C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
5．(2025·青岛调研)已知直线l：x＋y－4＝0，则下列结论正确的是( )
A．点(2，－2)在直线l上
B．直线l在y轴上的截距为－4
C．直线l的倾斜角为
D．直线l的一个方向向量为v＝(1,1)
6．直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，则( )
A．a<0，b<0 B．a<0，b>0
C．a>0，b<0 D．a>0，b>0
7．过点(－10,10)且在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍的直线的方程为( )
A．x－y＝0
B．x＋4y－30＝0
C．x＋y＝0或x＋4y－30＝0
D．x＋y＝0或x－4y－30＝0
8．已知点A(2,3)，B(－1,2)，若点P(x，y)在线段AB上，则的最大值为( )
A．1 B．
C．－ D．－3
二、多项选择题
9．(2025·辽宁大连模拟)已知直线l：x－y＋1＝0，下列说法正确的是( )
A．直线l的倾斜角为60°
B．直线l在x轴上的截距为1
C．直线l的一个方向向量为a＝(1，)
D．直线l与直线x＋y＋c＝0垂直
10．已知直线l：x－my＋m－1＝0，则下列说法正确的是( )
A．直线l的斜率可能为0
B．直线l的斜率可能不存在
C．直线l过定点(1,1)
D．直线l的横、纵截距不可能相等
11．下列说法正确的是( )
A．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
B．倾斜角相等的两直线的斜率一定相等
C．经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示
D．若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－
三、填空题
12．(2025·云南模拟)直线x＋ysin α＋2＝0(α∈R)的倾斜角的取值范围是________．
13．已知直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数k的值为________．
14．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
素养提升
15．瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为“欧拉线”．已知△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)，则△ABC的欧拉线方程为( )
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－＝0
C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋1＝0
16．(多选题)作圆x2＋y2＝4的一个内接正十二边形，使该正十二边形中的四个顶点在坐标轴上，则下列四条直线中是该正十二边形的一条边所在的直线的是( )
A．x＋(2－)y－2＝0
B．x＋y＋1＋＝0
C．x－y＋1－＝0
D．(2－)x＋y－2＝0
微练(六十四) 直线的倾斜角与斜率、直线方程
1．A 解析 由题意知直线过点(－2,0)，(0,2)，设直线斜率为k，倾斜角为α，则k＝tan α＝＝1，故倾斜角α＝45°.故选A.
2．A 解析 因为直线l通过原点，且n＝(3,4)是l的一个法向量，所以直线的一个方向向量为m＝(4，－3)，则直线斜率为－，设直线l的倾斜角为θ，则tan θ＝－，则解得或又0°≤θ<180°，所以sin θ>0，故cos θ＝－.故选A.
3．A 解析 设直线l的斜率为k，则k＝－＝.故选A.
4．A 解析 因为过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，所以直线的斜率小于0，即<0，即<0，解得－25．C 解析 对于A，因为2－2－4＝－4≠0，所以点(2，－2)不在直线l上，A错误；对于B，令x＝0，得y＝4，所以直线l在y轴上的截距为4，B错误；对于C，由l：y＝－x＋4，得直线l的斜率k＝－1，所以直线l的倾斜角为，C正确；对于D，若直线l的一个方向向量为v＝(1,1)，则直线l的斜率k＝1，不合题意，所以D错误．故选C.
6．C 解析 因为直线x＋ay＋b＝0经过第一、二、四象限，所以a≠0，b≠0，该直线的斜率为－<0，可得a>0，该直线在y轴上的截距为－>0，可得b<0.故选C.
7．C 解析 由题意，当直线经过原点时，直线的方程为x＋y＝0；当直线不经过原点时，设直线的方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝，此时直线的方程为＋＝1，即x＋4y－30＝0.故选C.
8．C 解析 设点Q(3,0)，则kAQ＝＝－3，kBQ＝＝－.因为点P(x，y)是线段AB上的任意一点，所以直线PQ的斜率的取值范围是，故的最大值为－.故选C.
9．ACD 解析 对于A，由x－y＋1＝0可得y＝x＋1，所以直线l的斜率k＝，设直线l的倾斜角为α，则tan α＝，又0°≤α<180°，所以α＝60°，故A正确；对于B，令y＝0，解得x＝－，所以直线l在x轴上的截距为－，故B错误；对于C，由直线的方向向量的定义可知a＝(1，)是直线l的一个方向向量，故C正确；对于D，由直线方程可得两直线的斜率分别为，－，因为×＝－1，所以两直线垂直，故D正确．故选ACD.
10．BC 解析 当m＝0时，直线l：x＝1，其斜率不存在．当m≠0时，直线l：x－my＋m－1＝0的斜率k＝≠0，故A不正确，B正确．由x－my＋m－1＝0，得x－1＝m(y－1)，令解得所以直线l过定点(1,1)，故C正确．当m＝1时，直线l：x－y＝0，其在x，y轴上的截距均为0，故D不正确．故选BC.
11．CD 解析 对于A，如倾斜角为的直线的斜率为－，而倾斜角为的直线的斜率为，故A错误；对于B，当两直线的倾斜角为时，直线的斜率不存在，故B错误；对于C，当x1＝x2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为x＝x1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当y1＝y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为y＝y1，此时适合(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)；当x1≠x2，y1≠y2时，经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为＝，也即(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程可以表示为(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)，故C正确；对于D，设直线l为y＝kx＋b，由题意得y＝k(x＋3)＋b＋2＝kx＋3k＋b＋2，则3k＋b＋2＝b，即k＝－，故D正确．故选CD.
12. 解析 设直线的倾斜角为θ，斜率为k＝tan θ，当sin α＝0时，直线斜率不存在，此时倾斜角θ为；当sin α≠0时，将直线方程化为斜截式y＝－x－(α≠kπ且α∈R)，则k＝－(α≠kπ且α∈R)，因为－1≤sin α≤1且sin α≠0，所以－∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，即k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以θ∈∪.综上所述，θ∈.
13．1或－1 解析 令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k.所以所围成的三角形的面积S＝＝k2＝1，所以k＝1或k＝－1.
14．16 解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又因为C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又因为ab>0，故a<0，b<0.根据基本不等式ab＝－2(a＋b)＝2(－a－b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，即ab的最小值为16.
15．C 解析 由△ABC的顶点A(－3,0)，B(3,0)，C(3,3)知，△ABC的重心为点，即点(1,1)．因为BC⊥AB，所以△ABC为直角三角形，所以其外心为斜边的中点，即点，即点，所以△ABC的欧拉线方程为＝，即x＋2y－3＝0.故选C.
16．ABD 解析 在直角坐标系中作圆x2＋y2＝4的一个内接正十二边形，并使其四个顶点在坐标轴上，如图，可知A(－2,0)，D(0,2)．连接OB，过点B向x轴作垂线，垂足为B1，可知|OB|＝2，|BB1|＝|OB|＝1，则|OB1|＝＝，则B(－，1)．同理可得C(－1，)．直线AB的方程为＝，即x－(2－)y＋2＝0，同理可得直线BC的方程为x－y＋1＋＝0；直线CD的方程为(2－)x－y＋2＝0.再由对称性可得直线DE的方程为(2－)x＋y－2＝0，即D选项．直线EF的方程为x＋y－1－＝0；直线FG的方程为x＋(2－)y－2＝0，即A选项．直线GH的方程为x－(2－)y－2＝0；直线HI的方程为x－y－1－＝0；直线IJ的方程为(2－)x－y－2＝0；直线JK的方程为(2－)x＋y＋2＝0；直线KL的方程为x＋y＋1＋＝0，即B选项．直线LA的方程为x＋(2－)y＋2＝0.故C选项不是该正十二边形的一条边所在的直线．故选ABD.(共28张PPT)
直线的倾斜角与斜率、直线方程
微练(六十四)
基础过关
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