第二节 直线的交点坐标与距离公式
【课程标准】 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；2.掌握平面上两点间及点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离；3.能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直.
教|材|回|顾
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 ______.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2________.
与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)．
(2)两条直线垂直：如果两条直线l1，l2斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2 ________.特别地，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．
2．两直线相交
(1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组的解一一对应．
(2)相交 方程组有________，交点坐标就是方程组的解．
(3)平行 方程组________．
(4)重合 方程组有________．
3．三种距离公式
(1)点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离为|AB|＝______________.
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝________________.
(3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离为d＝__________.
[微点清] 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．求两平行直线之间的距离时，应先将方程化为一般式，且x，y的系数对应相等．
4．对称问题
(1)点P(x0，y0)关于点A(a，b)的对称点的坐标为P′__________.
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有可求出x′，y′.
微|点|延|伸
1．对于直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0：
(1)“两直线平行”的充要条件是“A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1”；
(2)“两直线垂直”的充要条件是“A1A2＋B1B2＝0”．
2．与直线Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)垂直或平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n≠C)．
小|题|快|练
1．过点A(2,3)且与直线l：2x－4y＋7＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x－2y－4＝0
C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－8＝0
2．若直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为( )
A．1 B．0
C．2 D．－1或0
3．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( )
A．2 B． C． D．
4．点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标为________．
5．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为________.
类型一 两条直线的平行与垂直自练自悟
1.已知p：直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0平行，q：a＝1，则p是q的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
2．若直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，则实数k的值是( )
A．3或－3 B．3或4
C．－3或－1 D．－1或4
3．(多选题)已知直线l1：x＋my－1＝0，l2：(m－2)x＋3y＋3＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝－1或m＝3
B．若l1∥l2，则m＝3
C．若l1⊥l2，则m＝－
D．若l1⊥l2，则m＝
1．当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
2．在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论．
类型二 两条直线的交点问题
【例1】 已知直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，则实数k的取值范围是( )
A．
B．∪(－1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D．
求过两条直线交点的直线方程的方法
1．列方程组解出交点，根据条件求出直线方程．
2．采用过交点的直线系方程求解．
【训练1】 经过直线l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点，并且经过原点的直线的方程是( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
类型三 距离问题
【例2】 (1)已知直线3x＋my－3＝0与6x＋4y＋1＝0互相平行，则它们之间的距离是( )
A．4 B．
C． D．
(2)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B． C． D．2
(3)已知点P(2，－1)，则过点P且与原点的距离为2的直线l的方程为________．
1．点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式去求，注意直线方程应为一般式．
2．运用两平行直线间的距离公式d＝的前提是两直线方程中的x，y的系数对应相等．
【训练2】 (1)直线l1，l2分别过点M(1,4)，N(3，1)，它们分别绕点M和N旋转，但必须保持平行，那么它们之间的距离d的最大值是( )
A．5 B．4
C． D．3
(2)直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4,5)的距离相等，则直线l的方程为____________________.
类型四 对称问题
【例3】 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：
(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；
(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．
解决两类对称问题的关键
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点所连线段的中点在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．
【训练3】 (1)过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为__________________．
(2)已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
第二节 直线的交点坐标与距离公式
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)k1＝k2 平行 (2)k1·k2＝－1 垂直
2．(2)唯一解 (3)无解 (4)无数个解
3．(1) (2)
(3)
4．(1)(2a－x0,2b－y0)
小题快练
1．A 解析 由题意，设所求直线方程为2x－4y＋c＝0(c≠7)，因为直线经过点A(2,3)，所以2×2－4×3＋c＝0，解得c＝8，所以所求直线方程为x－2y＋4＝0.故选A.
2．D 解析 由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或m＝－1.故选D.
3．C 解析 由题意得d＝＝.故选C.
4．(－4，－1) 解析 设对称点的坐标为(x0，y0)，则解得所以所求对称点的坐标为(－4，－1)．
5. 解析 由两条直线平行，得＝，所以a＝6，所以直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，则两条平行直线间的距离为d＝＝.
关键能力·落实
1．D 解析 当直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0平行时，＝≠1，解得a＝－，当a＝1时，直线x＋2y－1＝0与直线a2x＋(a＋1)y－1＝0重合，所以p是q的既不充分也不必要条件．故选D.
2．A 解析 因为直线l1：(k－3)x＋(k＋4)y＋1＝0与直线l2：(k＋1)x＋2(k－3)y＋3＝0垂直，所以(k－3)×(k＋1)＋(k＋4)×2(k－3)＝0，即k2－9＝0，解得k＝3或k＝－3.故选A.
3．BD 解析 若l1∥l2，则1×3－m(m－2)＝0，解得m＝3或m＝－1，当m＝－1时，l1：x－y－1＝0，l2：x－y－1＝0，l1与l2重合，所以m＝－1(舍去)，故m＝3，故B正确；若l1⊥l2，则1×(m－2)＋m×3＝0，解得m＝，故C不正确，D正确．故选BD.
【例1】 D 解析 联立直线方程得解得x＝，y＝(k≠－2)．因为直线kx－y＋2k＋1＝0与直线2x＋y－2＝0的交点在第一象限，所以>0，>0，解得－【训练1】 C 解析 由得所以l1与l2的交点坐标为.所以所求的直线方程为y＝－x，即3x＋19y＝0.故选C.
【例2】 (1)D 解析 直线3x＋my－3＝0过定点(1,0)，则直线3x＋my－3＝0到直线6x＋4y＋1＝0的距离即为点(1,0)到直线6x＋4y＋1＝0的距离，则所求距离d＝＝＝.故选D.
(2)B 解析 由y＝k(x＋1)，可得直线过定点(－1,0)，易知当点(－1,0)与(0，－1)的连线与直线y＝k(x＋1)垂直时，所求距离最大，所以点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为＝.故选B.
(3)x＝2或3x－4y－10＝0 解析 易知过点P且垂直于x轴的直线满足条件，此时l的斜率不存在，其方程为x＝2.若斜率存在，设l的方程为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，由已知得＝2，解得k＝，此时l的方程为3x－4y－10＝0.综上，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.
【训练2】 (1)C 解析 连接MN，当直线l1，l2都与MN垂直时，它们之间的距离取得最大值，则dmax＝|MN|＝＝.故选C.
(2)x＋3y－5＝0或x＝－1 解析 解法一：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知＝，即|3k－1|＝|－3k－3|，所以k＝－，所以直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
解法二：连接AB，当AB∥l时，直线l的斜率k＝kAB＝－，直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当l过AB的中点(－1,4)时，由直线l过点P(－1,2)知，直线l的方程为x＝－1.故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
【例3】 解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得解得所以A′.
(2)在直线m上取一点M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则解得故M′.设直线m与直线l的交点为N，则由得即N(4,3)．又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.
(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.
【训练3】 (1)x＋4y－4＝0 解析 设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程，得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
(2)6x－y－6＝0 解析 设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.(共38张PPT)
第二节
第八章 平面解析几何
直线的交点坐标与距离公式
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
两条直线的平行与垂直 自练自悟
解析
解析
解析
类型二
两条直线的交点问题
解析
解析
类型三
距离问题
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型四
对称问题
解
解
解
解
解析
解析
R
赢在欲点微练(六十五) 直线的交点坐标与距离公式
基础过关
一、单项选择题
1．直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是( )
A．平行 B．相交但不垂直
C．垂直 D．重合
2．已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，点P(1,2)到直线l2的距离d＝( )
A． B． C． D．
3．(2025·杭州模拟)点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是( )
A．(1,0) B．(0,1)
C．(0，－1) D．(2,1)
4．若直线kx－y＝k－1与直线ky－x＝2k相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．
C． D．
5．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为( )
A．3x－4y－9＝0 B．4x－3y－9＝0
C．3x－4y＋9＝0 D．4x－3y＋9＝0
6．点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋λ)y－2－4λ＝0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时直线l的方程分别为( )
A．；x＋y－2＝0
B．；3x＋y－4＝0
C．；3x＋2y－5＝0
D．；2x－3y＋1＝0
7．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|＝( )
A．2 B．2
C．2 D．4
8．已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝( )
A．10 B．13
C．16 D．20
二、多项选择题
9．(2025·福建福州模拟)已知直线l：(a2＋a＋1)x－y＋1＝0，其中a∈R，则( )
A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直
B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0
C．直线l过定点(0,1)
D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等
10．已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”．下列直线是点M的“相关直线”的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝2
C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0
11．若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的是( )
A．直线l2的斜率为定值
B．当c＝25时，|PQ|的最小值为
C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20
D．c≠10
三、填空题
12．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
13．已知点P(0,2)，直线l：x＋2y－1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是________．
14．已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________________．
素养提升
15．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为( )
A．5 B．
C． D．2＋
16．(2025·四川资阳模拟)已知点M(3,5)，在直线l：x－2y＋2＝0和y轴上各找一点P和Q，则△MPQ的周长的最小值为________．
微练(六十五) 直线的交点坐标与距离公式
1．B 解析 方程2x＋y＋1＝0可化为y＝－2x－1，因此该直线的斜率k1＝－2，方程x＋2y＋1＝0可化为y＝－x－，因此该直线的斜率k2＝－，因为k1≠k2，k1k2＝1≠－1，所以这两条直线相交但不垂直．故选B.
2．D 解析 由l1⊥l2可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝＝，故选D.
3．B 解析 设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得a＝0，b＝1，故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)．故选B.
4．C 解析 若直线kx－y＝k－1与直线ky－x＝2k平行或重合，则k2－1＝0，解得k＝±1，若直线kx－y＝k－1与直线ky－x＝2k相交，可得k≠1且k≠－1.联立方程解得即交点坐标为，由题意可得解得05．D 解析 由可得又垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的斜率k＝，则所求直线方程为y＝＋，即4x－3y＋9＝0.故选D.
6．C 解析 直线l的方程可整理为λ(3x＋y－4)＋x＋y－2＝0，令解得所以直线l恒过点A(1,1)，由题意得当PA垂直直线l时，点P到直线l的距离最大，最大为|PA|＝＝，kPA＝＝，所以直线l：y－1＝－(x－1)，整理得3x＋2y－5＝0.故选C.
7．B 解析 因为菱形四条边都相等，所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行，直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为＝，直线3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝，于是有＝，得|c1－c2|＝2.故选B.
8．B 解析 因为1×m＋(－m)×1＝0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，又因为直线l1：x－my＋1＝0过定点A(－1,0)，直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m(x－1)＋y＋3＝0过定点B(1，－3)，所以在Rt△APB中，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝[1－(－1)]2＋(－3－0)2＝13，故选B.
9．AC 解析 对于A，当a＝－1时，直线l的方程为x－y＋1＝0，其斜率k1＝1，而直线x＋y＝0的斜率k2＝－1，故k1k2＝－1，因此当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直，A正确；对于B，若直线l与直线x－y＝0平行，则a2＋a＋1＝1，解得a＝0或a＝－1，B错误；对于C，当x＝0时，y＝1，与a无关，则直线l过定点(0,1)，C正确；对于D，当a＝0时，直线l的方程为x－y＋1＝0，在x，y轴上的截距分别是－1,1，不相等，D错误．故选AC.
10．BC 解析 选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A错误；同理，D错误；选项B中，点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B正确；选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，故C正确．故选BC.
11．ABD 解析 因为l1∥l2，所以＝≠，所以a＝6，c≠10，故A，D正确；因为|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，所以当c＝25时，d＝＝，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误．故选ABD.
12．－1 1 2 解析 若直线l1的倾斜角为，则－a＝tan＝1，解得a＝－1；若l1⊥l2，则a×1＋1×(－1)＝0，解得a＝1；若l1∥l2，则a＝－1，l1：x－y＋1＝0，两平行直线间的距离d＝＝2.
13．y＝x＋2(答案不唯一) 解析 直线l：x＋2y－1＝0的斜率为－，故只需所求直线方程斜率不是－即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y＝x＋2.
14．x－2y＋4＝0 解析 如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点A′(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点D′(－4,4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0，令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为(0,2)，所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
15．B 解析 f(x)＝＋＝＋，表示平面上点M(x,0)到点A(－5，2)与B(－3，－3)的距离之和，连接AB(图略)，与x轴交于M(x,0)，则此时点M到点A与点B的距离之和最小，即f(x)min＝＝，故选B.
16．4 解析 设点M(3,5)关于直线l：x－2y＋2＝0的对称点为M1(x，y)，则有解得故M1(5，1)，点M(3,5)关于y轴的对称点为M2(－3,5)，连接M1M2分别交直线l与y轴于点P，Q，如图所示，此时△MPQ的周长最小，最小值为|M2M1|＝＝4.(共26张PPT)
直线的交点坐标与距离公式
微练(六十五)
基础过关
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