第8章 第3节 圆的方程(课件 学案 练习)2026届高中数学人教A版(2019)大一轮复习

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名称 第8章 第3节 圆的方程(课件 学案 练习)2026届高中数学人教A版(2019)大一轮复习
格式 zip
文件大小 23.4MB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-06-22 21:22:19

文档简介

第三节 圆的方程
【课程标准】 1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程;2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
教|材|回|顾
1.圆的定义和圆的方程
定义 圆是平面上到________的距离等于________的点的集合
标准 方程 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C(a,b)
半径为r
一般 方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 充要条件:__________
圆心坐标:____________
半径r=
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:
(1)|MC|>r M在________,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2;
(2)|MC|=r M在________,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2;
(3)|MC|微|点|延|伸
1.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,则
2.圆的“直径式”方程:以A(x1,y1),B(x2,y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.圆的参数方程:圆心为(a,b),半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数,可用来设圆上的点的坐标.
小|题|快|练
1.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(  )
A.D=E B.D=F
C.E=F D.D=E=F
2.(人A选一P85T1改编)圆心坐标为(2,-3)且过原点的圆的方程是(  )
A.(x-2)2+(y+3)2=
B.(x+2)2+(y+3)2=
C.(x+2)2+(y-3)2=13
D.(x-2)2+(y+3)2=13
3.圆心在y轴上,半径长为1,且过点A(1,2)的圆的方程是(  )
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=4
4.(人A选一P85T3改编)已知A(1,0),B(0,3),则以AB为直径的圆的方程是______________________.
5.已知P(x,y)是圆x2+y2=1上的动点,则x2+4y的最大值为________.
类型一 求圆的方程
【例1】 (1)已知圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则这个圆的方程为(  )
A.x2+y2-4x-2y+7=0
B.x2+y2-8x-2y-9=0
C.x2+y2+8x+2y-6=0
D.x2+y2-4x+2y-5=0
(2)求圆心在直线x-2y-3=0上,且过点A(2,-3),B(-2,-5)的圆的方程.
求圆的方程的常用方法
1.直接法:直接求出圆心坐标和半径,写出方程.
2.待定系数法
(1)若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,求出a,b,r的值;
(2)选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.
【训练1】 (1)(2025·辽宁大连模拟)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在x轴上的圆的方程为(  )
A.x2+y2=4 B.(x-2)2+y2=8
C.(x-1)2+y2=5 D.(x-2)2+y2=10
(2)(2025·山东泰安检测)在平面内,M,N是两个定点,P是动点,若·=4,则点P的轨迹为(  )
A.椭圆 B.抛物线
C.直线 D.圆
类型二 与圆有关的最值问题
考向 :借助几何性质求最值
【例2】 已知M(-1,2),N是曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0上的动点,P为直线x+2y+2=0上的一个动点,则|PM|+|PN|的最小值为________.
将求解的式子进行变形,赋予其一定的几何意义解题,比如本题利用对称性求解.也可以从斜率、距离等几何意义出发求解.
考向 :借助函数法求最值
【例3】 (1)设点P(x,y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点,定点A(2,0),B(-2,0).则·的最大值为________.
(2)已知x2+y2+x+y=0,求x+y的取值范围为________.
建立函数关系式求最值
根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式,然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,利用二次函数或基本不等式求最值是比较常用的.
【题组对点练】 
题号 1 2 3
考向
1.设P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值是(  )
A.6 B.25
C.26 D.36
2.已知A(2,0),B(4,0),若直线y=k(x-1)上存在一点M,使得·=0,则实数k的取值范围为(  )
A.
B.∪
C.
D.∪
3.(2024·山东聊城一模)已知P是圆C:x2+y2=1外的动点,过点P作圆C的两条切线,设两切点分别为A,B,当·的值最小时,点P到圆心C的距离为(  )
A. B.
C. D.2
类型三 与圆有关的轨迹问题
【例4】 已知定点M(1,0),N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)已知点B(6,0),点A在轨迹C上运动,求线段AB上靠近点B的三等分点Q的轨迹方程.
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
1.直接法:直接根据题目提供的条件列出方程.
2.定义法:根据圆、直线等定义列方程.
3.相关点代入法:找到要求点与已知点的关系,代入已知点满足的关系式.
【训练2】 如图所示,圆O1和圆O2的半径长都等于1,|O1O2|=4.过动点P分别作圆O1,圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|=|PN|.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.
第三节 圆的方程
必备知识·梳理
教材回顾
1.定点 定长 D2+E2-4F>0 
2.(1)圆外 (2)圆上 (3)圆内
小题快练
1.A
2.D
3.A 解析 根据题意可设圆的方程为x2+(y-b)2=1,因为圆过点A(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=2,所以所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A.
4.x2+y2-x-3y=0
5.4 解析 由题意得,x2+4y=1-y2+4y=-(y-2)2+5,因为y∈[-1,1],所以当y=1时,x2+4y取得最大值4.
关键能力·落实
【例1】 (1)B 解析 根据题意,圆的内接正方形的一条对角线上的两个顶点的坐标分别是(5,6),(3,-4),则圆的圆心坐标为(4,1),半径r=×=,则圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=26,即x2+y2-8x-2y-9=0,故选B.
(2)解 解法一:设点C为圆心,因为点C在直线x-2y-3=0上,所以可设点C的坐标为(2a+3,a).又该圆经过A,B两点,连接CA,CB,所以|CA|=|CB|,即=,解得a=-2,所以圆心C的坐标为(-1,-2),半径r=.故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
解法二:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由题意得解得故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
【训练1】 (1)D 解析 设圆的圆心为(a,0),半径为r,则有解得故圆的方程为(x-2)2+y2=10.故选D.
(2)D 解析 如图建立平面直角坐标系,由M,N是两个定点,不妨设M(-c,0),N(c,0),设P(x,y),则=(x+c,y),=(x-c,y).由·=4可得(x+c)(x-c)+y2=4,即x2+y2=4+c2.所以点P的轨迹为圆.故选D.
【例2】 3-1 解析 如图,曲线C:x2+y2-6x-2y+9=0是以C(3,1)为圆心,以1为半径的圆,则根据圆的性质可知,|PN|的最小值为|PC|-1,设M关于直线x+2y+2=0的对称点为H(m,n),则可得解得即H(-3,-2),连接HC,分别交直线x+2y+2=0与圆C于点P,N,则|PM|+|PN|=|PM|+|PC|-1=|PH|+|PC|-1≥|HC|-1,当且仅当P,H,C三点共线时取等号,此时取得最小值3-1,所以|PM|+|PN|的最小值为3-1.
【例3】 (1)12 解析 由题意,得=(2-x,-y),=(-2-x,-y),所以·=x2+y2-4,由于点P(x,y)是圆上的点,故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1,故x2=-(y-3)2+1,所以·=-(y-3)2+1+y2-4=6y-12.易知2≤y≤4,所以当y=4时,·的值最大,最大值为6×4-12=12.
(2)[-2,0] 解析 配方:2+2=,令则x+y=cos θ+sin θ-1=sin-1∈[-2,0].
【题组对点练】 
1.D 解析 (x-5)2+(y+4)2表示点P(x,y)到(5,-4)的距离的平方,因为P(x,y)是圆(x-2)2+y2=1上的任意一点,所以(x-5)2+(y+4)2的最大值为圆心(2,0)到(5,-4)的距离与半径之和的平方,即[(x-5)2+(y+4)2]max=[+1]2=36.故选D.
2.A 解析 因为·=0,所以AM⊥BM,所以点M在以AB为直径的圆上,所以以AB为直径的圆与直线y=k(x-1)有公共点.因为以AB为直径的圆的圆心为(3,0)、半径为1,所以≤1,解得-≤k≤,故选A.
3.A 解析 设|PC|=m,则|PA|=|PB|=,cos∠APC==,cos∠APB=2cos2∠APC-1=2×-1==,所以·=(m2-1)·==m2+-3≥2-3,当且仅当m2=,即m2=,即m=时等号成立,此时|PC|=,故选A.
【例4】 解 (1)设动点P的坐标为(x,y),因为M(1,0),N(2,0),且|PN|=|PM|,所以=·,整理得x2+y2=2,所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.
(2)设点Q的坐标为(x,y),点A的坐标为(xA,yA),因为Q是线段AB上靠近点B的三等分点,所以=2,即(x-xA,y-yA)=2(6-x,-y),解得又点A在轨迹C上运动,由(1)有(3x-12)2+(3y)2=2,化简得(x-4)2+y2=,即点Q的轨迹方程为(x-4)2+y2=.
【训练2】 解 以O1O2的中点O为原点,O1O2所在的直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则O1(-2,0),O2(2,0).由已知|PM|=|PN|,得|PM|2=2|PN|2.连接O1M,O2N,PO1,PO2,则O1M⊥PM,O2N⊥PN.因为两圆的半径长均为1,所以|PO1|2-1=2(|PO2|2-1).设P(x,y),则(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1],化简,得(x-6)2+y2=33,所以点P的轨迹方程为(x-6)2+y2=33.(共35张PPT)
第三节
第八章 平面解析几何
圆的方程




必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
求圆的方程
解析


解析
解析
类型二
与圆有关的最值问题
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型三
与圆有关的轨迹问题



R
赢在欲点
y
P
M
N
0
X
M
0
N
C
X
P
H
x+2y+2=0
P
M
N
1
2
y个
P
M
1
N
0
X
1
0
2微练(六十六) 圆的方程
 基础过关
一、单项选择题
1.以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的标准方程为(  )
A.(x+3)2+(y-4)2=16
B.(x-3)2+(y+4)2=16
C.(x-3)2+(y-4)2=9
D.(x-3)2+(y+4)2=9
2.(2025·泰州模拟)若点P(1,1)在圆C:x2+y2+x-y+k=0的外部,则实数k的取值范围是(  )
A.(-2,+∞) B.
C. D.(-2,2)
3.已知曲线y=x2-x-2与x轴交于A,B两点,圆M经过A,B,C(2,4)三点,则圆M的方程为(  )
A.x2+y2-x-4y-2=0
B.x2+y2-3x+2=0
C.x2+y2+2x-4y-8=0
D.x2+y2+x-y-18=0
4.(2025·焦作开学考试)已知圆经过点A(4,4),B(-2,4),C(4,-4),则该圆的半径为(  )
A.4 B.5
C.8 D.10
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ>0,且λ≠1)的点所形成的图形是圆,后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中,A(-4,0),B(2,0),点P满足=2,则点P的轨迹的圆心坐标为(  )
A.(4,0) B.(0,4)
C.(-4,0) D.(2,0)
6.已知某圆圆心在x轴上,半径为5,且截y轴所得线段长为8,则该圆的标准方程为(  )
A.(x+3)2+y2=25
B.(x-3)2+y2=25
C.(x±3)2+y2=25
D.(x+9)2+y2=25
7.已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线l:x-y-3=0上运动,直线PA,PB与圆C相切,切点为A,B,则下列说法正确的是(  )
A.|PA|的最小值为2
B.|PA|最小时,弦AB长为
C.|PA|最小时,弦AB所在直线的斜率为-1
D.四边形PACB面积的最小值为
二、多项选择题
8.已知圆C:(x-2)2+y2=1,点P(m,n)为圆C上的动点,则下列结论正确的是(  )
A.的最大值为
B.m2+n2的最大值为3
C.m2+n2的最大值为9
D.无最大值
9.设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R),下列命题正确的是(  )
A.不论k如何变化,圆心C始终在一条直线上
B.所有圆Ck均不经过点(3,0)
C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个
D.所有圆的面积均为4π
三、填空题
10.已知圆M过曲线y=-x2+4与坐标轴的三个交点,则圆M的标准方程为________.
11.对圆(x-1)2+(y-1)2=1上任意一点P(x,y),若点P到直线l1:3x-4y-9=0和l2:3x-4y+a=0的距离之和与x,y无关,则a的取值范围为________.
12.若直线x-y-3=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,动点P在圆x2+(y-1)2=1上,则△ABP面积的取值范围是________.
四、解答题
13.已知圆C的圆心在x轴上,并且过A(1,3),B(3,3)两点.
(1)求圆C的方程;
(2)若P为圆C上任意一点,定点M(8,0),点Q满足=3,求点Q的轨迹方程.
14.已知圆C1经过点A(1,3)和B(2,4),圆心在直线2x-y-1=0上.
(1)求圆C1的方程;
(2)若M,N分别是圆C1和圆C2:(x+3)2+(y+4)2=9上的点,点P是直线x+y=0上的点,求|PM|+|PN|的最小值,以及此时点P的坐标.
 素养提升
15.(2025·山东模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1上存在两动点A,B满足△ABC为正三角形,O为坐标原点,则|+|的最大值为(  )
A.2 B.2
C.2- D.2+
16.已知圆C的方程为x2+y2-4x=0,若直线y=k(x+1)上存在一点P,使过点P所作圆C的两条切线互相垂直,则k的取值范围是____________.
微练(六十六) 圆的方程
1.C 解析 以点A(3,4)为圆心,且与y轴相切的圆的半径为3,故圆的标准方程是(x-3)2+(y-4)2=9.故选C.
2.C 解析 由题意得解得-23.A 解析 解法一:由题不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(2,0),设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C三点的坐标代入圆M的方程,可得解得即圆M的方程为x2+y2-x-4y-2=0.故选A.
解法二:由题不妨设A,B两点的坐标分别为(-1,0),(2,0).圆心既在线段AB的中垂线x=上,又在线段BC的中垂线y=2上,因而圆心坐标为,半径为=,故所求圆的方程为2+(y-2)2=,即x2+y2-x-4y-2=0.故选A.
4.B 解析 因为=(-6,0),=(0,-8),·=0,所以⊥,所以∠BAC=90°,所以该圆的直径为|BC|==10,所以半径为5.故选B.
5.A 解析 令P(x,y),则=2,两边平方并整理得(x-4)2+y2=16,所以圆心为(4,0).故选A.
6.C 解析 如图,由题设知|AC|=r=5,|AB|=8,所以|OA|=4.在Rt△AOC中,|OC|===3.设点C的坐标为(a,0),则|OC|=|a|=3,所以a=±3.故所求圆的标准方程为(x±3)2+y2=25.故选C.
7.B 解析 由圆的方程可知,圆心C(-1,0),半径r=,如图,连接PC.|PA|==,当PC⊥l时,|PC|最小,此时|PA|最小.对于A,|PC|min==2,所以|PA|min==,故A错误;对于B,当|PA|最小时,S△PAC=|PA|·r=|PC|·|AB|,即××=×2×|AB|,解得|AB|=,故B正确;对于C,因为PC⊥l,PC⊥AB,所以AB∥l,所以kAB=kl=1,故C错误;对于D,四边形PACB的面积S=2S△PAC=|PA|·r,所以当|PA|最小时,四边形PACB的面积最小,最小值为×=2,故D错误.故选B.
8.AC 解析 如图,圆C:(x-2)2+y2=1的圆心为C(2,0),半径为r=1,设k=,则km-n=0,因为点P在圆上,所以≤1,解得-≤k≤,故的取值范围是,故A正确,D错误;因为m2+n2的几何意义为P点到原点距离的平方,又点P到原点的距离的取值范围是[1,3],所以m2+n2的取值范围是[1,9],故m2+n2的最大值为9,故B错误,C正确.故选AC.
9.ABD 解析 圆心坐标为(k,k),在直线y=x上,A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4,化简得2k2-6k+5=0,因为Δ=36-40=-4<0,所以2k2-6k+5=0无实数根,B正确;由(2-k)2+(2-k)2=4,化简得k2-4k+2=0,因为Δ=16-8=8>0,有两个不相等实根,所以经过点(2,2)的圆Ck有两个,C错误;由圆的半径为2,得圆的面积为4π,D正确.故选ABD.
10.x2+2= 解析 曲线y=-x2+4与坐标轴的三个交点分别为A(-2,0),B(2,0),C(0,4),设过A,B,C的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则解得所以过A,B,C的圆的方程为x2+y2-3y-4=0,即x2+2=.
11.[6,+∞) 解析 由题知,圆(x-1)2+(y-1)2=1的圆心为(1,1),半径为1,因为点P(x,y)到直线l1:3x-4y-9=0和l2:3x-4y+a=0的距离之和与x,y无关,所以其距离之和与点P(x,y)无关.如图所示,当l2:3x-4y+a=0在圆左上方(包含相切)时,点P到直线l1,l2的距离之和为平行直线l1,l2之间的距离,即此时与x,y的值无关,当直线l2与圆相切时,则=1化简得|a-1|=5,解得a=6或a=-4(舍去),所以a≥6.
12.[,3] 解析 如图所示,因为直线x-y-3=0与坐标轴的交点A(,0),B(0,-3),则|AB|==2,圆x2+(y-1)2=1的圆心C(0,1),半径为r=1,则圆心C(0,1)到直线x-y-3=0的距离为d==2,所以圆x2+(y-1)2=1上的点P到直线x-y-3=0的距离的最小值为d-r=2-1=1,距离的最大值为d+r=2+1=3,所以△ABP面积的最小值为×2×1=,最大值为×2×3=3,即△ABP面积的取值范围为[,3].
13.解 (1)由题意可知,AB的中点为(2,3),kAB=0,所以AB的中垂线方程为x=2,它与x轴的交点为圆心C(2,0),又半径r=|AC|=,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
(2)设P(x0,y0),Q(x,y),由=3,得(8-x0,-y0)=3(8-x,-y),所以又点P在圆C上,故(x0-2)2+y=10,所以(3x-18)2+(3y)2=10,化简得点Q的轨迹方程为(x-6)2+y2=.
14.解 (1)连接AB,由题意知AB的中点坐标为,kAB==1,所以AB的垂直平分线的方程为y=5-x,联立解得即圆C1的圆心坐标为(2,3),半径r=1,其方程为(x-2)2+(y-3)2=1.
(2)注意到点C1(2,3)和点C2(-3,-4)在直线x+y=0的两侧,且直线x+y=0与两圆均相离,连接PC1,PC2,C1C2,所以|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4,当M,N,P在线段C1C2上时取等号,此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点,直线C1C2的方程为7x-5y+1=0,联立解得所以点P的坐标为.
15.D 解析 由题意可知△ABC是边长为1的正三角形,设AB的中点为M,则|CM|=,又C(1,1),所以点M的轨迹方程为(x-1)2+(y-1)2=,且|OC|=.因为+=2,所以|+|=2||,因为|OM|≤|OC|+|CM|=+,当且仅当点C在线段OM上时等号成立,所以||的最大值为+,所以|+|的最大值为2+.故选D.
16.[-2,2] 解析 由x2+y2-4x=0,得(x-2)2+y2=4,所以圆C的圆心为C(2,0),半径r=2.设过点P所作圆C的两条切线的切点分别为A,B,如图,连接AC,BC,PC,则四边形PACB是边长为2的正方形,所以|PC|=2.点P在直线y=k(x+1)上,则圆心C到直线y=k(x+1)的距离d=≤2,解得-2≤k≤2,所以k的取值范围是[-2,2].(共34张PPT)
圆的方程
微练(六十六)
基础过关
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2
3
4
解析
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