第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
【课程标准】 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
教|材|回|顾
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ____0 Δ____0 Δ____0
几何观点 d____r d____r d____r
2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离 ________________
外切 ________________
相交 ________________
内切 ________________
内含 ________________
微|点|延|伸
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在的直线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，
圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，
(1)若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程．
(2)若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程．
小|题|快|练
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
2．(人A选一P93T3改编)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．2
C． D．2
3．(人A选一P98练习T1改编)圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是( )
A．外切 B．相交
C．外离 D．内切
4．若圆x2＋y2＋6x＝0与圆x2＋y2－2my＋m2－16＝0外离，则实数m的取值范围是________．
5．(人A选一P96例5改编)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________.
类型一 直线与圆位置关系的判断 自练自悟
1.直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离
B．相交或相切
C．相交
D．相切
2．(2025·济南质量检测)已知直线l经过点(2,4)，则“直线l的斜率为－1”是“直线l与圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝2相切”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知点A(－2,0)，B(2,0)，点M是直线y＝kx＋3上任意一点，且∠AMB<90°，则实数k的取值范围是________．
判断直线与圆的位置关系的常见方法
1．几何法：利用d与r的关系判断．
2．代数法：联立方程之后利用Δ判断.
类型二 圆的切线问题
【例1】 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
1．几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
2．代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
【训练1】 (2025·重庆模拟)已知P(x0，y0)是直线l：x－y＋4＝0上一点，过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，|AB|＝( )
A． B．
C． D．4
类型三 圆的弦长问题
【例2】 (1)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B．3x＋4y－12＝0或x＝0
C．4x－3y＋9＝0或x＝0
D．3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
(2)(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．2
弦长的两种求法
1．代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
2．几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【训练2】 (多选题)(2025·山东青岛模拟)已知直线l：x－my＋3＝0和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，则下列结论成立的是( )
A．直线l：x－my＋3＝0过定点(－3,0)
B．当直线l与圆C相交时，直线l：x－my＋3＝0被圆所截的弦长最大值为4
C．当直线l与圆C相切时，实数m＝2
D．当实数m的值为3时，直线l与圆C相交，且所得弦长为
类型四 圆与圆的位置关系
【例3】 (1)圆C1：(x－2)2＋(y－4)2＝9与圆C2：(x－5)2＋y2＝16的公切线条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)已知圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和圆C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
(ⅰ)求证：圆C1和圆C2相交；
(ⅱ)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．
两圆公共弦长的求法
求两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．
【训练3】 (1)(多选题)已知圆C：x2＋y2－2ax＋a2－1＝0与圆D：x2＋y2＝4有且仅有两条公共切线，则实数a的取值可以是( )
A．－3 B．3
C．2 D．－2
(2)(2025·长沙适应性考试)已知A(4,1)，B(2，2)，C(0,3)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则实数r的取值范围是________.
1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为( )
A． B．2
C．3 D．3
2．(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝( )
A．1 B．
C． D．
3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
4．(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
5．(2023·新课标Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值________．
6．(2022·新课标Ⅱ卷)设点A(－2,3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
必备知识·梳理
教材回顾
1．< ＝ > > ＝ <
2．d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|小题快练
1．A 解析 圆心到直线的距离d＝＝1<4，所以直线与圆相交．故选A.
2．B 解析 因为圆x2＋y2＝8的圆心为(0,0)，半径为2，所以圆心到直线x－2y＋5＝0的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2.故选B.
3．A 解析 圆C1的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，所以圆心C2(4,3)，半径r2＝3，所以|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，故两圆外切．故选A.
4．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析 设圆C1：x2＋y2＋6x＝0，即(x＋3)2＋y2＝9，所以圆心C1(－3,0)，半径r1＝3；圆C2：x2＋y2－2my＋m2－16＝0，即x2＋(y－m)2＝16，所以圆心C2(0，m)，半径r2＝4.因为圆C1和圆C2外离，所以|C1C2|>r1＋r2，即>7，解得m<－2或m>2，所以实数m的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
5．2 解析 由得两圆公共弦所在直线方程x－y＋2＝0.又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长为2＝2.
关键能力·落实
1．C 解析 解法一：直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点(1,2)．因为12＋22－2×1－8<0，所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．故选C.
解法二：圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．故选C.
2．C 解析 如图，易知点(2,4)在圆C：(x－1)2＋(y－3)2＝2上，圆心C(1,3)与点(2,4)的连线l′的斜率为＝1，若直线l的斜率为－1，则l⊥l′，则直线l与圆C相切，反之，若直线l与圆C相切，则l⊥l′，则直线l的斜率为－1.故选C.
3. 解析 因为∠AMB<90°，所以点M在以线段AB为直径的圆外，即直线y＝kx＋3与以线段AB为直径的圆相离，设线段AB的中点为O(0,0)，又|AB|＝4，可知以线段AB为直径的圆的圆心为O(0,0)，半径r＝|AB|＝2，故方程为x2＋y2＝4，又圆心(0,0)到直线y＝kx＋3的距离d＝>2，解得－【例1】 解 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)因为(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，所以点P在圆C上．又kPC＝＝－1，所以过点P的切线的斜率为－＝1，所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，即x－y＋1－2＝0.
(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，所以点M在圆C外．当过点M的直线的斜率不存在时，直线方程为x＝3，即x－3＝0.又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，所以直线x＝3是圆的切线；当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝.所以切线方程为y－1＝(x－3)，即3x－4y－5＝0.综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.因为|MC|＝＝，所以过点M的圆C的切线长为＝＝1.
【训练1】 A 解析 在平面直角坐标系中画出直线l与圆O的图象，如图所示．连接OA，OB，OP，由PA，PB切圆O于A，B知，OA⊥PA，OB⊥PB，OP⊥AB.因为直线AB与l平行，所以OP⊥l，又|OP|＝＝2，且圆O半径为1，所以|PA|＝＝.由四边形OAPB面积S＝2S△OPA，得|AB||OP|＝2×|OA||AP|，所以|AB|＝＝＝.故选A.
【例2】 (1)B 解析 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，则由得或所以|AB|＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋3，因为圆x2＋y2－2x－2y－2＝0即(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圆心为C(1,1)，圆的半径r＝2，易知圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝，d2＋2＝r2，所以＋3＝4，解得k＝－，所以直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0.故选B.
(2)C 解析 根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2)．设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以|AB|的最小值为2＝4，故选C.
【训练2】 AD 解析 将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0化为(x－3)2＋y2＝4，可得其圆心C(3,0)，半径r＝2.对于A，对于任意实数m，当y＝0时，恒有x＝－3，即直线l过定点(－3,0)，A正确；对于B，显然圆心C(3,0)不满足直线l的方程，即直线l不过圆心C，因此，当直线l与圆C相交时，直线l被圆所截的弦长小于4，B错误；对于C，当直线l与圆C相切时，圆心C到直线l的距离d1＝＝2，解得m＝±2，C错误；对于D，当m＝3时，由C知，圆心C到直线l的距离d2＝<2，所以直线l与圆C相交，所得弦长为2＝2＝，D正确．故选AD.
【例3】 (1)B 解析 依题意，圆C1的圆心为C1(2,4)，半径r1＝3，圆C2的圆心为C2(5,0)，半径r2＝4，|C1C2|＝＝5，因为|r1－r2|<5(2)解 (ⅰ)证明：圆C1的圆心C1(1,3)，半径r1＝，圆C2的圆心C2(5,6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝＋4，|r1－r2|＝4－，因为|r1－r2|(ⅱ)将圆C1和圆C2的方程左、右分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5,6)到直线4x＋3y－23＝0的距离d＝＝3，故公共弦长为2＝2.
【训练3】 (1)CD 解析 圆C的标准方程为(x－a)2＋y2＝1，圆心为(a,0)，半径r1＝1.圆D的圆心为(0,0)，半径r2＝2.依题意，两圆的圆心距d满足|r1－r2|(2)[2－1,2＋1] 解析 设P(x，y)，由|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，得(x－4)2＋(y－1)2＋(x－2)2＋(y－2)2＋x2＋(y－3)2＝13，得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝1，所以点P的轨迹是以(2,2)为圆心，1为半径的圆，记该圆为圆E，E(2,2)．记圆x2＋y2＝r2(r>0)为圆O，O(0,0)，若在圆x2＋y2＝r2(r>0)上存在点P满足|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝13，则圆E和圆O有公共点．连接OE，则|OE|－1≤r≤|OE|＋1，解得2－1≤r≤2＋1.
高考真题·重温
1．D 解析 化圆的方程为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离为＝＝3.故选D.
2．B 解析 圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝5，圆心C(2,0)，半径r＝，M(0，－2)与C(2,0)之间的距离d＝2，所以sin＝＝，cos＝，sin α＝2sincos＝2××＝.故选B.
3．ACD 解析 由题意可知直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心(5,5)到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆(x－5)2＋(y－5)2＝16相离，所以点P到直线AB的距离的取值范围为，因为－4∈(0,1)，＋4∈(8,9)，所以选项A正确，选项B错误．过点B作圆的两条切线，切点分别为P1，P2，如图，当点P在切点P1的位置时，∠PBA最小，当点P在切点P2的位置时，∠PBA最大，易知|P1B|＝|P2B|，圆心(5,5)到点B的距离为，圆的半径为4，所以|P1B|＝|P2B|＝＝＝3，故选项C，D均正确．故选ACD.
4．ABD 解析 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝，若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，所以直线l与圆C相切，故A正确．若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，所以直线l与圆C相离，故B正确．若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，所以d＝<|r|，所以直线l与圆C相交，故C错误．若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，即a2＋b2＝r2，所以d＝＝|r|，所以直线l与圆C相切，故D正确．故选ABD.
5．2 解析 设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式，得|AB|＝2，所以S△ABC＝×d×2＝，解得d＝或d＝，又d＝＝，所以＝或＝，解得m＝±2或m＝±.
6. 解析 因为kAB＝，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以≤1.整理，得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤.(共49张PPT)
第四节
第八章 平面解析几何
直线与圆、圆与圆的位置关系
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
直线与圆位置关系的判断 自练自悟
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
圆的切线问题
解
解
解析
类型三
圆的弦长问题
解析
解析
解析
类型四
圆与圆的位置关系
解析
解
解
解析
解析
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
o
●
O
●
O
2
O
1
O
2
0
1
0
2
O
1
0
2
1
0
2
1
(2,4)
C(1,3)
0
X
y米
3
M
y=kx+3
A
0
B
x
y
P
B
x
A
y
P
●
543
产5一
1
P
A
O
12345
X微练(六十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系
基础过关
一、单项选择题
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2．已知圆O1：(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆O2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝16，则这两个圆的位置关系为( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内含
3．过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
4．(2025·浙江名校联考)已知直线l：kx－y－k＋3＝0，若无论k取何值，直线l与圆(x－5)2＋(y－6)2＝r2(r>0)恒有公共点，则r的取值范围是( )
A．[3,5] B．(3，＋∞)
C．[4,6) D．[5，＋∞)
5．过点P(－1,1)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为( )
A．2 B．
C． D．2
6．(2025·合肥质量检测)已知直线l：x－ay－1＝0与⊙C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0交于A，B两点，设弦AB的中点为M，O为坐标原点，则|OM|的取值范围为( )
A．[3－，3＋] B．[－1，＋1]
C．[2－，2＋] D．[－1，＋1]
二、多项选择题
7．已知圆O1：(x－1)2＋y2＝4，圆O2：(x－5)2＋y2＝4m，下列说法正确的是( )
A．若m＝4，则圆O1与圆O2相交
B．若m＝4，则圆O1与圆O2外离
C．若直线x－y＝0与圆O2相交，则m>
D．若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则|MN|＝
8．(2025·郑州质量检测)在平面直角坐标系xOy中，A(－2,0)，动点P满足|PA|＝|PO|，得到动点P的轨迹是曲线C．则下列说法正确的是( )
A．曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝8
B．若直线y＝kx＋4与曲线C有公共点，则k的取值范围是[2－，2＋]
C．当O，A，P三点不共线时，若点D(2－2，0)，则射线PD平分∠APO
D．过曲线C外一点(a－4，a)作曲线C的切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点
三、填空题
9．已知圆O：x2＋y2＝1与直线l：x＝－1，写出一个半径为1，且与圆O及直线l都相切的圆的方程：________________.
10．已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，则sin∠AOB＝________.
11．已知圆O：x2＋y2＝4，则满足条件“圆O上到直线x＋y＋m＝0的距离为1的点的个数是奇数”的一个m的值为________．
四、解答题
12．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
13．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
素养提升
14．已知有100个半径互不相等的同心圆，其中最小圆的半径为1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，则这100个圆中最大圆的半径是( )
A．8 B．9
C．10 D．100
15．(2025·常州模拟)已知圆O：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：kx－y－4k＝0，当k＝时，直线l与圆O恰好相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l上存在距离为2的两点M，N，在圆O上存在一点P，使得·＝0，求实数k的取值范围．
微练(六十七) 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．A 解析 由题意，知圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．故选A.
2．C 解析 根据题意得圆O1的圆心为O1(1，－2)，半径为3，圆O2的圆心为O2(－2，－1)，半径为4，圆心距|O1O2|＝，因为4－3<<4＋3，所以两圆相交．故选C.
3．B 解析 因为过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，所以点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，连接圆心与切点，连线所在直线的斜率为k＝＝，所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.
4．D 解析 由kx－y－k＋3＝0，得k(x－1)＋(－y＋3)＝0，即直线l过定点A(1,3)，故当点A在圆内或圆上时，直线l与圆(x－5)2＋(y－6)2＝r2(r>0)恒有公共点，则(1－5)2＋(3－6)2≤r2(r>0)，得r≥5，故选D.
5．A 解析 圆C的标准方程为(x＋2)2＋y2＝5，所以圆C的圆心C(－2,0)，半径r＝.因为(－1＋2)2＋12＝2<5，所以点P在圆C内，连接CP，则当AB⊥CP时，|AB|取得最小值．因为|CP|＝＝，所以|AB|min＝2＝2，故选A.
6．D 解析 直线l：x－ay－1＝0过定点D(1,0)．圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，所以圆心C(1，－2)，半径r＝3.因为点M为弦AB的中点，所以CM⊥AB，即CM⊥MD，所以点M的轨迹是以CD为直径的圆，所以点M的轨迹方程为(x－1)(x－1)＋y(y＋2)＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝1，所以点M的轨迹是以点E(1，－1)为圆心，1为半径的圆．连接OE，则|OE|＝，所以|OM|∈[－1，＋1]，故选D.
7．AC 解析 圆O1：(x－1)2＋y2＝4的圆心O1(1,0)，半径r1＝2.若m＝4，O2：(x－5)2＋y2＝16，则圆心O2(5,0)，半径r2＝4，则|O1O2|＝4，r1＋r2＝6，|r1－r2|＝2，所以|r1－r2|<|O1O2|< r1＋r2，则圆O1与圆O2相交，故A正确，B错误；若直线x－y＝0与圆O2相交，则圆心O2(5,0)到直线x－y＝0的距离d＝<，解得m>，故C正确；若直线x－y＝0与圆O1相交于M，N两点，则圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以相交弦长|MN|＝2＝2＝，故D错误．故选AC.
8．ACD 解析 设点P(x，y)，由|PA|＝|PO|，得(x＋2)2＋y2＝2(x2＋y2)，化简得x2＋y2－4x－4＝0，即曲线C的方程为(x－2)2＋y2＝8，所以A正确．曲线C的轨迹为圆，且该圆的圆心为C(2,0)，半径为2，若直线y＝kx＋4与曲线C有公共点，则≤2，化简得k2－4k－2≥0，解得k≤2－或k≥2＋，所以B错误．由题意可知点P满足＝，因为D(2－2，0)，A(－2,0)，所以＝＝＝＝，所以＝，又O，P，A三点不共线，所以射线PD平分∠APO，所以C正确．设E(a－4，a)，连接EC，则E，M，N，C四点共圆，且该圆以EC为直径，所以过点E，M，N，C的圆的方程为(x－a＋4)(x－2)＋(y－a)y＝0，化简得x2＋y2＋(2－a)x－ay＋2a－8＝0，又圆C的方程为x2＋y2－4x－4＝0，直线MN即两圆的公共弦所在的直线，所以直线MN的方程为(6－a)x－ay＋2a－4＝0，即(6x－4)－a(x＋y－2)＝0，由得所以直线MN过定点，所以D正确．综上，选ACD.
9．x2＋(y－2)2＝1(答案不唯一) 解析 设圆心C为(x0，y0)，由已知圆C与直线l：x＝－1相切，圆C与圆O：x2＋y2＝1相切，可得即得或或且已知半径为1，所以圆的方程可以为x2＋(y－2)2＝1或x2＋(y＋2)2＝1或(x＋2)2＋y2＝1.
10. 解析 因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，所以直线AB的方程为(x2＋y2－4)－(x2＋y2－x＋y－3)＝0，即x－y－1＝0，所以圆心O(0,0)到弦AB的距离为d＝，所以|AB|＝2＝，所以在△AOB中，如图|OA|＝|OB|＝2，由余弦定理，得cos∠AOB＝＝－，所以sin∠AOB＝＝＝.
11．－2(答案不唯一，还可以填2或－6或6) 解析 由题意知，当圆心O到直线x＋y＋m＝0的距离为3，即＝3，m＝±6时，圆O上到直线x＋y＋m＝0的距离为1的点的个数为1；当圆心O到直线x＋y＋m＝0的距离为1，即＝1，m＝±2时，圆O上到直线x＋y＋m＝0的距离为1的点的个数为3.故m的值可以为－2或2或－6或6.
12．解 (1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，则有d＝＝，解得a＝－1或a＝－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
13．解 (1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0,4)，半径为4.设M(x，y)，则＝(x，y－4)，＝(2－x,2－y)．由题设知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，所以ON⊥PM.因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.又|OM|＝|OP|＝2，点O到l的距离为，所以|PM|＝，S△POM＝××＝，故△POM的面积为.
14．C 解析 解法一(累加法)：如图，设这100个圆的半径从小到大依次为r1，r2，r3，…，r100，由题意知，r1＝1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，由垂径定理，得r＝r＋12，r＝r＋12，…，r＝r＋12，r＝r＋12，将以上99个等式累加，得r＝r＋＝100，则r100＝10.故选C.
解法二(找规律)：设这100个圆的半径从小到大依次为r1，r2，r3，…，r100，由题意知，r1＝1，在每相邻的两个圆中，小圆的切线被大圆截得的弦长都为2，由垂径定理，得r＝r＋12＝2，r＝r＋12＝3，r＝r＋12＝4，依此类推，可得r＝r＋12＝100，则r100＝10.故选C.
15．解 (1)当k＝时，圆心O到直线l的距离为＝2，则r＝2，所以圆O的方程为x2＋y2＝4.
(2)圆心O到直线l的距离d＝.
①当直线l与圆O有公共点，即d＝≤r＝2，解得－≤k≤，若点P与点M(或N)重合，则满足·＝0，符合题意．
②当直线l与圆O无公共点，即d＝>r＝2，解得k<－或k>，由·＝0，可知点P在以MN为直径的圆上，设线段MN的中点为Q(x0，y0)，则圆Q的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝1，又圆Q与圆O有公共点，设圆Q的半径r2＝1，圆O的半径r1＝2，则1＝r1－r2≤|OQ|＝≤r1＋r2＝3，只需点O到直线l的距离d＝≤3，所以－≤k<－或直线与圆、圆与圆的位置关系
微练(六十七)
基础过关
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
素养提升
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
