第五节 椭圆
【课程标准】 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)；2.了解椭圆的简单应用；3.理解数形结合的思想.
教|材|回|顾
1．椭圆的定义
(1)文字形式
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做________．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________，焦距的一半称为半焦距．
(2)代数式形式
点集P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，其中|F1F2|＝2c<2a.
[微点清] 2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；2a<|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程与几何性质
标准 方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 ________________ ________________
对称性 ________________
顶点 ________________ ________________
离心率 0[微点清] 椭圆方程的两种设法：Ax2＋By2＝1或＋＝1(A>0，B>0，A≠B)表示椭圆．离心率表示椭圆的扁平程度．当e越接近1时，c越接近a，从而b＝越小，因此椭圆越扁平．
3．直线与椭圆的位置关系
(1)直线与椭圆位置关系的判断
联立消去y，得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.该一元二次方程的根的判别式为Δ.
Δ>0 直线与椭圆有______公共点 相交；
Δ＝0 直线与椭圆有______公共点 相切；
Δ<0 直线与椭圆______公共点 相离．
(2)椭圆的弦长
设AB为椭圆的一条弦，所在直线的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长l＝|x1－x2|＝|y1－y2|.
微|点|延|伸
椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(1)当P为短轴端点时，θ最大．
(2)S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan＝c|y0|.当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，△PF1F2的面积取最大值，最大值为bc.
(3)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos θ.
小|题|快|练
1．(人B选一P139例3改编)若椭圆C：＋＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为( )
A．3 B．2＋
C．2 D．＋1
2．已知椭圆C：＋＝1的一个焦点为(2,0)，则C的离心率为( )
A． B．
C． D．
3．已知直线3x－2y－6＝0经过焦点在坐标轴上的椭圆的两个顶点，则该椭圆的方程为________________．
4．若椭圆的方程为＋＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a＝________.
5．已知斜率为1的直线l过椭圆＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为________．
第1课时 椭圆及其简单几何性质
类型一 椭圆的定义及应用
【例1】 (1)已知A，B是圆2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于点P，则动点P的轨迹方程为________________．
(2)设点P为椭圆C：＋＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．
1．椭圆的定义的应用
求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
2．焦点三角形的应用
椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1||PF2|；通过整体代入可求其面积等．
【训练1】 (多选题)已知椭圆C：3x2＋4y2＝48的两个焦点分别为F1，F2，P是C上任意一点，则( )
A．C的离心率为
B．△PF1F2的周长为12
C．|PF1|的最小值为3
D．|PF1|·|PF2|的最大值为16
类型二 椭圆的标准方程
【例2】 (1)(2025·石家庄质量检测)已知曲线C：＋＝1(m≠0)，则“m∈(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)(2024·山东联考)动点M(x，y)到定点F(－4，0)的距离与M到定直线l：x＝－的距离的比等于，则动点M的轨迹方程是( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
(3)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(，1)，P2(－，－)，则该椭圆的方程为____________________．
根据条件求椭圆方程的主要方法
1．定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．
2．待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，用待定系数法不必考虑焦点位置，求出m，n的值即可．
【训练2】 (2025·河南质量检测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若·＝－2，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
类型三 椭圆的几何性质
考向 ：离心率问题
【例3】 (1)已知F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且∠F1MF2＝60°，则椭圆的离心率为________．
(2)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，圆x2＋y2＝a2－b2与E的一个交点为P，直线PF2与E的另一个交点为Q，tan∠F1QF2＝，则E的离心率为( )
A． B． C． D．
求椭圆的离心率的方法
1．直接求出a，c来求解，通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
2．构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
考向 ：最值或范围问题
【例4】 (1)若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．8
(2)已知椭圆＋＝1的左焦点为F，若A，B是椭圆上两动点，且直线AB垂直于x轴，则△ABF周长的最大值为________．
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
1．利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质．
2．利用函数，尤其是二次函数．
3．利用不等式，尤其是基本不等式．
特别注意：在求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.(2025·成都联考)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B(A在第一象限)两点．由A向x轴作垂线，垂足为C，连接BC并延长交椭圆于点D．若△ABD为直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
2．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点．求|PA|＋|PF|的最大值和最小值分别是________，________.
第五节 椭圆
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)椭圆 焦点 焦距
2．－a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 关于x轴、y轴、原点对称 (±a,0)，(0，±b) (±b,0)，(0，±a)
3．(1)两个 一个 没有
小题快练
1．A 解析 由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.故选A.
2．C 解析 由已知可得b2＝4，c＝2，则a2＝b2＋c2＝8，所以a＝2，则离心率e＝＝.故选C.
3.＋＝1 解析 令x＝0，可得y＝－3；令y＝0，可得x＝2，则椭圆的两个顶点坐标分别为(0，－3)，(2,0)．因为|－3|>2，所以椭圆的焦点在y轴上．设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，则a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.
4．4或8 解析 ①当焦点在x轴上时，10－a－(a－2)＝22，解得a＝4；②当焦点在y轴上时，a－2－(10－a)＝22，解得a＝8.
5. 解析 椭圆＋y2＝1的右焦点为(，0)，所以直线l的方程为y＝x－，将y＝x－代入＋y2＝1，得5x2－8x＋8＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝，得|AB|＝＝.
第1课时 椭圆及其简单几何性质
关键能力·落实
【例1】 (1)x2＋y2＝1 解析 连接PA，由题意知|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2.所以|PA|＋|PF|＝2且|PA|＋|PF|>|AF|，即动点P的轨迹是以A，F为焦点的椭圆，a＝1，c＝，b2＝.所以动点P的轨迹方程为x2＋y2＝1.
(2) 解析 解法一：由题意知，c＝.又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2，所以|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2－2|F1P||PF2|－2|F1P||PF2|cos 60°＝4a2－3|F1P||PF2|＝4a2－16，所以|F1P||PF2|＝，所以S△PF1F2＝|F1P||PF2|sin 60°＝××＝.
解法二：S△PF1F2＝b2tan＝4×tan 30°＝.
【训练1】 BD 解析 由3x2＋4y2＝48得＋＝1，所以a＝4，b＝2，c＝2，令F1(－2,0)，F2(2,0)，对于A，e＝＝，错误；对于B，△PF1F2的周长为2a＋2c＝12，正确，对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，错误；对于D,2a＝8＝|PF1|＋|PF2|≥2，即|PF1|·|PF2|≤16，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，正确．故选BD.
【例2】 (1)A 解析 因为曲线C：＋＝1(m≠0)，所以当m∈(0,6)时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆；若曲线C的焦点在x轴上，则当曲线C表示椭圆时，m∈(0,6)，当曲线C表示双曲线时，则m∈(－∞，0)．综上，“m∈(0,6)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件，故选A.
(2)A 解析 解法一：根据题意，得＝，化简得＋＝1，故选A.
解法二：根据椭圆的第二定义可知，动点M的轨迹为椭圆，且c＝4，＝，所以a＝5，b＝＝3，所以动点M的轨迹方程是＋＝1.故选A.
(3)＋＝1 解析 设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，即解得所以所求椭圆的方程为＋＝1.
【训练2】 B 解析 由离心率e＝＝＝＝，解得＝，则b2＝a2 ①.因为A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点，所以A1(－a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，所以＝(－a，－b)，＝(a，－b)，又·＝－2，所以－a2＋b2＝－2 ②，联立①②解得a2＝8，b2＝6，所以椭圆C的方程为＋＝1.故选B.
【例3】 (1) 解析 解法一：因为|F1F2|＝2c，MF1⊥x轴，∠F1MF2＝60°，所以|MF1|＝c，|MF2|＝c.所以2a＝|MF1|＋|MF2|＝2c.所以e＝＝.
解法二：依题意得F1(－c,0)，将x＝－c代入＋＝1，得|y|＝，因为＝，所以＝.因为b2＝a2－c2，所以＝，即＝.解得e＝－(舍)或e＝.
(2)B 解析 设椭圆E的半焦距为c，则a2－b2＝c2，所以圆的方程为x2＋y2＝c2.连接PF1，由圆的性质可知∠F1PF2＝90°，所以△F1PQ为直角三角形．由tan∠F1QF2＝，可设|F1P|＝3x，|PQ|＝4x，|F1Q|＝5x.由椭圆的定义可得|F1P|＋|PQ|＋|QF1|＝4a，即12x＝4a，得x＝，所以|F1P|＝a，又|F1P|＋|F2P|＝2a，所以|F2P|＝a.在Rt△F1PF2中，由勾股定理得|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2，即a2＋a2＝(2c)2，得a＝c，所以E的离心率e＝＝＝.故选B.
【例4】 (1)C 解析 由椭圆＋＝1可得F(－1,0)，设P(x，y)(－2≤x≤2)，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2，当且仅当x＝2时，·取得最大值6.故选C.
(2)12 解析 设椭圆＋＝1的右焦点为F1，连接AF1，BF1，易知△ABF的周长为|AF|＋|BF|＋|AB|＝6－|AF1|＋6－|BF1|＋|AB|＝12－(|AF1|＋|BF1|－|AB|)≤12，当且仅当边AB过点F1时，等号成立，故△ABF周长的最大值为12.
【题组对点练】
1．B 解析
如图所示，设点A(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则B(－x0，－y0)，C(x0,0)，则kAB＝，kBC＝，设点D(x1，y1)，则由点差法易得：＋＝0，所以＝－，所以kDAkDB＝·＝＝－≠－1，则AD，BD不互相垂直，所以AD⊥AB，则kADkAB＝－1，所以kAD＝－＝－，又kDAkDB＝kDAkBC＝－·＝－，所以＝，所以该椭圆的离心率为e＝＝＝＝＝.故选B.
2．6＋ 6－ 解析
如图所示，设椭圆右焦点为F1，连接PF1，则|PF|＋|PF1|＝6.所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.因为－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)，所以6－≤|PA|＋|PF|≤6＋.故|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.(共42张PPT)
第五节
第八章 平面解析几何
椭圆
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
第1课时
第八章 平面解析几何
椭圆及其简单几何性质
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
椭圆的定义及应用
解析
解析
解析
类型二
椭圆的标准方程
解析
解析
解析
解析
类型三
椭圆的几何性质
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
个y
P
0
F
O
F2
X
y
A
D
0
C
X
B
y个
P
A
F
O
F
X微练(六十八) 椭圆及其简单几何性质
基础过关
一、单项选择题
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝6.若动点M满足|MF1|＋|MF2|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．直线 B．线段
C．圆 D．椭圆
2．若椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为( )
A． B．
C． D．
3．椭圆＋＝1上点P到上焦点的距离为4，则点P到下焦点的距离为( )
A．6 B．3
C．4 D．2
4．(2025·山西大同模拟)已知点A，B，C为椭圆D的三个顶点，若△ABC是正三角形，则D的离心率是( )
A． B．
C． D．
5．(2024·辽宁一模)已知F为椭圆C：＋y2＝1(a>0)的右焦点，过原点的直线与C相交于A，B两点，且AF⊥x轴．若3|BF|＝5|AF|，则C的长轴长为( )
A． B．
C．2 D．
6．设B是椭圆C：＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为( )
A． B．
C． D．2
二、多项选择题
7.(2025·武汉调研)若椭圆＋＝1(m>0)的某两个顶点间的距离为4，则m的可能取值有( )
A． B．
C． D．2
8．若矩形ABCD的所有顶点都在椭圆E：＋＝1(a>0)上，且|AB|＝2，|AC|＝2，点P是E上与A，B，C，D均不重合的动点，则( )
A．E的长轴长为4
B．存在点P，使得·＝－
C．直线PA，PB的斜率之积恒为－
D．直线PA，PC的斜率之积恒为－
三、填空题
9．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，(，－)，则椭圆的方程为________________．
10．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线交椭圆于A，B两点，若F2为线段AB的中点，则△AF1B的面积为________．
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为________．
四、解答题
12．如图所示，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
13．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形．
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆M：(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程．
素养提升
14．(多选题)(2025·广东模拟)已知椭圆＋＝1(0A．椭圆的短轴长为
B．|AF2|＋|BF2|的最大值为8
C．椭圆的离心率为
D．椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°
15．(多选题)某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆．测得轨道的近日点(距离太阳最近的点)与太阳中心的距离为d1，远日点(距离太阳最远的点)与太阳中心的距离为d2，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则( )
A．轨道的焦距为d2＋d1
B．轨道的离心率为
C．轨道的短轴长为2
D．当越大时，轨道越扁
16．已知椭圆C：＋＝1上一点M，过点M作切线l，A，B分别为椭圆C的左、右焦点，cos∠AMB＝－，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，和椭圆的光学性质：从一个焦点发出的光经椭圆反射后经过另一个焦点，可求得椭圆中心O到切线l的距离为________．
微练(六十八) 椭圆及其简单几何性质
1．B 解析 动点M到F1，F2两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点F1，F2的距离，则动点M的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选B.
2．C 解析 依题意可知c＝b，又a＝＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.故选C.
3．A 解析 由椭圆方程＋＝1，得a2＝25，即a＝5，设下焦点为F1，上焦点为F2，则|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，因为|PF2|＝4，所以|PF1|＝6，即点P到下焦点的距离为6.故选A.
4．C 解析 解法一：无论椭圆焦点位于x轴还是y轴，根据点A，B.C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，可得2b＝，即a2＝3b2，故a2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，则e2＝＝，所以e＝，故选C.
解法二：无论椭圆焦点位于x轴还是y轴，根据点A，B，C为椭圆D的三个顶点，△ABC是正三角形，得tan 60°＝＝，所以＝，所以e＝＝＝，故选C.
5．B 解析 设F(c,0)，如图，记F′为C的左焦点，连接AF′，则由椭圆的对称性可知|AF′|＝|BF|，由3|BF|＝5|AF|，设|AF|＝3m，|BF|＝5m，则|AF′|＝5m.又AF⊥x轴，所以|FF′|＝＝4m＝2c，即c＝2m，所以解得所以C的长轴长为2a＝.故选B.
6．A 解析 解法一(消元转化法)：设点P(x，y)，则根据点P在椭圆＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝x2＋(y－1)2＝5－5y2＋(y－1)2＝－4y2－2y＋6＝－42＋.当y＋＝0，即y＝－(满足|y|≤1)时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A.
解法二(利用椭圆的参数方程)：因为点P在椭圆＋y2＝1上，所以可设点P(cos θ，sin θ)．易知点B(0,1)，所以根据两点间的距离公式得|PB|2＝(cos θ)2＋(sin θ－1)2＝4cos2θ－2sin θ＋2＝－4sin2θ－2sin θ＋6＝－42＋.易知当sin θ＋＝0，即sin θ＝－时，|PB|2取得最大值，所以|PB|max＝.故选A.
7．BCD 解析 当椭圆的长轴长为4时，＝×4＝2，解得m＝；当椭圆的短轴长为4时，m＝2；当椭圆的一长轴端点与一短轴端点之间的距离为4时，m2＋2＋m2＝42，解得m＝.综上，m的可能取值有，2，.故选BCD.
8．ABD 解析 由矩形ABCD的顶点都在椭圆上，根据椭圆的对称性可得A，C关于原点对称，B，D关于原点对称，由＋＝1，|AB|＝2，可得a2>2，即椭圆焦点在x轴上，根据题意作出满足条件的图形如图所示，又|AC|＝2，所以|BC|＝2，易得A(，1)，B(－，1)，C(－，－1)，D(，－1)．对于A，将点A(，1)代入椭圆方程可得＋＝1，得a＝2，所以椭圆的方程为＋＝1，椭圆的长轴长为2a＝4，故A正确；对于B，设点P(x，y)，则x2＋2y2＝4，x≠±，则＝(－x,1－y)，＝(－－x，－1－y)，所以·＝(－x)(－－x)＋(1－y)(－1－y)＝x2＋y2－3＝1－y2，又－≤y≤且y≠±1，所以当y＝±时，·＝－，故B正确；对于C，当点P是E的左顶点时，P(－2,0)，则kPA＝，kPB＝，所以kPA·kPB＝×＝，故C错误；对于D，设点P(x，y)，则x2＋2y2＝4，x≠±，则kPA＝，kPC＝，所以kPA·kPC＝＝＝－，故D正确．故选ABD.
9.＋＝1 解析 设mx2＋ny2＝1(m，n>0，m≠n)，由解得所以椭圆的方程为＋＝1.
10. 解析 由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，因为点F2为线段AB的中点，所以AB⊥F1F2，所以|AB|＝＝1，所以S△AF1B＝|AB||F1F2|＝.
11. 解析 以线段A1A2为直径的圆是x2＋y2＝a2，因为直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，所以圆心(0,0)到该直线的距离d＝＝a，整理得a2＝3b2＝3(a2－c2)，即2a2＝3c2，即＝，e＝＝.
12．解 (1)因为|AF1|＝|AF2|＝a，且∠F1AF2＝90°，|F1F2|＝2c，所以2a2＝4c2，所以a＝c，所以e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，解得x＝，y＝－，代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3，所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.
13．解 (1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，所以a2＝3b2＝3(a2－c2)，所以2a2＝3c2，所以离心率e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立所以(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.所以x1＋x2＝，x1x2＝.又x1＋x2＝2，所以k＝，所以x1x2＝，则|AB|＝＝＝2，所以b2＝，则a2＝10，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
14．BCD 解析 易知a＝3，当AB⊥x轴，即线段AB为通径时，|AB|最小，所以|AB|min＝＝4，解得b2＝6，所以椭圆方程为＋＝1，所以椭圆的短轴长为2b＝2，故A错误；因为△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，所以(|AF2|＋|BF2|)max＝12－|AB|min＝8，故B正确；因为c＝＝，a＝3，所以椭圆的离心率e＝＝，故C正确；易知当点P位于短轴顶点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝a＝3，|F1F2|＝2c＝2，所以cos∠F1PF2＝>0，又∠F1PF2为三角形的内角，所以∠F1PF2∈，所以椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝90°，故D正确．故选BCD.
15．BC 解析 设该椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，由题意可知a－c＝d1，a＋c＝d2，所以a＝，c＝，b2＝a2－c2＝d1d2，即b＝，椭圆的焦距为d2－d1，离心率e＝＝，短轴长为2b＝2，所以A错误，B正确，C正确；因为e＝＝＝＝＝－1＋，所以当越大时，椭圆的离心率e越小，即椭圆越圆，所以D错误．综上，选BC.
16. 解析 过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l的垂线交l于A1，O1，B1，由光的反射性质可知MN平分∠AMB，则∠B1MB＝∠A1MA，则∠A1AM＝∠AMN＝∠BMN＝∠B1BM，因为cos∠AMB＝－，故cos(π－∠AMB)＝cos2∠AMA1＝1－2sin2∠AMA1＝，所以sin∠AMA1＝，|OO1|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AM|sin∠AMA1＋|BM|·sin∠BMB1)＝×20×＝.(共31张PPT)
椭圆及其简单几何性质
微练(六十八)
基础过关
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