第六节 双曲线
【课程标准】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)；2.了解双曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.
教|材|回|顾
1．双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的______________等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的______，两焦点间的距离叫做双曲线的______．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0)
图形
性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：________，对称中心：______
顶点 ________________ ________________
渐近线 y＝________ y＝________
离心率 e＝______，e∈(1，＋∞)
实、虚轴 线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝______；线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝______；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系 c2＝____________(c＞a＞0，c＞b＞0)
微|点|延|伸
1．双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.
4．若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a.
5．等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．
小|题|快|练
1．(人A选一P120例1改编)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1(x≥4)
C．－＝1 D．－＝1(x≥3)
2．(人A选一P121T3改编)已知曲线C的方程为＋＝1(k∈R)，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是( )
A．(－1,5)
B．(5，＋∞)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，－1)∪(－1,5)∪(5，＋∞)
3．点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为( )
A． B． C． D．
4．(人A选一P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________．
5．设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，过点(a,0)，(0，b)的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率为________．
第1课时 双曲线及其简单几何性质
类型一 双曲线的定义及应用
【例1】 (1)(2025·安徽模拟)已知F1，F2是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则“||PF1|－|PF2||的值为定值m，且m<|F1F2|”是“点P的轨迹是双曲线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线方程为y＝±2x，P是C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为4，则C的焦距为( )
A． B．2
C．2 D．4
1．利用定义求动点的轨迹方程，要分清是差的绝对值为常数，还是差为常数，即是双曲线还是双曲线的一支．
2．在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
【训练1】 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线
C．抛物线 D．圆
(2)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
类型二 双曲线的标准方程
【例2】 (1)已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
(2)(多选题)设A，B两点的坐标分别为(－5,0)，(5,0)，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为常数k(k≠0)，则下列结论正确的是( )
A．k>0时，点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点)
B．－1
C．k<－1时，点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点)
D．k<0时，点M的轨迹为椭圆(不含与x轴的交点)
求双曲线的标准方程的方法
1．定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2.
2．待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，或mx2－ny2＝1(m·n>0)．
【训练2】 (1)与椭圆C：＋＝1共焦点且过点(1，)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B．y2－2x2＝1
C．－＝1 D．－x2＝1
(2) (2025·甘肃模拟)如图，点F1，F2是双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，同时也是双曲线C2：－＝1的左、右顶点，过点F1的直线交双曲线C1的左、右两支分别于A，B两点，交双曲线C2的右支于点M(与点F2不重合)，且△BF1F2与△ABF2的周长之差为6，则双曲线C1的方程为________.
类型三 双曲线的简单几何性质
考向 ：渐近线问题
【例3】 (1)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，若△AF1F2的面积为bc，则双曲线C的渐近线方程为______________．
(2)(2025·T8联考)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点，α，β分别为双曲线C的两条渐近线的倾斜角，已知点F到其中一条渐近线的距离为2，且满足α＝β，则双曲线C的焦距为________．
求双曲线渐近线方程的方法
1．求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程．
2．求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程．
3．令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程．
考向 ：离心率问题
【例4】 (1)若双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线的方程为y＝－x，则其离心率为( )
A． B．2
C． D．
(2)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0.若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A． B．
C．(1,2) D．(2，＋∞)
求双曲线离心率或其取值范围的方法
1．直接求出a，c的值，利用离心率公式直接求解．
2．列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，转化为含有e的方程(或不等式)求解．
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.已知双曲线mx2＋y2＝1的一条渐近线的斜率为2，则m＝( )
A．－4 B．4
C．－ D．
2．(2024·九省联考)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，|F1B|＝2|F1A|，·＝4a2，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
第六节 双曲线
必备知识·梳理
教材回顾
1．距离的差的绝对值 焦点 焦距
2．坐标轴 原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) ±x ±x 2a 2b a2＋b2
小题快练
1．D 解析 由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D.
2．C 解析 若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则解得k<－1.故选C.
3．A 解析 双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得＝.故选A.
4．17
5. 解析 由题设，tan 150°＝－tan 30°＝－，即＝，又c2＝a2＋b2，所以e2＝＝1＋＝，而e>1，故e＝.
第1课时 双曲线及其简单几何性质
关键能力·落实
【例1】 (1)B 解析 因为“||PF1|－|PF2||的值为定值m，m<|F1F2|”，若m＝0，则P点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，且满足||PF1|－|PF2||＝m<|F1F2|，故必要性成立．故选B.
(2)C 解析 由题意，双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，得＝2，因为PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为4，所以
解得a2＝1，b2＝4，所以c2＝a2＋b2＝5，即C的焦距为2c＝2.故选C.
【训练1】 (1)B 解析 如图，连接ON，由题意可得|ON|＝1，且N为线段MF1的中点，又O为线段F1F2的中点，所以|MF2|＝2.连接PF1，因为点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，所以|PM|＝|PF1|，所以||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，所以由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．故选B.
(2)17 解析 由题意，易得a＝4，c＝6，根据双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝8，因为|PF1|＝9，所以|PF2|＝1或|PF2|＝17.又|PF2|≥c－a＝2，故|PF2|＝17.
【例2】 (1)D 解析 由题意得(1＋k)(k－1)>0，解得k<－1或k>1，故选D.
(2)AB 解析 设M(x，y)(x≠±5)，则kAM＝，kMB＝，则·＝k，得y2＝k(x2－25)(x≠±5)．k>0时，易知点M的轨迹为焦点在x轴的双曲线(不含与x轴的交点)，故A正确；－1－25k>0，所以点M的轨迹为焦点在x轴的椭圆(不含与x轴的交点)，故B正确；k<－1时，可化为＋＝1，因为－25k>25，所以点M的轨迹为焦点在y轴，以A，B为短轴端点的椭圆(除去点A，B)，故C错误；若k＝－1，则y2＋x2＝25(x≠±5)，表示以原点为圆心，5为半径的圆(除去点A，B)，故D错误．故选AB.
【训练2】 (1)C 解析 椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，由双曲线的定义可得2a＝|－|＝(＋)－(－)＝2，所以a＝，因为c＝2，所以b＝＝，因此双曲线的方程为－＝1.故选C.
(2)－＝1 解析 设双曲线C1的半焦距为c，因为△BF1F2与△ABF2的周长之差为6，所以|BF1|＋|F1F2|＋|BF2|－|AB|－|AF2|－|BF2|＝|F1F2|－(|AF2|－|AF1|)＝2c－2a＝6.又点F1，F2分别为双曲线C2：－＝1的左、右顶点，所以c＝2a，所以a＝3，c＝6，b＝＝3，所以双曲线C1的方程为－＝1.
【例3】 (1)y＝±x 解析 由题意知双曲线C的渐近线方程为y＝±x，如图，由双曲线的对称性，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，则|F2A|＝＝b，所以|OA|＝＝＝a，所以S△AOF2＝ab，因为△AF1F2的面积为bc，S△AF1F2＝2S△AOF2，所以bc＝2×ab，即c＝2a，所以a2＋b2＝4a2，即＝3，故＝，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
(2)8 解析 根据点F到其中一条渐近线的距离为2，可得b＝2，且满足α＋β＝π.又α＝β，所以β＝，所以＝tan β＝，故a＝2，所以c＝4，所以焦距为2c＝8.
【例4】 (1)C 解析 因为渐近线方程为y＝－x，所以＝。又因为b＝1，所以a＝2，所以c＝＝，故离心率e＝＝。故选C。
(2)A 解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a.由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2＝4(c2－a2)，即c21，则e∈.故选A.
【题组对点练】
1．A 解析 根据mx2＋y2＝1，得到y2－＝1，则焦点在y轴上，故渐近线方程为y＝±x，则＝2，故m＝－4.故选A.
2．D 解析 如图，因为过坐标原点的直线与C交于A，B两点，所以A，B两点关于坐标原点对称，故四边形AF1BF2是平行四边形，所以|F1A|＝|BF2|，又|BF1|＝2|F1A|，所以|BF1|＝2|BF2|.由双曲线的定义可知，|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝4a，|BF2|＝2a.设∠F1BF2＝θ，则·＝|BF2|·|BF1|cos(π－θ)＝－8a2 cos θ＝4a2，得cos θ＝－，所以θ＝.在△F1BF2中，由余弦定理|F1F2|2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|·cos θ，得4c2＝16a2＋4a2－2×4a×2a×，所以c2＝7a2，所以C的离心率e＝＝＝.故选D.(共54张PPT)
第六节
第八章 平面解析几何
双曲线
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
第1课时
第八章 平面解析几何
双曲线及其简单几何性质
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
双曲线的定义及应用
解析
解析
解析
解析
类型二
双曲线的标准方程
解析
解析
解析
解析
类型三
双曲线的简单几何性质
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y个
B
o
F
A
A2
F
X
1
2
B
F2
A2
1
1
I
I
B
B2
X
O
A
y
P
M
N
F
0
F2
X
y
B
A
F
0
F2
X
y个
A
F
X
F2
y
B
F
F2
0
X
A
C
Y
0
F
x微练(七十) 双曲线及其简单几何性质
基础过关
一、单项选择题
1．双曲线－＝1与双曲线－＝1的( )
A．焦距相等 B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
2．(2025·八省联考)双曲线x2－＝1的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±3x D．y＝±4x
3．(2025·兰州模拟)已知双曲线E1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线E2：－＝1的离心率相同，且双曲线E1的顶点是双曲线E2的焦点，则双曲线E1的虚轴长为( )
A． B．
C． D．10
4．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝( )
A． B．
C． D．
5．(2023·天津高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1和F2，过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知|PF2|＝2，直线PF1的斜率为，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
6．(2024·河南郑州二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C的离心率为e，在第一象限存在点P，满足e·sin∠PF1F2＝1，且S△F1PF2＝4a2，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．2x±y＝0 B．x±2y＝0
C．3x±y＝0 D．x±3y＝0
二、多项选择题
7．(2025·沈阳模拟)已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，且满足条件p，可以解得双曲线C的方程为x2－y2＝4，则条件p可以是( )
A．实轴长为4
B．双曲线C为等轴双曲线
C．离心率为
D．渐近线方程为y＝±x
8．已知双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若△ABF1为直角三角形，则( )
A．b＝2＋2
B．双曲线的离心率为＋1
C．双曲线的焦距为2
D．△ABF1的面积为12＋8
三、填空题
9．已知直线l：x－y－2＝0过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且与C的一条渐近线平行，则C的实轴长为________．
10．双曲线的一条渐近线方程为x＋2y＝0，且焦距为10，则该双曲线的标准方程为________．
11．(2025·贵阳适应性考试)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2且与该双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点M，若|MF1|＝3|MF2|，则双曲线的离心率为________．
四、解答题
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1有相同的渐近线，且经过点M(，－)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的实轴长、离心率、焦点到渐近线的距离．
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(c,0)．
(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过点A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．
素养提升
14．已知反比例函数y＝(k≠0)的图象是双曲线，其两条渐近线分别为x轴和y轴，两条渐近线的夹角为，将双曲线绕其中心旋转可使其渐近线变为直线y＝±x，由此可求得其离心率为.已知函数y＝x＋的图象也是双曲线，其两条渐近线为直线y＝x和y轴，则该双曲线的离心率是( )
A． B．2
C． D．
15．(2025·湖北调研)已知双曲线C：x2－＝1的左、右顶点分别为A，B，点P是双曲线C上在第一象限内的点，直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则tan α·tan β＝________；当2tan α＋tan β取最小值时，△PAB的面积为________．
16．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上，当BF⊥AF时，|AF|＝|BF|.
(1)求C的离心率；
(2)若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF.
微练(七十) 双曲线及其简单几何性质
1．A 解析 双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为4，离心率为；双曲线－＝1的实半轴长为，虚半轴长为，焦距为4，离心率为.所以它们的焦距相等．故选A.
2．C 解析 由题知，a＝1，b＝3，所以渐近线方程为y＝±x＝±3x，故选C.
3．B 解析 由题知＝＝，所以＝，易知双曲线E2的右焦点为(5,0)，所以a＝5，b＝a＝，则双曲线E1的虚轴长2b＝，故选B.
4．C 解析 由x2－y2＝2，知a＝b＝，c＝2.由双曲线定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，在△PF1F2中，|F1F2|＝2c＝4，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝.故选C.
5．D 解析
如图，由题意，知|PF2|＝2，又焦点到任一条渐近线的距离为b，故b＝2.在△POF2中由等面积法易得点P的坐标为，故kPF1＝＝，化简可得(a－)2＝0，故a＝，所以双曲线的方程为－＝1，故选D.
6．A 解析 如图，设|PF1|＝t(t>0)，则|PF2|＝t－2a，因为e·sin∠PF1F2＝1，所以sin∠PF1F2＝＝，所以点P到直线F1F2的距离为|PF1|sin∠PF1F2＝，又|F1F2|＝2c，所以S△F1PF2＝·2c·＝4a2，解得t＝4a，即|PF1|＝4a，从而|PF2|＝2a.又因为sin∠PF1F2＝＝，所以cos∠PF1F2＝＝，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠PF1F2＝＝，所以4ab＝4a2＋c2－a2＝b2＋4a2，即－＋4＝0，解得＝2，则双曲线C的渐近线方程为2x±y＝0.故选A.
7．ABD 解析 由题意可得，c＝2，要根据条件解得双曲线C的方程为x2－y2＝4，即－＝1，则需要满足a＝2，b＝2，则实轴长2a＝4，故A满足题意；实轴长与虚轴长相等，故双曲线C为等轴双曲线，故B满足题意；离心率e＝＝，故C不满足题意；渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，故D满足题意．综上，选ABD.
8．BD 解析 如图所示，若△ABF1为直角三角形，由双曲线的对称性可知，AF1⊥BF1，且|AF1|＝|BF1|.设|AF2|＝m，则由双曲线的定义得|AF1|＝|BF1|＝|AF2|＋2a＝2＋m，|AB|＝2m.所以在Rt△ABF1中，由勾股定理得(2＋m)2＋(2＋m)2＝4m2.解得m＝2＋2，所以|AF1|＝|BF1|＝4＋2，所以△ABF1的面积为|AF1|·|BF1|＝×(4＋2)2＝12＋8，故D正确；|AF1|·|BF1|＝|AB|·|F1F2|，所以|F1F2|＝2＋2，故C不正确；由x2－＝1(b>0)可知，a＝1，c＝1＋，所以b2＝(1＋)2－1＝2＋2，故A不正确；e＝＝1＋，故B正确．故选BD.
9．2 解析 直线x－y－2＝0与x轴交点为(2,0)，斜率为，由题意解得所以双曲线的实轴长为2a＝2.
10.－＝1或－＝1 解析 依题意，2c＝10，所以c＝5，若双曲线的焦点在x轴上，则解得b2＝5，a2＝20，双曲线的标准方程为－＝1.若双曲线的焦点在y轴上，则解得b2＝20，a2＝5，双曲线的标准方程为－＝1.综上，该双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
11. 解析 不妨设点M的位置如图所示，由题意知，|MF1|＝3|MF2|，且|MF1|－|MF2|＝2a，所以|MF1|＝3a，|MF2|＝a.因为直线MF2与双曲线的一条渐近线平行，所以易得tan∠MF2F1＝，则cos∠MF2F1＝.在△MF2F1中，由余弦定理得9a2＝a2＋4c2－2·a·2c·，即3a2＝c2，得双曲线的离心率e＝＝.
12．解 (1)在双曲线－＝1中，a′＝2，b′＝，则渐近线方程为y＝±x＝±x，因为双曲线C：－＝1与双曲线－＝1有相同的渐近线，所以＝，所以方程可化为－＝1，又双曲线C经过点M(，－)，代入方程得－＝1，解得a＝1，故b＝，所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)由(1)知双曲线C的方程为x2－＝1，因为a＝1，b＝，c＝，所以实轴长2a＝2，离心率e＝＝，设双曲线C的一个焦点为(－，0)，一条渐近线方程为y＝x，所以焦点到渐近线的距离d＝＝.
13．解 (1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，且题目给出双曲线的一条渐近线方程为y＝x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1.
(2)设点A的坐标为(x0，y0)，所以直线AO的斜率满足·(－)＝－1，所以x0＝y0 ①，依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程，得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2 ②，又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以34－82＋4＝0，所以(3e2－2)(e2－2)＝0，因为e>1，所以e＝，所以双曲线的离心率为.
14．C 解析 如图，在第一象限内，函数y＝x＋的图象位于直线y＝x的上方．直线y＝x的倾斜角为，y轴的倾斜角为.设双曲线y＝x＋两条渐近线的夹角为α，则α＝－＝.将双曲线y＝x＋绕其对称中心顺时针旋转，所得双曲线的焦点在x轴上，则旋转后的双曲线的渐近线较小的倾斜角为α＝.设旋转后双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，离心率为e，则＝＝＝tan＝，解得e＝.故选C.
15．3 2 解析 由题意知A(－1,0)，B(1,0)．设P(x0，y0)(x0>1，y0>0)，则x－＝1，所以y＝3x－3，所以tan α·tan β＝kPAkPB＝·＝＝3.2tan α＋tan β≥2＝2(当且仅当2tan α＝tan β＝时，2tan α＋tan β取最小值)．又2tan α＋tan β＝2kPA＋kPB＝＋＝＝＝·＝2，解得x0＝3，y0＝2，所以S△PAB＝|AB|×|y0|＝×2×2＝2.
16.解 (1) 设双曲线的离心率为e，焦距为2c，在－＝1中，令x＝c，则－＝1，则＝－1＝，故y＝±，若|AF|＝|BF|，则a＋c＝，所以a2＋ac＝b2＝c2－a2，所以e2－e－2＝0，所以离心率e＝2.
(2)证明：由(1)知双曲线方程为－＝1，设B(x，y)(x>0，y>0)，当x≠c时，kAB＝，kBF＝，设∠BAF＝θ，则tan θ＝，tan 2θ＝＝＝＝＝＝＝＝－kBF＝tan ∠BFA，因为0≤2∠BAF≤π，0≤∠BFA≤π，所以∠BFA＝2∠BAF.当x＝c时，由题意知∠BFA＝，∠BAF＝，满足∠BFA＝2∠BAF.综上，∠BFA＝2∠BAF.(共34张PPT)
微练(七十)
双曲线及其简单几何性质
基础过关
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