第2课时 直线与双曲线的位置关系
类型一 直线与双曲线的位置关系
【例1】 (多选题)(2024·广东茂名二模)已知双曲线C：4x2－y2＝1，直线l：y＝kx＋1(k>0)，则下列说法正确的是( )
A．若k＝2，则l与C仅有一个公共点
B．若k＝2，则l与C仅有一个公共点
C．若l与C有两个公共点，则2
D．若l与C没有公共点，则k>2
解决直线与双曲线的位置关系相关的问题，有时利用数形结合思想，有时利用方程思想．根据直线的斜率k与渐近线的斜率或某切线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系会比较快捷．
【训练1】 (1)已知双曲线－＝1的左焦点为F1，过F1的直线l交双曲线的左支于A，B两点，则直线l斜率的取值范围为( )
A．
B．∪
C．
D．∪
(2)已知直线l过双曲线C：－＝1的左焦点，且与C交于A，B两点，当|AB|＝8时，这样的直线l有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
类型二 中点弦问题
【例2】 已知点A，B在双曲线x2－y2＝4上，线段AB的中点M(3,1)，则|AB|＝( )
A． B．2
C． D．2
解决中点弦问题的两种方法
1．根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．
2．点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．
【训练2】 已知双曲线E的中心在原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且线段AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
类型三 直线与双曲线的综合问题
【例3】 在平面直角坐标系中，F1，F2分别为双曲线C：3x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点，过F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，△ABF1的面积为12.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的垂直平分线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
当涉及有关弦长问题时，通常有以下两种处理方法
1．距离公式法：当弦的两端点坐标易求时，可直接求出交点坐标，再利用两点间距离公式求弦长．
2．弦长公式法：当弦的两端点坐标不易求时，可利用弦长公式求解，即若直线l：y＝kx＋b(k≠0)与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝|x1－x2|＝·|y1－y2|.
【训练3】 已知双曲线C的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(2，)．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设双曲线的两条渐近线分别为l1，l2，已知直线l：y＝2x＋m交l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求△AOB的面积．
1．(2024·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
2．(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝( )
A． B．
C． D．
3．(2023·全国乙卷)设A，B为双曲线x2－＝1上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是( )
A．(1,1) B．(－1,2)
C．(1,3) D．(－1，－4)
4．(2024·新课标Ⅰ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为________．
5．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
6．(2024·北京高考)若直线y＝k(x－3)与双曲线－y2＝1只有一个公共点，则k的一个取值为________．
第2课时 直线与双曲线的位置关系
关键能力·落实
【例1】 ABD 解析 双曲线C的方程为4x2－y2＝1，其渐近线方程为y＝±2x，因为直线l：y＝kx＋1(k>0)过定点(0,1)，当k＝2时，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，故A正确；联立消去y得(4－k2)x2－2kx－2＝0，当直线l与双曲线C相切时，方程只有一个实数根，4－k2≠0，且Δ＝(－2k)2＋8(4－k2)＝0，解得k＝±2，所以当k＝2时，直线l与双曲线C有且只有一个公共点，故B正确；若l与C有两个公共点，则解得02，故D正确．故选ABD.
【训练1】 (1)B 解析 双曲线的渐近线方程为y＝±x，当直线l与渐近线平行时，直线l与双曲线只有一个交点．当直线l的斜率大于零时，要使直线l与双曲线的左支交于A，B两点，则需直线l的斜率k>；当直线l的斜率小于零时，要使直线l与双曲线的左支交于A，B两点，则需直线l的斜率k<－；当直线l的斜率k＝0时，不满足题意．故直线l斜率的取值范围为∪.故选B.
(2)C 解析 由双曲线C：－＝1可得左焦点F(－5,0)，顶点(－4,0)，(4,0)．若l⊥x轴，则|AB|＝2×＝<8，不符合题意，舍去；若l与x轴不垂直，与C的左支交于A，B两点，则|AB|＝8，存在两条直线；若l与x轴不垂直，与C的左、右支各交于一点，则只有A，B为顶点时满足|AB|＝8，存在一条直线．综上可得，满足条件的直线有3条．故选C.
【例2】 D 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可得方程组两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)，即·＝1，因为AB的中点为M(3,1)，故＝，故＝3，即直线AB的斜率为3，故直线AB的方程为y－1＝3(x－3)，联立得2x2－12x＋17＝0，由根与系数的关系得x1＋x2＝6，x1x2＝，则|AB|＝＝2，故选D.
【训练2】 B 解析 由已知条件易得直线l的斜率k＝＝1，设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则－＝1，－＝1，x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得＝，从而＝1，又因为a2＋b2＝c2＝9，故a2＝4，b2＝5，所以E的方程为－＝1.故选B.
【例3】 解 (1)双曲线3x2－y2＝a2可化为－＝1.当l与x轴垂直时，S△ABF1＝|F1F2|·|AB|＝×＝4a2＝12，解得a2＝3，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
(2)由(1)知F2(2,0)，所以可设直线l的方程为x＝ty＋2(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M为线段AB的中点，联立双曲线C与直线l的方程，得消去x，得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，因此y1＋y2＝，y1y2＝.进而可得x1＋x2＝，所以线段AB中点M的坐标为.所以线段AB的垂直平分线的方程为y＋＝－t，则D，|DF2|＝＝，|AB|＝＝·＝.所以|DF2|＝|AB|，即为定值1.
【训练3】 解 (1)因为双曲线的离心率为，故该双曲线为等轴双曲线，设方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2，)，得4－2＝2＝λ，故双曲线C的标准方程为－＝1.
(2)在直线方程y＝2x＋m中，令y＝0，得D，故S△AOB＝·|OD|·|yA－yB|，联立整理得3x2＋4mx＋m2＋2＝0，由题意得Δ＝16m2－12(m2＋2)＝4m2－24＝0，故m2＝6，联立解得yA＝－m；联立得yB＝，因此S△AOB＝·|OD|·|yA－yB|＝··＝＝2.
高考真题·重温
1．C 解析 由题意可知，∠F1PF2＝90°，又直线PF2的斜率为2，可得tan∠PF2F1＝＝2，根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，S△PF1F2＝|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，又S△PF1F2＝8，所以a2＝2，所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，所以双曲线的方程为－＝1.故选C.
2．D 解析 根据双曲线的离心率e＝＝，得c＝a，即c2＝5a2，即a2＋b2＝5a2，所以b2＝4a2，＝4，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，易知渐近线y＝2x与圆相交，则圆心(2,3)到渐近线y＝2x的距离d＝＝，所以|AB|＝2＝2＝.故选D.
3．D 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由点A，B在双曲线上，得两式作差，得x－x＝，即(x1－x2)(x1＋x2)＝，化简得＝9，即·＝kAB·＝9，因此kAB＝9·.由双曲线方程可得渐近线方程为y＝±3x，如图．选项中的点均位于双曲线两支之间，故A，B分别在双曲线的两支上且不关于原点对称，则|kAB|＝9||<3，即|y0|>3|x0|，结合选项可知选D.
4. 解析 由|AB|＝10及双曲线的对称性得|AF2|＝＝5，因为|AF1|＝13，所以2a＝|AF1|－|AF2|＝13－5＝8,2c＝|F1F2|＝＝＝12，所以a＝4，c＝6，则C的离心率e＝＝＝.
5．2 解析 设B(c，yB)，因为B为双曲线C：－＝1上的点，所以－＝1，所以y＝，又易知B为第一象限内的点，则yB＝.因为AB的斜率为3，所以＝3，所以b2＝3ac－3a2，所以c2－3ac＋2a2＝0，解得c＝a(舍去)或c＝2a，所以C的离心率e＝＝2.
6.(答案不唯一) 解析 由题意，知该双曲线的渐近线方程为y＝±x，直线y＝k(x－3)过定点(3,0)．因为点(3,0)在双曲线内，所以要使过该点的直线与双曲线只有一个公共点，则该直线与双曲线的渐近线平行，所以k＝±.(共35张PPT)
第六节
第八章 平面解析几何
双曲线
第2课时
第八章 平面解析几何
直线与双曲线的位置关系
关键能力/落实
第一部分
——考向探究
类型一
直线与双曲线的位置关系
解析
解析
解析
解析
类型二
中点弦问题
解析
解析
类型三
直线与双曲线的综合问题
解
解
解
解
解
解
高考真题/重温
第二部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
6
4
2
-4-2
2
4
x
2
4
-6微练(七十一) 直线与双曲线的位置关系
基础过关
一、单项选择题
1．过双曲线C：－＝1的左焦点作倾斜角为的直线l，则直线l与双曲线C的交点情况是( )
A．没有交点
B．只有一个交点
C．有两个交点且都在左支上
D．有两个交点且两交点分别在左、右两支上
2．已知直线l的方程为y＝kx－1，双曲线C的方程为x2－y2＝1.若直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，则实数k的取值范围是( )
A．(－，) B．[1，)
C．[－，] D．(1，)
3．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( )
A． B．3
C．2 D．4
4．已知直线y＝kx＋1与双曲线x2－＝1交于A，B两点，且|AB|＝8，则实数k的值为( )
A．± B．±或±
C．± D．±
5．过双曲线x2－y2＝4上任一点M(x0，y0)作它的一条渐近线的垂线段，垂足为N，O是坐标原点，则△MON的面积是( )
A．1 B．2
C．4 D．不确定
6．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点且斜率不为0的直线交C于A，B两点，D为线段AB的中点，若kAB·kOD＝，则C的离心率为( )
A． B．2
C． D．
二、多项选择题
7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，C上的点到其焦点的最短距离为1，则( )
A．C的焦点坐标为(±，0)
B．C的渐近线方程为y＝±x
C．若点P为双曲线C上的动点，则点P到两条渐近线的距离之积为定值
D．直线mx－y－m＝0(m∈R)与C恒有两个交点
8．(2025·福建一模)已知双曲线C：－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，直线l：y＝－x＋c与双曲线C的右支相交于A，B两点(点A在第一象限)．若|AF1|＝|AB|，则( )
A．双曲线C的离心率为
B．|BF1|＝8
C．|AB|＝
D．b＝
三、填空题
9．直线l：y＝2x和双曲线x2－y2＝4的交点个数为________．
10．双曲线－＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为________．
11．已知双曲线C：x2－＝1，过点A(0,1)作直线l交双曲线于P1，P2两点，若线段P1P2的中点在直线x＝上，则直线l的斜率为________．
四、解答题
12．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线斜率为，且双曲线C经过点M(2,1)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)斜率为－的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A，B，直线MA，MB的斜率分别为k1，k2.若k1＋k2＝1，求直线l的方程．
13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，)在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OAB的面积为2.求直线l的方程．
素养提升
14．已知双曲线x2－＝1(b>0)，若过点(2,2)能作该双曲线的两条切线，则该双曲线的离心率e的取值范围为________．
15．(2025·福建质量检测)已知A1(－1,0)，A2(1，0)，直线A1P，A2P相交于点P，且它们的斜率之积是4，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)不过A1，A2的直线l与C交于M，N两点，直线MA1与NA2交于点S，点S在直线x＝上，证明：直线l过定点．
微练(七十一) 直线与双曲线的位置关系
1．D 解析 直线l的方程为y＝(x＋)，代入C：－＝1整理得23x2－8x－160＝0，Δ＝(－8)2＋4×23×160>0，所以直线l与双曲线C有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．故选D.
2．D 解析 联立得整理得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，因为直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1的右支交于不同的两点，所以解得13．B 解析 根据题意，可知其渐近线的斜率为±，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON＝30°，所以直线MN的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN的方程为y＝(x－2)，分别与两条渐近线y＝x和y＝－x联立，求得M(3，)，N，所以|MN|＝＝3.故选B.
4．B 解析 由直线与双曲线交于A，B两点，得k≠±2.将y＝kx＋1代入x2－＝1，得(4－k2)x2－2kx－5＝0，由Δ＝4k2＋4×(4－k2)×5>0，得k2<5.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝8，解得k＝±或k＝±.故选B.
5．A 解析 渐近线方程为y＝±x，设d1，d2分别为点M(x0，y0)到直线x－y＝0，x＋y＝0的距离，则d1d2＝·＝＝2，因为两条渐近线相互垂直，所以S△MON＝d1d2＝1.故选A.
6．D 解析 解法一：不妨设过双曲线C的焦点且斜率不为0的直线为y＝k(x－c)，k≠0，令A(x1，y1)，B(x2，y2)由整理得(b2－a2k2)x2＋2a2k2cx－(a2k2c2＋a2b2)＝0，Δ>0，则x1＋x2＝，x1x2＝，D，则kOD＝＝，由kAB·kOD＝，可得·k＝，则有a2＝2b2，即3a2＝2c2，则双曲线C的离心率e＝＝.故选D.
解法二：因为kAB·kOD＝＝，所以e＝＝＝.故选D.
7．BC 解析 由题意，双曲线C的实半轴长为a，虚半轴长为b，设双曲线C的半焦距为c，由题意知双曲线C上的点到其焦点的最短距离为c－a＝1，该双曲线的离心率e＝＝2，得c＝2，a＝1，则b＝＝，所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.对于A选项，双曲线C的焦点坐标为(±2,0)，A选项错误；对于B选项，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，B选项正确；对于C选项，设点P(x0，y0)，则x－＝1，双曲线C的两条渐近线方程分别为x－y＝0，x＋y＝0，则点P到两条渐近线的距离之积为·＝＝，C选项正确；对于D选项，当m＝时，直线方程为y＝(x－1)，联立，得得x＝1，所以直线y＝(x－1)与双曲线C只有一个交点，D选项错误．故选BC.
8．AB 解析 由题意可知a＝2.因为直线l：y＝－x＋c＝－(x－c)，可知直线l过右焦点F2(c,0)，斜率k＝－<0，设直线l的倾斜角为θ∈，则可得cos θ＝－.设|AF1|＝|AB|＝x>0，由可得|AF2|＝x－4，|BF2|＝4，|BF1|＝8，故B正确．在△BF1F2中，可知cos∠BF2F1＝cos θ＝－，|F1F2|＝2c，由余弦定理可得，|BF1|2＝|BF2|2＋|F1F2|2－2|BF2|·|F1F2|cos∠BF2F1，即64＝16＋4c2－8×2c×，解得c＝或c＝－2(舍去)，可得双曲线C的离心率e＝＝，b＝＝，故A正确，D错误．在△AF1F2中，可知cos∠AF2F1＝－cos θ＝，|F1F2|＝2，由余弦定理可得，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2－2|AF2|·|F1F2|cos∠AF2F1，即x2＝(x－4)2＋24－2(x－4)×2×，解得x＝，故C错误．故选AB.
9．0 解析 双曲线的渐近线为x2－y2＝0，即y＝±x.因为双曲线的焦点在x轴上，且l的斜率大于渐近线斜率，所以直线l与双曲线相离，交点个数为0.
10. 解析 因为a2＝9，b2＝16，所以c＝5，且渐近线为y＝±x.所以A(3,0)，F(5,0)，不妨设直线BF的方程为y＝(x－5)，代入双曲线方程解得B.所以S△AFB＝|AF|·|yB|＝×2×＝.
11.－1 解析 由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，联立得消去y并整理得(2－k2)x2－2kx－3＝0.显然2－k2≠0，设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则x1＋x2＝＝1，解得k＝－1±，由Δ＝24－8k2>0，得－12．解 (1)由题设可得解得所以双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)设l：y＝－x＋t，因为点M(2,1)不在直线上，所以t≠2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y并化简，得x2＋4tx－4(t2＋1)＝0，则Δ＝16t2＋16(t2＋1)>0，所以x1＋x2＝－4t，x1x2＝－4(t2＋1)，由k1＋k2＝＋＝＝1，可得t＝1，所以直线l的方程为y＝－x＋1.
13．解 (1)依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为－＝1(0(2)依题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，得(1－k2)x2－4kx－6＝0.因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，所以解得(*)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝－，所以|AB|＝·＝×.又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝d·|AB|＝×××＝＝2，即＝1，所以k4－k2－2＝0，得k＝±，满足(*)式．故满足条件的直线l的方程为y＝±x＋2.
14．(1，)∪ 解析 设切线方程为y－2＝k(x－2)，代入x2－＝1得(b2－k2)x2＋4k(k－1)x－4(k－1)2－b2＝0，易得k≠±b，由Δ＝0得3k2－8k＋4＋b2＝0，由题意知此方程有两个不相等的实根，故Δ1＝64－12(4＋b2)>0，解得b2<，则c2＝1＋b2<，所以e＝<，即10，故b＝1，此时e＝，故离心率e的取值范围为(1，)∪(，)．
15．解 (1)设P(x，y)(x≠±1)，则kPA1＝，kPA2＝，由题知·＝4(x≠±1)，故C的方程为x2－＝1(x≠±1)．
(2) 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，y1y2≠0，若直线l的斜率为0，则直线MA1与NA2的交点在y轴上，与已知矛盾，故设直线l的方程为x＝my＋n(n≠±1)，联立得(4m2－1)y2＋8mny＋4n2－4＝0，由题知Δ＝16(4m2＋n2－1)>0，且y1＋y2＝，y1·y2＝.由点S在直线x＝上，设S，则kA1M＝＝t，kA2N＝＝－2t，所以kA2N＝－3kA1M，连接A1N，又kA1N·kA2N＝4，所以kA1N·(－3kA1M)＝4，即kA1NkA1M＝－，即·＝－，即－3y1y2＝4(my2＋n＋1)(my1＋n＋1)，即(4m2＋3)y1y2＋4(mn＋m)(y1＋y2)＋4(n＋1)2＝0，即(4m2＋3)＋4(mn＋m)＋4(n＋1)2＝0，整理得n2－n－2＝0，所以n＝－1(舍去)或n＝2，所以l的方程为x＝my＋2，直线l过定点(2,0)．(共34张PPT)
直线与双曲线的位置关系
微练(七十一)
基础过关
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