第七节 抛物线
【课程标准】 1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)；2.理解数形结合的思想；3.了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用.
教|材|回|顾
1．抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
[微点清] 当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与定直线垂直的直线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点 ________
对称轴 ______ ______
焦点 ________ ________ ________ ________
准线 ______ ______ ______ ______
离心率 e＝1
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口 方向 向右 向左 向上 向下
焦半径 (其中 P(x0，y0)) |PF|＝ x0＋ |PF|＝ －x0＋ |PF|＝ y0＋ |PF|＝ －y0＋
[微点清] 四种不同抛物线方程的共同点：①原点都在抛物线上；②焦点都在坐标轴上；③准线与焦点所在坐标轴垂直，垂足与焦点关于原点对称，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的，即＝.
微|点|延|伸
1．通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝x1＋x2＋p，也称为抛物线的焦点弦．
小|题|快|练
1．(人A选一P133T2改编)抛物线x2＝y的准线方程为( )
A．y＝－ B．x＝－
C．y＝ D．x＝
2．(人A选一P133T3改编)抛物线y2＝2px(p>0)上一点M(3，y)到焦点F的距离|MF|＝4，则抛物线的方程为( )
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝x
3．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|＝( )
A．9 B．8
C．7 D．6
4．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A为抛物线C上一点，若|AF|＝3，则点A的横坐标为________．
5．已知抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2,4)，则该抛物线的方程为________________.
类型一 抛物线的定义及标准方程
【例1】 (1)已知抛物线C：x2＝y上点M的纵坐标为1，则M到C的焦点的距离为( )
A．1 B．
C． D．2
(2)(2024·天津高考)圆(x－1)2＋y2＝25的圆心与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F重合，A为两曲线的交点，则原点到直线AF的距离为________．
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径．
【训练1】 (1)(2025·郑州模拟)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，M是C上一点，N是l与x轴的交点，若|MN|＝4，|MF|＝4，则p＝( )
A． B．2
C．2 D．4
(2)已知点M(20,40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________.
类型二 抛物线的几何性质
【例2】 (多选题)(2023·新课标Ⅱ卷)设O为坐标原点，直线y＝－(x－1)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则( )
A．p＝2
B．|MN|＝
C．以线段MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
【训练2】 (多选题)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C：y2＝2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点，则( )
A．p＝4
B．|MF|≥|OF|
C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D．当∠OFM＝120°时，△OFM的面积为2
类型三 直线与抛物线的位置关系
【例3】 (1)(2025·江西南昌一模)已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C在第一象限部分上一点，若|AF|＝4，则抛物线C在点A处的切线方程为( )
A．x－y－3＝0 B．2x－y－1＝0
C．x－y－1＝0 D．x－y－2＝0
(2)已知F是抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F且斜率为2的直线l与C交于A，B两点．若|AF|·|BF|＝20，则p＝( )
A．4 B．3
C．2 D．1
1．切线问题可借助于方程组的解唯一，利用判别式确定，也可以借助导数的几何意义求解，如本例(1)．
2．有关弦的问题可借助于一元二次方程根与系数的关系及弦长公式求解．
【训练3】 (1)(2025·广东联考)抛物线y2＝4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，则|AF|＋4|BF|的最小值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
(2)过点P(－1，－2)的两条直线与抛物线C：x2＝4y分别相切于A，B两点，则三角形PAB的面积为________．
活用抛物线焦点弦的4个性质
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
性质1：x1·x2＝.
性质2：y1·y2＝－p2.
性质3：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
性质4：＋＝为定值．
【典例】 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|＝( )
A．4 B．
C．5 D．6
【应用体验】
1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A． B．
C． D．
2.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段|AB|的长为( )
A．5 B．6
C． D．
3．(多选题)(2025·海南调研)已知斜率为的直线l经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AB|＝8，则以下结论正确的是( )
A．＋＝1 B．|AF|＝6
C．|BD|＝2|BF| D．F为AD的中点
第七节 抛物线
必备知识·梳理
教材回顾
1．相等
2．O(0,0) x轴 y轴 F F F F x＝－ x＝ y＝－ y＝
小题快练
1．A 解析 由抛物线的标准方程可得，抛物线的焦点位于y轴正半轴上，焦点坐标为，准线方程为y＝－.故选A.
2．B 解析 由题意可得|MF|＝xM＋，则3＋＝4，即p＝2，故抛物线方程为y2＝4x.故选B.
3．B 解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.故选B.
4．2 解析 设A(m，n)，由抛物线的方程可知p＝2，则由抛物线的定义可得|AF|＝m＋＝m＋1＝3，所以m＝2.
5．y2＝8x或x2＝y 解析 设抛物线的方程为y2＝kx(k≠0)或x2＝my(m≠0)，将P(2,4)的坐标分别代入，可得k＝8，m＝1，故所求抛物线的方程为y2＝8x或x2＝y.
关键能力·落实
【例1】 (1)B 解析 抛物线C：x2＝y的准线方程为y＝－，因为点M在抛物线上且纵坐标为1，所以点M到C的焦点的距离为1－＝.故选B.
(2) 解析 由题意知圆(x－1)2＋y2＝25的圆心坐标为(1,0)，则F(1,0)，故＝1，p＝2，由抛物线的定义得|AF|＝xA＋1＝5，得xA＝4.由对称性不妨设A(4,4)，则直线AF的方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0，所以原点到直线AF的距离＝.
【训练1】 (1)D 解析 如图所示，作MH⊥l，垂足为H.由抛物线的定义可知，|MH|＝|MF|＝4，在Rt△MHN中，|HN|＝＝4，则点M的坐标为，又点M在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，所以2p＝16，即p2－8p＋16＝0，则p＝4.故选D.
(2)42或22 解析 当点M(20,40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，则|PF|＝|PD|，|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42；当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当点P，M，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小．由最小值为41，得＝41，解得p＝22或p＝58.当p＝58时，y2＝116x，点M(20,40)在抛物线内，故舍去．综上，p＝42或p＝22.
【例2】 AC 解析 A项，直线y＝－(x－1)过点(1,0)，所以抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，所以＝1，p＝2,2p＝4，A项正确，且抛物线C的方程为y2＝4x.B项，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简得3x2－10x＋3＝(x－3)(3x－1)＝0，解得x1＝3，x2＝，所以|MN|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝，B项错误．C项，设线段MN的中点为A，M，N，A到直线l的距离分别为d1，d2，d，因为d＝(d1＋d2)＝(|MF|＋|NF|)＝|MN|，即A到直线l的距离等于|MN|的一半，所以以线段MN为直径的圆与直线l相切，C项正确．D项，由上述分析可知y1＝－×(3－1)＝－2，y2＝－×＝，所以|OM|＝＝，|ON|＝＝，所以三角形OMN不是等腰三角形，D项错误．故选AC.
【训练2】 ABC 解析 由题可知，＝2，则p＝4，A项正确．设M(x0，y0)，则MF＝x0＋，OF＝，又因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B项正确．由抛物线的定义知，M到F的距离与M到准线的距离相等，故圆与准线相切，C项正确．当∠OFM＝120°时，则∠MFx＝60°，|MF|＝＝8，所以S＝|OF|·|MF|sin 120°＝×2×8×＝4，D项错误，故选ABC.
【例3】 (1)A 解析 设A(x1，y1)，x1>0，y1>0，由x2＝4y，得p＝2，所以抛物线的准线方程为y＝－1，由抛物线的定义可得|AF|＝y1＋1＝4，得y1＝3，代入x2＝4y，得x1＝2(负值舍去)，由x2＝4y得y＝x2，所以y′＝x，所以抛物线C在点A处的切线斜率为×2＝，所以抛物线C在点A处的切线方程为y－3＝(x－2)，即x－y－3＝0，故选A.
(2)A 解析 由题意知F，故l的方程为x＝y＋，与C的方程联立，化简得y2－py－p2＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝p，y1y2＝－p2，所以x1＋x2＝，x1x2＝.又|AF|＝＋x1，|BF|＝＋x2，所以|AF|·|BF|＝＝＋(x1＋x2)＋x1x2＝＝20，解得p＝4.故选A.
【训练3】 (1)D 解析 由题意可知F(1,0)，设lAB：x＝ky＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去x得y2－4ky－4＝0，则y1y2＝－4，所以x1x2＝·＝1，|AF|＋4|BF|＝x1＋1＋4(x2＋1)＝x1＋4x2＋5≥2＋5＝9，当且仅当x1＝2，x2＝时取得等号．则|AF|＋4|BF|的最小值为9.故选D.
(2) 解析 抛物线C：x2＝4y，即y＝x2，故y′＝x，设A，B两点的坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＝，整理得x1＋2y1＝4，同理x2＋2y2＝4.故直线AB的方程为x＋2y＝4，由得x2＋2x－8＝0，Δ>0，故x1＋x2＝－2，x1x2＝－8，|AB|＝×＝3，又点P到直线AB的距离为＝，故三角形PAB的面积为×3×＝.
素养进级·提能力
【典例】 B 解析 解法一：(利用性质3)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，所以cos θ＝＝，则sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故由弦长公式得|AB|＝＝.故选B.
解法二：(利用性质4)因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.故选B.
应用体验
1．D 解析 由2p＝3，及|AB|＝，得|AB|＝＝12.又原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，故S△OAB＝|AB|·d＝×12×＝.故选D.
2．C 解析 解法一：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.故选C.
解法二：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.故选C.
3．BCD 解析 如图，过点B作x＝－的垂线，垂足为B′，又F，直线l的斜率为，则直线l的方程为y＝.联立得12x2－20px＋3p2＝0.解得xA＝，xB＝.由|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝＝8，得p＝3.所以抛物线的方程为y2＝6x.则|AF|＝xA＋＝2p＝6，故B正确；|BF|＝8－|AF|＝2，|BD|＝＝＝4，所以|BD|＝2|BF|，故C正确；|AF|＝|DF|＝6，则F为AD的中点，故D正确；而＋＝，故A错误．故选BCD.(共46张PPT)
第七节
第八章 平面解析几何
抛物线
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
抛物线的定义及标准方程
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
抛物线的几何性质
解析
解析
解析
类型三
直线与抛物线的位置关系
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y
0
F
X
y
F
0
X
y
F
X
0
卫
0
F
X
y
H
M
W
0
F
X
y个
个
D
P
M
M
P
0
F
x
F
x
①
②
y个
N
F
0
x
A
M
y=-3(x-1)
y
D
E
A
L
0
I
F
X
C
B
个y
A
F
0
X
B
y
D
A
F
E
0
X
B
木y
A∠
0
B
F
X
D
B微练(七十二) 抛物线
基础过关
一、单项选择题
1．抛物线y＝4x2的准线方程是( )
A．x＝－2 B．x＝－1
C．y＝－ D．y＝－
2．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，则p的值为( )
A． B．
C．1 D．2
3. (2025·广东联考)石拱桥是世界桥梁史上出现较早、形式优美、结构坚固的一种桥型．如图，这是一座石拱桥，桥洞弧线可近似看成是顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线C的一部分，当水距离拱顶4米时，水面的宽度是8米，则抛物线C的焦点到准线的距离是( )
A．1米 B．2米
C．4米 D．8米
4．若圆C：x2＋y2－4x＋3＝0与抛物线x2＝2py(p>0)的准线相切，则抛物线的焦点坐标为( )
A．(2,0) B．(0,2)
C．(0,1) D．(1,0)
5．(2024·湖北武汉二调)设抛物线y2＝2x的焦点为F，过抛物线上点P作其准线的垂线，设垂足为Q，若∠PQF＝30°，则|PQ|＝( )
A． B．
C． D．
6．已知过点M(0,4)的动直线l交抛物线C：x2＝4y于A，B两点(A，B不重合)，O为坐标原点，则∠AOB( )
A．一定是锐角
B．一定是直角
C．一定是钝角
D．可能是锐角、直角或钝角
二、多项选择题
7．已知点O为坐标原点，直线y＝x－1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则( )
A．|AB|＝8
B．OA⊥OB
C．△AOB的面积为2
D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2
8．在平面直角坐标系Oxy中，点F是抛物线C：y2＝ax(a>0)的焦点，点A，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则下列结论正确的是( )
A．C的准线方程为x＝
B．b＝
C．·＝2
D．＋＝
三、填空题
9．(2023·全国乙卷)已知点A(1，)在抛物线C：y2＝2px上，则A到C的准线的距离为________．
10．过抛物线x2＝4y上一点(4,4)的切线方程为________．
11．(2025·石家庄质量检测)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l.斜率为的直线经过焦点F，交C于点A，交准线l于点B(A，B在x轴的两侧)，若|AB|＝16，则抛物线C的方程为________．
四、解答题
12．抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方程为y＝2x，斜边长为5，求此抛物线方程．
13．设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，过点T(1,0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，点A在第二象限，当F在l上时，A与B的横坐标和为－4.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过A作斜率为的直线与x轴交于点M，与直线OB交于点N(O为坐标原点)，求.
素养提升
14．(多选题)(2024·新课标Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点．过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B，则( )
A．l与⊙A相切
B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝
C．当|PB|＝2时，PA⊥AB
D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个
15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，A为C上一点，B为准线l上一点，＝2，|AB|＝9.
(1)求C的方程；
(2)M，N，E(x0，－2)是C上的三点，若kEM＋kEN＝1，求点E到直线MN距离的最大值．
微练(七十二) 抛物线
1．D 解析 由y＝4x2可得x2＝y，所以p＝，所以准线方程为y＝－＝－.故选D.
2．C 解析 根据题意可得焦点坐标为，且p>0，则＝，解得p＝1.故选C.
3．B 解析 设抛物线C：x2＝－2py(p>0)，由题意可知点(4，－4)在抛物线C上，则－2p×(－4)＝42，解得p＝2，故抛物线C的焦点到准线的距离是2米．故选B.
4．C 解析 抛物线x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，将圆C的一般方程化为标准方程为(x－2)2＋y2＝1，则圆心为C(2,0)，半径为r＝1，所以圆心C(2,0)到准线y＝－的距离d＝＝r＝1，所以p＝2，故抛物线的焦点坐标为(0,1)．故选C.
5．A 解析 如图所示，设准线与x轴的交点为M.易知F.因为∠PQF＝30°，FM∥PQ，所以∠QFM＝30°.|QM|＝|MF|tan 30°＝，yP＝，xP＝，|PQ|＝xP＋＝.故选A.
6．B 解析 由题意知，过点M的动直线l的斜率一定存在，如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋4，联立得消去y得x2＝4(kx＋4)，即x2－4kx－16＝0，Δ＝(－4k)2－4×1×(－16)＝16(k2＋4)>0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－16，则·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋4)(kx2＋4)＝(1＋k2)x1x2＋4k(x1＋x2)＋16＝－16(1＋k2)＋4k·4k＋16＝0，所以⊥，所以∠AOB＝90°，故选B.
7．AC 解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线C：y2＝4x，则p＝2，焦点为(1,0)，则直线y＝x－1过焦点．联立消去y得x2－6x＋1＝0，易得Δ>0，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8，故A正确；y1y2＝(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝－4，由·＝x1x2＋y1y2＝1－4＝－3≠0，所以OA与OB不垂直，故B错误；原点到直线y＝x－1的距离为d＝＝，所以△AOB的面积为S＝×d×|AB|＝××8＝2，故C正确；因为线段AB的中点到直线x＝0的距离为＝＝3，故D错误．故选AC.
8．BD 解析 点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，则解得则抛物线C：y2＝x，A，B(，)，抛物线C的准线方程为x＝－，故A错误，B正确；·＝×＋1×＝1＋，故C错误；抛物线C的焦点F，则|AF|＝＝，|BF|＝＝，则＋＝＋＝，故D正确．故选BD.
9. 解析 由题意可得()2＝2p×1，则2p＝5，抛物线的方程为y2＝5x，准线方程为x＝－，点A到C的准线的距离为1－＝.
10．y＝2x－4 解析 解法一：设切线方程为y－4＝k(x－4)．由 x2＝4(kx－4k＋4) x2－4kx＋16(k－1)＝0，由Δ＝(－4k)2－4×16(k－1)＝0，得k2－4k＋4＝0.所以k＝2.故切线方程为y－4＝2(x－4)，即y＝2x－4.
解法二：由x2＝4y得y＝，所以y′＝.当x＝4时，y′＝＝2.所以切线方程为y－4＝2(x－4)．所以y＝2x－4.
11．y2＝8x 解析 如图所示，焦点为F，准线l的方程为x＝－，设准线l与x轴的交点为K.因为直线AB过焦点F且斜率为，所以直线AB的倾斜角为60°，即∠AFx＝60°，所以∠FBK＝30°，过点A作准线l的垂线，垂足为A1，又|AB|＝16，所以|AA1|＝|AB|＝8，由抛物线的定义可得，|AF|＝8，所以|BF|＝|AB|－|AF|＝8，所以p＝|FK|＝|BF|＝4，则抛物线C的方程为y2＝8x.
12．解 设抛物线y2＝2px(p>0)的内接直角三角形为Rt△AOB，直角边OA所在直线方程为y＝2x，则另一直角边OB所在直线方程为y＝－x.解方程组可得点A的坐标为.解方程组可得点B的坐标为(8p，－4p)．因为|OA|2＋|OB|2＝|AB|2，所以＋p2＋64p2＋16p2＝325.所以p＝2，所以所求的抛物线方程为y2＝4x.
13．解 (1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题x＝2py1，x＝2py2，由x1＋x2＝－4，则直线l斜率为k＝＝＝＝－，又F，T(1,0)，则k＝－，从而有－＝－，所以p＝2，从而抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)由题意直线l斜率存在，设l：y＝k(x－1)，由得x2－4kx＋4k＝0，则Δ＝16k2－16k>0，解得k<0或k>1，又点A在第二象限，所以k<0，x1＋x2＝4k，x1x2＝4k.设N(x3，y3)，由题意知AM：y－y1＝(x－x1)，OB：y＝x.联立解得y3＝，＝＝1－＝1－，将x1＋x2＝4k，x1x2＝4k，代入上式得1－＝1－＝1－＝2，即＝2.
14．ABD 解析 对于A，易知l：x＝－1，故l与⊙A相切，A正确；对于B，A(0,4)，⊙A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P(4，4)，所以|PA|＝4，|PQ|＝＝＝，故B正确；对于C，当|PB|＝2时，P(1,2)，B(－1,2)或P(1，－2)，B(－1，－2)，易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，记抛物线C的焦点为F，连接AF，PF，易知F(1,0)，由抛物线定义可知|PF|＝|PB|，因为|PA|＝|PB|，所以|PA|＝|PF|，所以点P在线段AF的中垂线上，线段AF的中垂线方程为y＝x＋，即x＝4y－，代入y2＝4x可得y2－16y＋30＝0，解得y＝8±，易知满足条件的点P有且仅有两个，故D正确．故选ABD.
15．解 (1)因为＝2，所以|AF|＝|AB|＝3，又xB＝－，xF＝，所以xA＝p，由抛物线的定义可知，|AF|＝p＋＝3，解得p＝2.则C的方程为y2＝4x.
(2)因为E(x0，－2)在抛物线C上，所以x0＝1，设直线MN的方程为x＝ty＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)，将x＝ty＋n代入y2＝4x，得y2－4ty－4n＝0，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4n，kEM＝＝＝，同理kEN＝，kEM＋kEN＝＋＝＝＝1，整理得，n＝－6t＋5，则直线MN的方程为x＝ty－6t＋5，所以直线MN过定点T(5,6)．当ET⊥MN时，点E到直线MN的距离最大，且最大距离为|ET|＝＝4，经检验符合题意．(共29张PPT)
抛物线
微练(七十二)
基础过关
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
素养提升
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解析
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
解
