第三节 成对数据的统计分析
【课程标准】 1.了解样本相关系数的统计含义；2.了解一元线性回归模型和2×2列联表，会运用这些方法解决简单的实际问题；3.会利用统计软件进行数据分析.
教|材|回|顾
1．变量的相关关系
(1)相关关系的分类：正相关和负相关．
(2)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在________附近，我们就称这两个变量线性相关．
一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．
2．样本相关系数
(1)样本相关系数r的计算
变量x和变量y的样本相关系数r的计算公式如下：
r＝.
(2)样本相关系数r的性质
①当r>0时，称成对样本数据________相关；当r<0时，称成对样本数据________相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．
②样本相关系数r的取值范围为________．
当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越________；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越________．
3．一元线性回归模型
(1)我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，其中
(2)残差：观测值减去__________所得的差称为残差．
(3)决定系数
R2＝1－，R2越________，即模型的拟合效果越好，R2越________，即模型的拟合效果越差．
4．列联表与独立性检验
(1)关于分类变量X和Y的抽样数据的2×2列联表
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
记n＝a＋b＋c＋d，则随机变量χ2＝.
(2)独立性检验
基于小概率值α的检验规则是：
当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；
当χ2下表给出了χ2独立性检验中五个常用的小概率值和相应的临界值
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
微|点|延|伸
1．相关关系与函数关系的异同
共同点：二者都是指两个变量间的关系；
不同点：函数关系是一种确定性关系，体现的是因果关系，而相关关系是一种非确定性关系，体现的不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
2．经验回归直线＝x＋必过样本点的中心(，)．
3．回归分析和独立性检验都是基于成对样本观测数据进行估计或推断，得出的结论都可能犯错误．
4．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则两个分类变量有关的把握越大．
小|题|快|练
1．(多选题)下列有关回归分析的说法中正确的是( )
A．相关关系是一种确定性的关系
B．经验回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线
C．当样本相关系数r>0时，两个变量正相关
D．两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0
2．如图，有5个(x，y)数据，去掉D(3,10)后，下列说法错误的是( )
A．样本相关系数r变大
B．残差平方和变大
C．R2变大
D．解释变量x与响应变量y的相关程度变强
3．已知某产品的营销费用x(单位：万元)与销售额y(单位：万元)的统计数据如表所示，根据下表可得y关于x的经验回归方程为＝7x＋，则当该产品的营销费用为6万元时，预计销售额为( )
营销费用x/万元 2 3 4 5
销售额y/万元 15 20 30 35
A．40.5万元 B．41.5万元
C．42.5万元 D．45万元
4．已知变量x和y的统计数据如表：
x 6 7 8 9 10
y 3.5 4 5 6 6.5
若由表中数据得到经验回归方程为＝0.8x＋，则当x＝10时的残差为________(注：观测值减去预测值所得的差称为残差)．
5．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了选该课的一些学生的情况，具体数据如表所示：
性别 主修专业 合计
非统计专业 统计专业
男 13 10 23
女 7 20 27
合计 20 30 50
为了判断主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到χ2＝≈4.844，因为χ2>3.841，所以判定主修专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性________0.05(填“大于”或“小于”)．
附：
α 0.1 0.05 0.01 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 10.828
类型一 成对数据的相关性
【例1】 某滑雪场在冬奥会期间开业，下表统计了该滑雪场开业第x天的滑雪人数y(单位：百人)的数据.
天数代码x 1 2 3 4 5 6 7
滑雪人数y/百人 11 13 16 15 20 21 23
根据第1至7天的数据分析，可用线性回归模型来拟合y与x的关系，请用样本相关系数加以说明．(保留两位有效数字)
参考数据：iyi＝532，≈57.48.
参考公式：
对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其样本相关系数r＝.
判断两个变量相关性的方法
1．画散点图：点的分布从左下角区域到右上角区域，两个变量正相关；点的分布从左上角区域到右下角区域，两个变量负相关．
2．样本相关系数：根据成对样本数据，直接求出r，当r>0时，两个变量正相关；当r<0时，两个变量负相关；|r|越接近于1，两个变量相关程度越强．
[注意] 样本相关系数r为判定两个变量是否线性相关的指标，且绝对值越大，线性相关程度越强，而不是r越大，线性相关程度越强．
【训练1】 (2025·石家庄一模)某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重，制作成表格.
身高x (单位：cm) 167 173 175 177 178 180 181
体重y (单位：kg) 90 54 59 64 67 72 76
由表格制作成如图所示的散点图，由最小二乘法计算得到经验回归直线l1的方程为＝1x＋1，其相关系数为r1；经过残差分析，点(167,90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线l2的方程为＝2x＋2，相关系数为r2，则下列选项正确的是( )
A．1<2，1>2，r1B．1<2，1<2，r1>r2
C．1>2，1<2，r1>r2
D．1>2，1>2，r1类型二 经验回归模型
考向 ：一元线性回归模型
【例2】 某商业银行对存款利率与日存款总量的关系进行调研，发现存款利率每上升一定的百分点，日均存款总额就会发生一定的变化，经过统计得到下表：
利率上升百分点x 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
日均存款总额y/亿元 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8
(1)在给出的直角坐标系中画出上表数据的散点图；
(2)根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程＝x＋；
(3)已知现行存款利率下的日均存款总额为0.625亿元，试根据(2)中的经验回归方程，预测日均存款总额为现行存款利率下的2倍时，存款利率需上升多少个百分点？
参考公式及数据：①＝，＝－，②iyi＝0.9，＝0.55.
线性回归分析问题的解题策略
1．利用最小二乘估计公式，求出回归系数.
2．利用经验回归直线过样本点的中心求系数.
3．写出经验回归方程，并利用经验回归方程进行预测．
【训练2】 (多选题)下表是2024年某市1～5月份新能源汽车销量y(单位：千辆)与月份x的统计数据，
月份x 1 2 3 4 5
销量y 5 5 6 6 8
由表中数据求得经验回归方程为＝0.7x＋，则下列说法正确的是( )
A．＝3.9
B．y与x正相关
C．由经验回归方程估计，月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆
D．由已知数据可以确定，6月份该市新能源汽车销量一定为8.1千辆
考向 ：非线性回归模型
【例3】 (2025·广州一模)某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与心率f(单位：次/分钟)的对应数据(Wi，fi)(i＝1,2，…，8)．根据生物学常识和散点图得出f与W近似满足f＝cWk(c，k为参数)．令xi＝ln Wi，yi＝ln fi，计算得＝8，＝5，＝214.由最小二乘法得经验回归方程为＝x＋7.4，则k的值为________；为判断拟合效果，通过经验回归方程求得预测值i(i＝1,2，…，8)，若残差平方和(yi－i)2≈0.28，则决定系数R2≈________.
非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程常用方法：
1．若y＝a＋b，设t＝，则＝＋t.
2．若y＝a＋bln x，设t＝ln x，则＝＋t.
3．若y＝c1ec2x，两边取自然对数，得ln y＝ln c1＋c2x，设z＝ln y，＝ln c1，＝c2，则＝＋x.
【训练3】 用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设z＝ln y，其变换后得到经验回归方程为＝0.5x＋2，则c＝( )
A．0.5 B．e0.5
C．2 D．e2
类型三 独立性检验
【例4】 (2025·八省联考)为考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了动物(单位：只)试验，得到如下列联表：
药物 疾病 合计
未患病 患病
未服用 100 80 s
服用 150 70 220
合计 250 t 400
(1)求s，t；
(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p，给出p的估计值；
(3)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为药物A对预防疾病B有效？
附：χ2＝
α 0.050 0.010 0.001
xα 3.841 6.635 10.828
独立性检验的一般步骤
1．提出零假设H0.
2．根据样本数据制成2×2列联表．
3．根据公式χ2＝计算．
4．比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．
【训练4】 甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营．为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：
公司 准点班次数 未准点班次数
A 240 20
B 210 30
(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；
(2)根据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？
附：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d.
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
1．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理得下表：
亩产量 [900， 950) [950， 1 000) [1 000， 1 050) [1 050， 1 100) [1 100， 1 150) [1 150， 1 200]
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
2．(2022·全国甲卷)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图，则( )
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
3．(多选题)(2021·新高考Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
4．(多选题)(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则( )
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
第三节 成对数据的统计分析
必备知识·梳理
教材回顾
1．(2)一条直线
2．(2)①正 负 ②[－1,1] 强 弱
3．(1) (2)预测值 (3)大 小
小题快练
1．CD 解析 相关关系是不确定的关系，故A错；经验回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，故B错；当样本相关系数r>0时，两个变量正相关，故C对；两个变量的线性相关性越弱，|r|越接近于0，故D对．故选CD.
2．B 解析 去掉一个极端值，根据样本相关系数、残差平方和的定义、R2的含义可知，A、C、D正确．故选B.
3．C 解析 ＝＝3.5，＝＝25，因为经验回归方程为＝7x＋，所以25＝3.5×7＋，解得＝0.5，所以经验回归方程为＝7x＋0.5，将x＝6代入，得＝7×6＋0.5＝42.5.故当该产品的营销费用为6万元时，预计销售额为42.5万元．故选C.
4．－0.1 解析 ＝＝8，＝＝5，则＝5－0.8×8＝－1.4，所以＝0.8x－1.4，当x＝10时，＝6.6，所以当x＝10时的残差为6.5－6.6＝－0.1.
5．小于 解析 因为χ2>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为主修专业与性别有关，这种判断出错的可能性小于0.05.
关键能力·落实
【例1】 解 因为＝×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，＝×(11＋13＋16＋15＋20＋21＋23)＝17，所以(xi－)(yi－)＝iyi－7＝532－7×4×17＝56，所以r＝≈≈0.97，所以样本相关系数r的绝对值接近于1，所以可以推断x和y这两个变量线性相关，且相关程度很强．
【训练1】 A 解析 ＝＝≈176，因为离群点(167,90)的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，所以去掉(167,90)后经验回归直线的截距变小而斜率变大，故1<2，1>2，去掉(167,90)后相关性更强，拟合效果也更好，且是正相关，所以r1【例2】 解 (1)如图所示．
(2)由题表数据可得＝×(0.1＋0.2＋0.3＋0.4＋0.5)＝0.3，＝×(0.2＋0.35＋0.5＋0.65＋0.8)＝0.5，所以＝＝＝1.5，＝－＝0.5－1.5×0.3＝0.05，故y关于x的经验回归方程为＝1.5x＋0.05.
(3)设存款利率需上升x个百分点，由(2)及题意得，0.625×2＝1.5x＋0.05，解得x＝0.8，所以预测存款利率需上升0.8个百分点．
【训练2】 ABC 解析 由＝＝3，＝＝6，得样本点的中心为(3,6)，代入＝0.7x＋，得6＝0.7×3＋，解得＝3.9，故A正确；由经验回归方程的系数是0.7>0，知y与x正相关，且月份每增加1个月，销量平均增加0.7千辆，故B、C正确；经验回归方程只能顸测趋势，不能确定销量，故D错误．故选ABC.
【例3】 －0.3 0.98 解析 将＝8，＝5代入经验回归方程＝x＋7.4，得5＝8＋7.4，解得＝－0.3，所以k＝－0.3.(yi－)2＝(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y8－)2＝y＋y＋…＋y－2(y1＋y2＋…＋y8)＋82＝y＋y＋…＋y－2·8＋82＝－82，所以R2＝1－＝1－≈1－＝0.98.
【训练3】 D 解析 因为y＝cekx，两边取对数，得ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c，则＝x＋ln ，而＝0.5x＋2，于是得ln ＝2，即＝e2.故选D.
【例4】 解 (1)s＝100＋80＝180，t＝80＋70＝150.
(2)p＝＝.
(3)零假设H0：药物A对预防疾病B无效，根据列联表中的数据可求得χ2＝＝≈6.73>6.635，根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，可推断H0不成立．因此认为药物A对预防疾病B有效．
【训练4】 解 (1)由题表可得A公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为＝，B公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率为＝.
(2)零假设为H0：甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司无关，列联表如下表所示：
公司 班次是否准点 合计
准点班次数 未准点班次数
A 240 20 260
B 210 30 240
合计 450 50 500
χ2＝≈3.205>2.706＝x0.1，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．
高考真题·重温
1．C 解析 对于A，因为前3组的频率之和0.06＋0.12＋0.18＝0.36<0.5，前4组的频率之和0.36＋0.30＝0.66>0.5，所以100块稻田亩产量的中位数所在的区间为[1 050,1 100)，故A不正确；对于B,100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例为×100%＝66%，故B不正确；对于C，因为1 200－900＝300,1 150－950＝200，所以100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间，故C正确；对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(925×6＋975×12＋1 025×18＋1 075×30＋1 125×24＋1 175×10)＝1 067(kg)，故D不正确．综上所述，故选C.
2．B 解析 解法一：根据散点图，讲座前问卷答题正确率的10个数据中，小于或等于70%的有5个，这意味着中位数必然大于70%，故选项A错误．讲座后问卷答题正确率的10个数据中，有1个为80%,4个为85%，其余数据大于或等于90%，经估算知，平均数大于85%，故选项B正确．从散点图可以看出，与讲座后的正确率的数据相比，讲座前正确率的数据更为分散，故标准差更大，故选项C错误．从散点图可直接看出，讲座前正确率的极差更大，故选项D错误．故选B.
解法二：根据散点图可知，讲座前问卷答题正确率的中位数为(70%＋75%)>70%，故选项A错误．由散点图中数据计算知，讲座后问卷答题正确率的平均数为89.5%，故选项B正确．从散点图可以看出，与讲座后问卷答题的正确率数据相比，讲座前问卷答题的正确率数据更为分散，故标准差更大，选项C错误．由散点图中数据计算可知，讲座前的正确率极差为95%－60%＝35%，讲座后问卷答题正确率的极差为100%－80%＝20%，故选项D错误．故选B.
3．CD 解析 A项，设＝i，则＝i＝(xi＋c)＝i＋c，所以＝＋c，因为c≠0，所以≠，所以A选项错误．B项，因为yi＝xi＋c(i＝1,2，…，n)，所以y1，y2，…，yn的中位数是x1，x2，…，xn的中位数加c，所以B选项错误．C项，设s＝(xi－)2，s＝(yi－)2，所以s＝(xi＋c－－c)2＝(xi－)2，所以s＝s，所以两组数据的方差相同，从而这两组数据的标准差相同，所以C选项正确．D项，设x14．BD 解析 对于A，如1,2,2,2,2,4的平均数不等于2,2,2,2的平均数，故A错误；对于B，不妨设x2≤x3≤x4≤x5，则x2，x3，x4，x5的中位数为，x1，x2，…，x6的中位数为，故B正确；对于C，x1，x2，…，x6的数据波动性更大，故C错误；对于D，不妨设x2≤x3≤x4≤x5，则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6，所以x5－x2≤x6－x1，故D正确．故选BD.(共66张PPT)
第三节
第九章 统计与成对数据的统计分析
成对数据的统计分析
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
成对数据的相关性
解
解
解析
类型二
经验回归模型
解
解
解
解析
解析
解析
答案
类型三
独立性检验
解
解
解
解
解
解
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点
y米
E(10,12)
D(3,10)
·C(4,5)
·B(2,4)
A(1,3)
0
X
个y/kg
09000140000
166168170172174176178180182
x/cm
0.9
0
0.7
一一一
0.6
543
1
人
7
一
一一一一
0.2
L
0.1
7
1
0
0.10.20.30.40.50.6
X
0.9
0.8
0.7
一一一
0.6
y
543
1
入
7
一
一一一
0.2
0.1
7
1
0
0.10.20.30.40.50.6
X
100%
95%
90%
米
85%
米
阁
80%
米一*讲座前
75%
米
·讲座后
70%
米
65%
米
米
60%
米
米
123456
78910
居民编号微练(七十九) 成对数据的统计分析
基础过关
一、单项选择题
1．某机构为调查运动爱好者是否有性别差异，通过调研数据统计：在500名男生中有200名爱好运动，在400名女生中有50名爱好运动．若要确定运动爱好是否与性别有关时，用下列最适合的统计方法是( )
A．均值 B．方差
C．独立性检验 D．回归分析
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
m 106 115 124 103
则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性？( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
3．根据如表样本数据：
x 2 3 4 5 6
y 4 2.5 －0.5 －2 －3
得到的经验回归方程为＝x＋则( )
A．>0，>0 B．>0，<0
C．<0，>0 D．<0，<0
4．某公司在2020～2024年的收入与支出情况如下表所示：
收入x(亿元) 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9
支出y(亿元) 0.2 1.5 2.0 2.5 3.8
根据表中数据可得经验回归方程为＝0.8x＋，依此估计该公司收入为8亿元时的支出为( )
A．4.2亿元 B．4.4亿元
C．5.2亿元 D．5.4亿元
5．(2025·福建宁德质检)2024海峡两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华·福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德福安隆重开幕．在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，之后每过一个小时反馈一次．指挥中心统计了前5次的数据(i，yi)，其中i＝1,2,3,4,5，yi为第i次入口人流量数据(单位：百人)，由此得到y关于i的回归方程＝log2(i＋1)＋5.已知＝9，根据回归方程(参考数据：log23≈1.6，log25≈2.3)，可预测下午4点时入口游客的人流量为( )
A．9.6 B．11.0
C．11.4 D．12.0
6．对于数据组(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，如果由经验回归方程得到的对应自变量xi的估计值是i，那么将yi－i称为对应点(xi，yi)的残差．某商场为了给一种新商品进行合理定价，将该商品按事先拟定的价格进行试销，得到如表所示的数据：
单价x/元 8.2 8.4 8.6 8.8
销量y/件 84 83 78 m
根据表中的数据，得到销量y(单位：件)与单价x(单位：元)之间的经验回归方程为＝－16x＋a，据计算，样本点(8.4,83)处的残差为1.4，则m＝( )
A．45 B．55
C．75 D．85
二、多项选择题
7．2024年6月18日，很多商场都在搞“618”促销活动．市物价局派人对5个商场某商品同一天的销售量及其售价进行调查，得到该商品的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据(如表所示)，用最小二乘法求得y关于x的经验回归方程是＝－0.32x＋，样本相关系数r≈－0.992 3，则下列说法正确的有( )
x 90 95 100 105 110
y 11 10 8 6 5
A．变量y与x负相关且相关性较强
B．＝40
C．当x＝75时，y的估计值为14.5
D．相应于点(95,10)的残差为0.4
8．为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：
幸福感强 幸福感弱 合计
阅读量多 m 18 72
阅读量少 36 n 78
合计 90 60 150
计算得：χ2≈12.981，参照下表：
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
对于下面的选项，正确的是( )
A．根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”
B．m＝54
C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，此推断犯错误的概率不大于0.005
D．n＝52
三、填空题
9．已知x和y的散点图如图所示，在相关关系中，若用＝1e2x拟合时的决定系数为R，用＝x＋拟合时的决定系数为R，则R，R中较大的是________．
10．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．得到数据如下表：
零件个数x 10 20 30 40 50
加工时间y(min) 53 65 71 76 85
根据上表可得经验回归方程＝x＋中的＝0.75，则经验回归方程＝x＋中＝________；据此估计，加工的零件个数为60时所花费的时间为________min.
11．为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得如表所示的数据：
性别 疗效
无效 有效 合计
男性患者 15 35 50
女性患者 6 44 50
合计 21 79 100
α 0.100 0.050 0.010
xα 2.706 3.841 6.635
设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论：服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于________．
四、解答题
12．(2024·陕西西安二模)民航招飞是指普通高校飞行技术专业通过高考招收飞行学生，据统计某校高三在校学生有1 000人，其中男学生600人，女学生400人，男、女各有100名学生有报名意向．
(1)完成给出的列联表，并分别估计男、女学生有报名意向的概率：
有报名意向 没有报名意向 合计
男学生
女学生
合计
(2)依据小概率值α＝0.010的独立性检验，分析该校高三学生是否有报名意向与性别有关．
附：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋D．
α 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
13．小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了它们的面积x(单位：m2)和日均客流量y(单位：百人)的数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，并计算得i＝2 400，i＝210，(xi－)2＝42 000，(xi－)(yi－)＝6 300.
(1)求y关于x的经验回归方程；
(2)已知服装店每天的经济效益W＝k＋mx(k>0，m>0)，该商场现有60～150 m2的商铺出租，根据(1)的结果进行预测，要使单位面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？
附：经验回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计分别为＝，＝－.
素养提升
14．(多选题)沃柑，因其口感甜柔、低酸爽口，且营养成分高，成为大家喜欢的水果之一，目前主要种植于我国广西、云南、四川、湖南等地．得益于物流的快速发展，沃柑的销量大幅增长，同时刺激了当地农民种植沃柑的热情．根据对广西某地的沃柑种植面积情况进行调查，得到统计表如表所示：
年份t 2020 2021 2022 2023 2024
年份代码x 1 2 3 4 5
种植面积y/万亩 8 14 15 20 28
附：①样本相关系数r＝；
②在经验回归方程＝x＋中，＝＝，＝－；≈47.33.
根据此表，下列结论正确的是( )
A．该地区这5年沃柑的种植面积的方差为212
B．种植面积y与年份代码x的样本相关系数约为0.972(精确到0.001)
C．y关于x的经验回归方程为＝4.6x＋3.2
D．预测该地区沃柑种植面积最早在2029年能突破40万亩
15．某企业拟对某产品进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入m(万元)与科技升级直接收益y(万元)的数据统计如表所示.
序号i 1 2 3 4 5 6 7
mi 2 3 4 6 8 10 13
yi 13 22 31 42 50 56 58
根据表格中的数据，建立了y与m的两个回归模型，模型①：＝4.1m＋11.8；模型②：＝21.3－14.4.
(1)根据下列表格中的数据，比较模型①，②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型；
回归模型 模型① 模型②
回归方程 ＝4.1m＋11.8 ＝21.3－14.4
(yi－i)2 182.4 79.2
(2)根据(1)中选择的模型，预测对该产品科技升级的投入为100万元时的直接收益．
附：刻画模型拟合效果的决定系数R2＝1－，R2越大，模型的拟合效果越好．
微练(七十九) 成对数据的统计分析
1．C 解析 由题意可知，“爱好运动”与“性别”是两类变量，其是否有关，应用独立性检验判断．故选C.
2．D 解析 r的绝对值越大，m越小，线性相关性越强．故选D.
3．B 解析 由表中的数据可得，变量y随着x的增大而减小，则＜0，＝＝4，＝＝0.2，又经验回归方程＝x＋经过样本点中心(4,0.2)，可得＞0.故选B.
4．C 解析 根据题表中的数据，由题意得＝×(2.2＋2.6＋4.0＋5.3＋5.9)＝4，＝×(0.2＋1.5＋2.0＋2.5＋3.8)＝2，所以＝2－0.8×4＝－1.2，所以经验回归方程为＝0.8x－1.2，当x＝8时，＝0.8×8－1.2＝5.2(亿元)，即预测该公司收入为8亿元时的支出为5.2亿元．故选C.
5．B 解析 由题意得＝＝3，把(3,9)代入＝log2(i＋1)＋5得9＝log24＋5，解得＝2，则＝2log2(i＋1)＋5，当i＝7时，＝2log28＋5＝11.故选B.
6．C 解析 由条件知当x2＝8.4时，2＝83－1.4＝81.6，代入＝－16x＋a，解得a＝81.6＋16×8.4＝216，于是＝－16x＋216，又＝8.5，所以＝80，即＝80，解得m＝75.
7．ABD 解析 对于A，由经验回归方程可得变量x，y线性负相关，且由样本相关系数r的绝对值|r|≈0.992 3可知相关性较强，故正确；对于B，由题可得＝(90＋95＋100＋105＋110)＝100，＝(11＋10＋8＋6＋5)＝8，故经验回归直线恒过点(100,8)，故8＝－0.32×100＋，即＝40，故正确；对于C，当x＝75时，＝－0.32×75＋40＝16，故错误；对于D，相应于点(95,10)的残差＝10－(－0.32×95＋40)＝0.4，故正确．故选ABD.
8．BC 解析 因为χ2≈12.981＞7.879＞6.635，所以根据小概率值α＝0.010的独立性检验，认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，此推断犯错误的概率不大于0.010.根据小概率值α＝0.005的独立性检验，认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，此推断犯错误的概率不大于0.005.所以A错，C正确，因为m＋36＝90,18＋n＝60，所以m＝54，n＝42，所以B正确，D错．故选BC.
9．R 解析 由散点图知，用＝1e2x拟合的效果比＝x＋拟合的效果要好，所以R>R，故较大者为R.
10．47.5 92.5 解析 依题意，得＝＝30，＝＝70，显然，经验回归直线＝x＋必过点(30,70)，则有0.75×30＋＝70，解得＝47.5，所以＝0.75x＋47.5，则当x＝60时，＝0.75×60＋47.5＝92.5，故估计加工的零件个数为60时，所花费的时间为92.5 min.
11．4.882 0.05 解析 由公式计算得χ2＝≈4.882>3.841＝x0.05，根据小概率值α＝0.05的独立性检验，认为服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05.
12．解 (1)列联表如表所示.
有报名意向 没有报名意向 合计
男学生 100 500 600
女学生 100 300 400
合计 200 800 1 000
男学生有报名意向的概率为＝，女学生有报名意向的概率为＝.
(2)零假设为H0：该校高三学生是否有报名意向与性别无关．因为χ2＝1 000×(100×300－500×100)2÷(600×400×200×800)≈10.42>6.635，根据小概率值χ＝0.010的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该校高三学生是否有报名意向与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.010.
13．解 (1)由已知可得＝i＝120，＝i＝10.5，＝＝＝0.15，＝－＝10.5－0.15×120＝－7.5，所以经验回归方程为＝0.15x－7.5.
(2)根据题意得Z＝＝＋m,60≤x≤150.设f(x)＝＝－，令t＝，≤t≤，则f(x)＝g(t)＝0.15t－7.5t2＝－7.5×(t－0.01)2＋0.000 75，当t＝0.01，即x＝100时，f(x)取最大值，又因为k>0，m>0，所以此时Z也取最大值，因此，小李应该租100 m2的商铺．
14．BC 解析 根据题意，得＝＝17，s＝×[(－9)2＋(－3)2＋(－2)2＋32＋112]＝44.8，故A错误；由题意得＝＝3，iyi＝1×8＋2×14＋3×15＋4×20＋5×28＝301，＝12＋22＋32＋42＋52＝55，＝82＋142＋152＋202＋282＝1 669，所以r＝＝＝≈≈0.972，故B正确；因为＝＝＝4.6，＝－＝17－4.6×3＝3.2，所以y关于x的经验回归方程为＝4.6x＋3.2，故C正确；令＝4.6x＋3.2≥40，得x≥8，所以最小的整数为8，2 019＋8＝2 027，所以该地区沃柑种植面积最早在2027年能突破40万亩，故D错误．故选BC.
15．解 (1)因为182.4>79.2，所以>，1－<1－，所以模型①的决定系数小于模型②的决定系数，即模型②的拟合精度更高、更可靠．
(2)当m＝100万元时，对该产品科技升级的直接收益的预测值＝21.3－14.4＝213－14.4＝198.6(万元)．(共40张PPT)
成对数据的统计分析
微练(七十九)
基础过关
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解
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