第二节 排列与组合
【课程标准】 1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题；2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
教|材|回|顾
1．两个概念
(1)排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照____________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
(2)组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
[微点清] 元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．
2．两个公式
(1)排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.规定0！＝________.(这里m，n∈N*，并且m≤n)
(2)组合数公式
C＝＝＝.规定C＝________.(这里m，n∈N*，并且m≤n)
[微点清] ①排列数与组合数之间的联系为CA＝A(n，m∈N*，m≤n)．②两种形式分别为连乘积形式和阶乘形式，前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．
3．排列数与组合数的性质
(1)C＝；(2)C＝C；(3)C＝C＋C；(4)A＝nA.
微|点|延|伸
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
小|题|快|练
1．(多选题)下列结论正确的是( )
A．3×4×5＝A
B．C＋C＝C
C．若C＝C，则x＝3
D．C＋C＋C＋C＝64
2．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )
A．12 B．24
C．64 D．81
3．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( )
A．18 B．24
C．30 D．36
4．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有________种．
5．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有________种．
类型一 排列问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲既不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；
(5)全体排成一排，女生必须站在一起；
(6)全体排成一排，男生互不相邻．
(7)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定．
对于有限制条件的排列问题，分析问题时，有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时，一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．
【训练1】 (多选题)(2025·石家庄质检)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A．若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B．若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C．若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法有72种
D．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
类型二 组合问题
【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各有一名队长．现从中选5人主持某个活动，依下列条件各有多少种选择？
(1)只有一名女生当选；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)男生甲和女生乙当选；
(5)最多有两名女生当选．
组合问题常有以下两类题型
1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
2．“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与遗漏，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
【训练2】 (1)(2023·新课标Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有( )
A．C·C种 B．C·C种
C．C·C种 D．C·C种
(2)(2024·重庆二诊)有男、女教师各1人，男、女学生各2人，从中选派3人参加一项活动，要求其中至少有1名女性，并且至少有1名教师，则不同的选派方案有( )
A．10种 B．12种
C．15种 D．20种
类型三 排列与组合的综合应用
考向 ：先选后排问题
【例3】 某班班会准备从含甲、乙的7人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人发言，且若甲、乙都发言，则他们发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有( )
A．720种 B．520种
C．360种 D．600种
求解此类问题一般采用先选后排的方法，选人时需分两种情况，即甲、乙只有一人发言或甲、乙都发言．若甲、乙都发言，将选出的4人进行排列时，需将甲、乙插空．
考向 ：分组分配问题
【例4】 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？
(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；
(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；
(3)平均分成三份，每份2本；
(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；
(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．
解决分组、分配问题的策略
1．对于整体均分，分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
2．对于部分均分，若有m组元素个数相等，且地位相同，则分组时应除以A.
【题组对点练】
题号 1 2
考向
1.(2024·厦门质检)某校5名同学到A、B、C三家公司实习，每名同学只能去1家公司，每家公司至多接收2名同学．若同学甲去A公司，则不同的安排方法共有( )
A．18种 B．30种
C．42种 D．60种
2．(2025·邯郸模拟)某校大一新生A，B，C，D欲加入该校的文学社、书法社、羽毛球社．已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有( )
A．21种 B．30种
C．42种 D．60种
1．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A． B．
C． D．
2．(2020·新高考Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
3．(2022·新课标Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
4．(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( )
A．30种 B． 60种
C．120种 D． 240种
5．(2023·新课标Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种(用数字作答)．
第二节 排列与组合
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)一定的顺序排成一列 (2)作为一组
2．(1)1 (2)1
小题快练
1．AD 解析 3×4×5＝A，故A正确；C＋C＝2C＝2×＝20，C＝＝15，故C＋C≠C，故B错误；C＝C，则x＝2x－2或x＋2x－2＝10，解得x＝2或x＝4，故C错误；C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝1＋＋＋7＝64，故D正确．故选AD.
2．B 解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A＝24.故选B.
3．C 解析 男女生都有的选法种数是C－C－C＝30.故选C.
4．240 解析 先把甲、乙二人捆绑在一起，再把甲、乙看成一个整体和其他4人进行全排列，故有AA＝240种排法．
5．36 解析 第一步，先从4名学生中任选2人组成一组，与剩下2人分成三组，有C＝6(种)不同的方法；第二步，将分成的三组安排到甲、乙、丙三地，则有A＝6(种)不同的方法．故共有6×6＝36(种)不同的安排方案．
关键能力·落实
【例1】 解 (1)从7人中选5人排成一排，不同的排列方法总数是A＝7×6×5×4×3＝2 520.
(2)解法一：分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，故共有A·A＝5 040种不同的排列方法．
解法二：(多排问题单排法)由题意知共有A＝5 040种不同的排列方法．
(3)解法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，故共有5A＝3 600种不同的排列方法．
解法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排除甲外6人中的两人，有A种排法，其他位置有A种排法，故共有AA＝3 600种不同的排列方法．
(4)7名学生全排列，有A种方法，其中甲在最左边时，有A种方法，乙在最右边时，有A种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A种方法，故共有A－2A＋A＝3 720种不同的排列方法．
(5)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，故共有A×A＝576种不同的排列方法．
(6)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，故共有A×A＝1 440种不同的排列方法．
(7)解法一：由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的不同站法共有＝840种．
解法二：从7个位置中选3个位置排甲、乙、丙，其余4人全排列，共有C×A＝840种不同的排列方法．
【训练1】 BD 解析 对于A，因为甲、乙、丙有序排列，所以先排甲、乙、丙，此时，形成甲、乙、丙三人之间的2个空隙以及甲的左边、丙的右边各1个空隙，共4个空隙．若丁、戊不相邻，有A＝12(种)排法；若丁、戊相邻，有AC＝8(种)排法．所以不同的排法共有12＋8＝20(种)，故A不正确．对于B，因为甲、乙不相邻，所以先排丙、丁、戊，有A种排法，此时，形成丙、丁、戊三人之间的2个空隙以及最左边、最右边各1个空隙，共4个空隙，再将甲、乙插入这4个空隙中，有A种排法．所以不同的排法共有AA＝72(种)，故B正确．对于C，甲、乙都不在两端，则甲、乙有A种排法，剩余三人有A种排法，共AA＝36(种)排法；甲在最右端，乙在最左端，有A＝6(种)排法；甲在最右端，乙不在最左端，有CA＝18(种)排法；甲不在最右端，乙在最左端，有CA＝18(种)排法．所以不同的排法共有36＋6＋18＋18＝78(种)，故C不正确．对于D，因为甲、乙捆绑且甲、乙有序，所以不同的排法有A＝24(种)，故D正确．综上，选BD.
【例2】 解 (1)只有一名女生当选即为有一名女生和四名男生当选，故选法共有C×C＝350(种)．
(2)两队长当选，选法共有C×C＝165(种)．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选．故选法共有C×C＋C×C＝825(种)，或采用间接法：选法共有C－C＝825(种)．
(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余11人中选3人，故选法共有C＝165(种)．
(5)最多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选．故选法共有C×C＋C×C＋C＝966(种)．
【训练2】 (1)D 解析 根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取60×＝40(名)，高中部共抽取60×＝20(名)，根据组合数公式和分步乘法计数原理得，不同的抽样结果共有C·C种．故选D.
(2)C 解析 有一名女性时，不同的选派方案有(CC＋CCC＋CC)种；有2名女性时，不同的选派方案有(CCC＋CC＋CC)种；有3名女性时，不同的选派方案有CC种，故不同的选派方案有CC＋CCC＋CC＋CCC＋CC＋CC＋CC＝15种．故选C.
【例3】 D 解析 分两种情况：①若甲、乙只有一人参加，再从剩余的5个人中选出3人，将选出的4人进行全排列，则共有C×C×A＝480种发言顺序；②若甲、乙都参加，再从剩余的5个人中选出2人，选出的4人在排列时，因为甲、乙不相邻，所以先将另外两人排列，再将甲、乙插空，则共有C×A×A＝120种发言顺序．根据分类加法计数原理可得，共有480＋120＝600种发言顺序．故选D.
【例4】 解 (1)(无序不均匀分组问题)先选1本有C种选法；再从余下的5本中选2本有C种选法；最后余下3本全选有C种选法，故共有C×C×C＝60种不同的分配方法．
(2)(有序不均匀分组问题)由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)的基础上，还应考虑再分配，共有C×C×C×A＝360种不同的分配方法．
(3)(无序均匀分组问题)平均分成三份，共有＝15种不同的分配方法．
(4)在(3)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种不同的分配方法．
(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本，这是部分均匀分组问题，求出组合总数除以A即可，共有＝15种不同的分配方法．
(6)在(5)的基础上，还应考虑再分配，共有15A＝90种不同的分配方法．
【题组对点练】
1．B 解析 A公司只有甲去，不同的安排方法有C种；A公司除了甲还有1个人去，不同的安排方法有CCA种，故不同的安排方法有C＋CCA＝30种．故选B.
2．C 解析 4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，有种情况.3个社团中选择2个社团，有C种情况．把2个组分配给2个社团，有A种情况．由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有×C×A＝42种．故选C.
高考真题·重温
1．B 解析 四人全排列有A＝24种排法，其中丙不在排头，甲或乙在排尾有CAA＝8种排法，所以P＝＝.故选B.
2．C 解析 因为每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，所以甲场馆从6人中挑一人有C＝6种结果；乙场馆从余下的5人中挑2人有C＝10种结果；余下的3人去丙场馆．故共有6×10＝60种安排方法．故选C.
3．B 解析 解法一(直接法)：第一种情况：甲站在最中间，丙丁站在甲的左边或右边有2种选择，然后丙丁两个内部全排，乙戊在剩下的两个位置全排列，有2AA＝8种站法．第二种情况：甲站在左二或右二有2种选择，以甲站左二位置为例，丙丁在甲的右侧三个位置中相邻有2种选择，然后丙丁两个内部全排列，乙戊在剩下的两个位置全排列，有2×2AA＝16种站法．所以甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式共有8＋16＝24种．故选B.
解法二：丙和丁相邻共有A·A种站法，甲站在两端且丙和丁相邻共有C·A·A种站法，所以甲不站在两端且丙和丁相邻共有A·A－C·A·A＝24种站法，故选B.
4．C 解析 第一步：甲、乙两位同学从6种课外读物中选出1种相同的有C＝6种选法；第二步：从剩下的5种课外读物中选2种分给甲、乙有A＝20种选法．所以符合要求的选法共有6×20＝120种，故选C.
5．64 解析 选修2门课，体育类和艺术类各选1门，共有C·C＝16种选课方案；选修3门课，分为选2门体育类、1门艺术类和选2门艺术类、1门体育类两种情况，共有C·C＋C·C＝48种选课方案．因此不同的选课方案共有16＋48＝64种．(共56张PPT)
第二节
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
排列与组合
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
解析
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
排列问题
解
解
解
解
解
解
解
解析
解
类型二
组合问题
解
解
解
解
解
解析
解析
类型三
排列与组合的综合应用
解析
解
解
解
解
解
解
解析
解析
高考真题/重温
第三部分
——明确方向
解析
解析
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(八十一) 排列与组合
基础过关
一、单项选择题
1．已知C＝C，则x的值是( )
A．4 B．5
C．4或5 D．6
2．树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有( )
A．8种 B．9种
C．12种 D．14种
3．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A．8 B．24
C．48 D．120
4．(2024·盐城模拟)把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有( )
A．4种 B．6种
C．21种 D．35种
5．将A，B，C，D，E，F6位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中A，B分配到同一所学校，则不同的分配方法共有( )
A．12种 B．18种
C．36种 D．54种
6．(2025·太原一模)北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星．北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线．若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为( )
A．30 B．31
C．34 D．35
7．6名同学排成一排，其中甲与乙互不相邻，丙与丁必须相邻的不同排法有( )
A．72种 B．144种
C．216种 D．256种
8．(2025·浙江模拟)金华市选拔2个管理型教师和4个教学型教师去新疆支教，把这6个老师分配到3个学校，要求每个学校安排2名教师，且管理型教师不安排在同一个学校，则不同的分配方案有( )
A．72种 B．48种
C．36种 D．24种
二、多项选择题
9．有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗小组前往疫区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是( )
A．C－CC
B．CC＋CC＋CC＋C
C．C－CC－C
D．CC
10．从6名男生、5名女生中选择3人担任班长、学习委员和体育委员，则下列结论正确的是( )
A．若所选的3人中有女生，则不同的选法有870种
B．若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有360种
C．若班长由女生担任，则不同的选法有225种
D．若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有540种
11. 在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径，从A地出发到B地，则下列结论正确的是( )
A．不同的路径共有31条
B．不同的路径共有41条
C．若甲途经C地，则不同的路径共有18条
D．若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有8条
三、填空题
12．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．
13．编号为1,2,3,4的四位同学，就座于编号为1,2,3,4的四个座位上，每个座位恰好坐一位同学，则恰有两位同学编号和座位编号一致的坐法种数为________．
14．(2025·湖南邵阳联考)在数学中，有一个被称为自然常数的常数e≈2.718 28.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行某种排列得到密码．如果排列时要求2个2相邻，2个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有________种．
素养提升
15. 如图，四根绳子上共挂有10个气球，绳子上的气球个数依次为1,2,3,4，每枪只能打破一个气球，规定每根绳子上只有打破下面的气球才能打上面的气球，则将这些气球都打破的不同打法的种数是( )
A．12 600 B．6 000
C．8 200 D．12 000
16．从集合{1,2,3}的非空子集中任取两个不同的集合A和B，若A∩B≠ ，则不同的取法共有________．
微练(八十一) 排列与组合
1．C 解析 因为C＝C，所以3x＝x＋8或3x＋x＋8＝28，解得x＝4或x＝5，均满足题意．故选C.
2．D 解析 任意选有C＝15种选法，都是男生有1种选法，则至少有一名女生有14种选法．故选D.
3．C 解析 末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，故所求偶数的个数是A×A＝48.故选C.
4．B 解析 把5个相同的小球分为3组，有2种分法：①3,1,1，②2，2,1.再把3组小球分配给3个小朋友，各有3种分配方法，所以共有2×3＝6种分法．故选B.
5．B 解析 先给A，B安排一所学校，有3种分配方法；再给任意学校安排2位教师，有C＝6(种)分配方法；最后剩下的学校安排剩下的2位教师．所以最终有3×6＝18(种)不同的分配方法，故选B.
6．B 解析 解法一：(排除法)从7个点中任意取3个点可构成C个三角形，因为B，D，E，F四点共线，其中任意三点都不能构成三角形，所以共可以构成C－C＝35－4＝31(个)不同三角形，故选B.
解法二：(分类法)第一类：B，D，E，F四个点中一个点都不取，可构成C＝1个三角形；第二类：从B，D，E，F四个点中取1个点，在A，C，G中取2个点，可构成CC＝12个三角形；第三类：从B，D，E，F四个点中取2个点，在A，C，G中取1个点，可构成CC＝18个三角形．共可以构成1＋12＋18＝31(个)三角形，故选B.
7．B 解析 先将丙、丁2人全排列，有A种不同排法，再将丙、丁视作一个整体，与除甲、乙外的2人，共计3人全排列，有A种不同排法，最后在3人的中间与两边4个空中选择2个空插入甲、乙2人，有A种不同排法，故共有AAA＝144(种)不同排法．故选B.
8．A 解析 解法一(间接法)：不考虑管理型教师的要求，共有A＝90种安排，其中管理型教师在同一个学校的安排有CA＝18种，故不同的分配方案有90－18＝72种，故选A.
解法二(直接法)：先安排2名管理型教师有A＝6种安排，然后安排4名教学型教师有CA＝12种安排，故不同的分配方案有6×12＝72种，故选A.
9．BC 解析 13名医生，其中女医生6人，男医生7人．利用直接法，分4类.2男3女：CC.3男2女：CC.4男1女：CC.5男：C.所以N＝CC＋CC＋CC＋C.利用间接法：13名医生，任取5人，减去含4或5名女医生的情况，即N＝C－CC－C.所以能成为N的算式的是B、C项．
10．ABD 解析 若所选的3人中有女生，则不同的选法有(C－C)A＝870(种)，故A正确；若所选的3人中恰有2名女生，则不同的选法有CCA＝360(种)，故B正确；若班长由女生担任，则不同的选法有CCA＝450(种)，故C错误；若担任班长和学习委员的学生性别不同，则不同的选法有CCAC＝540(种)，故D正确．故选ABD.
11．AC 解析 由图可知，从A地出发到B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有CC＋CC＋C＝31(条)，故A正确、B错误；若甲途经C地，则不同的路径共有CC＝18(条)，故C正确；若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有CC＝9(条)，故D错误．故选AC.
12．30 解析 分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C×C种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C×C种不同的选法．所以不同的选法种数为C×C＋C×C＝18＋12＝30.
13．6 解析 先选择两位同学坐对编号，有C种方法，余下的两位同学只能交叉坐，只有1种方法，故共有C×1＝6种不同坐法．
14．36 解析 由题意，可以将2个2“捆绑”看作1个元素与7,1全排列，排好后产生4个空，再将2个8插入其中的2个空，注意到2个2,2个8均为相同元素，所以小明可以设置的不同密码共有A×C＝36种．
15．A 解析 根据题意，如图，将10个气球进行编号，为1～10，原问题可以转化为将编号为1～10的10个气球排列，其中气球2,3，气球4,5,6，气球7,8,9,10必须是按从下到上的顺序排列，求每根绳子上均按从下到上的编号顺序打破气球的打法种数，依题意，共有＝12 600(种)打法，故选A.
16．30 解析 若集合A中仅有1个元素，则集合A有C＝3种取法，集合B有22－1＝3种取法，此时共有3×3＝9种取法；若集合A中有2个元素，则集合A有C＝3种取法，集合B有C＋C＋1＝5种取法，此时共有3×5＝15种取法；若集合A中有3个元素，则集合B为{1,2,3}的非空真子集，有23－2＝6种取法，此时共有1×6＝6种取法．综上，不同的取法共有9＋15＋6＝30种．(共23张PPT)
排列与组合
微练(八十一)
基础过关
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素养提升
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解析
