第三节 二项式定理
【课程标准】 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
教|材|回|顾
1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝______________________________.
(2)通项：Tk＋1＝__________，它表示展开式的第k＋1项．
(3)二项式系数：________.
2．二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 在二项展开式中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即________
增减性 当k<时，C随k的增加而增大；当k>时，C随k的增加而减小
最大值 当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，最大值为________；当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为________
3.各二项式系数的和
(1)(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和：C＋C＋C＋…＋C＝________.
(2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝________.
微|点|延|伸
1．二项展开式形式具有的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
2．二项式系数与项的系数的区别
二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
小|题|快|练
1．(人A选三P31T4)(x－1)10的展开式的第6项的系数是( )
A．C B．－C
C．C D．－C
2．若6展开式中的常数项为60，则常数a的值为( )
A．4 B．2
C．8 D．6
3．(人A选三P34习题6.3T1)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．74 B．121
C．－74 D．－121
4.9的展开式中含x3的项为________．
5．在二项式n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为________．
类型一 求展开式中的特定项
考向 ：形如“(a＋b)n(n∈N*)”的展开式问题自练自悟
1．(2024·北京高考)在(x－)4的展开式中，x3的系数为( )
A．6 B．－6
C．12 D．－12
2．若(1＋x)6的展开式中共有n个有理项，则n的值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
3．(2024·天津高考)在6的展开式中，常数项为________．
求形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
1．利用二项式定理写出二项展开式的通项Tr＋1＝Can－rbr(r∈N*且r≤n)，把字母和系数分离(注意符号不要出错)．
2．根据题目中的相关条件(如常数项要求指数为零，有理项要求指数为整数)列出相应方程(组)或不等式(组)，解出r.
3．把r代入通项公式中，即可求出Tr＋1.
考向 ：形如(a＋b)n(c＋d)m(m，n∈N*)的展开式问题
【例1】 (1)已知(ax＋1)(2x－1)6展开式中x5的系数为48，则实数a＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
(2)(2022·新课标Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)．
对于几个多项式积的展开式中的问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
考向 ：三项式问题
【例2】 (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为________．
求三项展开式中某些指定的项的方法
1．两项看成一项，利用二项式定理展开．
2．因式分解，转化为两个二项式再求解．
3．看作多个因式的乘积，用组合的知识解答．
【题组对点练】
题号 1 2 3
考向
1.(2025·东北模拟)(x－y)5的展开式中x3y2的系数为( )
A．55 B．－70
C．30 D．－25
2．在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为( )
A．－674 B．－675
C．－1 080 D．1 485
3．(＋3y－5)6的展开式中，x2y2的系数为( )
A．－135 B．－75
C．75 D．135
类型二 二项式系数与项的系数和问题
【例3】 (1)若n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的是( )
A．第二项 B．第三项
C．第四项 D．第五项
(2)(多选题)已知(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，则下列结论正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 023
B．展开式中所有奇次项的系数的和为
C．展开式中所有偶次项的系数的和为
D．＋＋＋…＋＝－1
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
【训练】 (1)(多选题)已知2n＋1的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则( )
A．n＝4
B．展开式中所有项的系数和为1
C．展开式中二项式系数和为24
D．展开式中不含常数项
(2)(2025·江苏联考)若(1＋x)2 023＝a0＋a1x＋…＋a2 023x2 023 ，则a0＋a2＋a4＋…＋a2 022被5除的余数是________．
第三节 二项式定理
必备知识·梳理
教材回顾
1．(1)Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
(2)Can－kbk (3)C(k＝0,1,2，…，n)
2．C＝C CnCn或Cn
3．(1)2n (2)2n－1
小题快练
1．D
2．A 解析 由二项式定理得Tr＋1＝Cx6－rr＝C(－1)r·a·x6－3r.令6－3r＝0，得r＝2，故15a＝60，a＝4.故选A.
3．D
4．－84x3
5．－1 解析 由题意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各项系数的和为(1－2)5＝－1.
关键能力·落实
1．A 解析 (x－)4的展开式的通项Tr＋1＝Cx4－r(－)r＝(－1)rCx4－ (r＝0,1,2,3,4)．由4－＝3，得r＝2，所以(x－)4的展开式中x3的系数为(－1)2C＝6.故选A.
2．C 解析 因为(1＋x)6展开式的通项为Tr＋1＝C·r＝C·x，r＝0,1，…，6，当且仅当r＝0,3,6时，为整数，可得T1，T4，T7为有理项．故选C.
3．20 解析 Tk＋1＝C6－kk＝C· 36－2k·x6k－18.令6k－18＝0，则k＝3，所以常数项为T4＝C·30·x0＝20.
【例1】 (1)A 解析 二项式(2x－1)6的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r·(－1)r＝C·26－r·(－1)r·x6－r，(ax＋1)(2x－1)6的展开式中，x5的系数为aC24×(－1)2＋1×C25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故选A.
(2)－28 解析 (x＋y)8展开式的通项为Tr＋1＝C·x8－ryr，r＝0,1…，7,8.令r＝6，得T6＋1＝Cx2y6；令r＝5，得T5＋1＝Cx3y5，所以(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28.
【例2】 30 解析 解法一：(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.所以x5y2的系数为CC＝30.
解法二：(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积．所以x5y2可从其中5个因式中，两个取x2，剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，因此x5y2的系数为CCC＝30.
【题组对点练】
1．C 解析 (x－y)5的展开式的通项Tr＋1＝Cx5－r(－y)r,0≤r≤5且r∈N，令r＝2，得T3＝Cx3(－y)2＝Cx3y2，令r＝3，得T4＝Cx2(－y)3＝－Cx2y3，因为(x－y)5＝(x－y)5－(x－y)5，所以Cx3y2－×(－Cx2y3)＝Cx3y2＋2Cx3y2＝30x3y2，所以(x－y)5的展开式中x3y2的系数为30，故选C.
2．A 解析 (x2－2x－3)5＝(x－3)5(x＋1)5，则x10的系数为1，x2的系数为C(－3)4C＋C(－3)3＋C(－3)5C＝－675，所以在(x2－2x－3)5的展开式中含x10和含x2的项的系数之和为－675＋1＝－674.故选A.
3．D 解析 (＋3y－5)6可看作6个因式(＋3y－5)相乘，所以其展开式中含x2y2的项为4个因式取，2个因式取3y，所以(＋3y－5)6的展开式中含x2y2的系数为C×32＝135.故选D.
【例3】 (1)B 解析 因为n的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，所以＋1＝5，解得n＝8，则8的展开式通项为Tk＋1＝C(2x2)8－kk＝C×28－k×(－1)k×x16－3k(k＝0,1,2,3,4,5,6,7,8)，当k为奇数时，系数为负数，当k为偶数时，系数为正数，所以展开式中系数最大时，k为偶数，由展开式通项可知T1＝C28x16＝256x16，T3＝C26x10＝1 792x10，T5＝C24x4＝1 120x4，T7＝C22x－2＝112x－2，T9＝C20x－8＝x－8，所以展开式中系数最大的是第三项．故选B.
(2)ACD 解析 对于A，(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数的和为22 023，故A正确；对于B，令f(x)＝(1－2x)2 023，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝f(1)＝－1，a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝f(－1)＝32 023，所以展开式中所有奇次项的系数的和为＝－，展开式中所有偶次项的系数的和为＝，故B错误，C正确；对于D，a0＝f(0)＝1，＋＋＋…＋＝f－a0＝－1，故D正确．故选ACD.
【训练】 (1)AD 解析 由题意得＝，则＝，解得n＝4，故A正确；所以2n＋1＝9，令x＝1，则所有项的系数之和为－1，故B错误；所以9的二项式系数和为29，故C错误；9的通项为Tk＋1＝C9－k(－2x)k＝C(－2)kx2k－9，若Tk＋1为常数项，则有2k－9＝0，解得k＝ N，所以不存在常数项，故D正确．故选AD.
(2)4 解析 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 023＝22 023 ①，令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋…－a2 023＝0 ②，①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 022)＝22 023，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝＝22 022,22 022＝(22)1 011＝41 011＝(5－1)1 011＝C×51 011－C×51 010＋C×51 009－…－C×52＋C×5－1＝C×51 011－C×51 010＋C×51 009－…－C×52＋C×5－5＋4，所以22 022被5除的余数是4，即a0＋a2＋a4＋…＋a2 022被5除的余数是4.(共34张PPT)
第三节
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
二项式定理
课
程
标
准
必备知识/梳理
第一部分
——回扣知识
教|材|回|顾
微|点|延|伸
小|题|快|练
解析
解析
关键能力/落实
第二部分
——考向探究
类型一
求展开式中的特定项
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
解析
类型二
二项式系数与项的系数和问题
解析
解析
解析
解析
R
赢在欲点微练(八十二) 二项式定理
基础过关
一、单项选择题
1.10的展开式中，x2的系数为( )
A．－45 B．－10
C．10 D．45
2．若n的展开式中第5项是常数项，则自然数n＝( )
A．6 B．10
C．12 D．15
3.5的展开式中x2y3的系数是( )
A．－20 B．－5
C．5 D．20
4．在n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为( )
A．50 B．70
C．90 D．120
5．(2025·湖北十一校联考)(x2＋ax－1)(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为( )
A．0 B．3
C．－1 D．－2
6．(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是( )
A．120 B．－120
C．60 D．30
7．已知(x＋x2)4＝a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则( )
A．a4＝a5 B．a5＝a6
C．a6＝a7 D．a5＝a7
8．(2024·郑州二模)中国南北朝时期的著作《孙子算经》中对同余除法有较深的研究．设a，b，m(m>0)为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(mod m)．若a＝C·2＋C·22＋…＋C·220，a≡b(mod 10)，则b的值可以是( )
A．2 018 B．2 020
C．2 022 D．2 024
二、多项选择题
9．已知n的展开式中的第三项的系数为45，则( )
A．n＝9
B．展开式中所有项的系数和为1 024
C．二项式系数最大的项为中间项
D．含x3的项是第7项
10．若(x2－x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则下列选项正确的是( )
A．a0＝32
B．a2＝80
C．a1＋a2＋…＋a10＝32
D．|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝992
三、填空题
11．(2025·杭州质量检测)在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为________．
12．若(1＋x)6的展开式中x2的系数为30，则m＝________.
13．(2024·全国甲卷)10的展开式中，各项系数中的最大值为________．
素养提升
14．(多选题)下列等式中正确的是( )
A．＝28 B．＝C
C．＝1－ D．(C)2＝C
15．(2025·山东临沂一模)2＋3＋4＋…＋10的展开式中含x的系数为________．
微练(八十二) 二项式定理
1．D 解析 10的通项为Tr＋1＝C10－r·(－)r＝(－1)rCxr－10，令r－10＝2，解得r＝8，所以x2的系数为(－1)8C＝45.故选D.
2．C 解析 由n的展开式中第5项C·()n－4·4＝16Cx－6是常数项，可得－6＝0，解得n＝12.故选C.
3．A 解析 5的展开式的通项为Tr＋1＝C5－r·(－2y)r＝C·5－r·(－2)r·x5－r·yr.当r＝3时，展开式中x2y3的系数为C×2×(－2)3＝－20.故选A.
4．C 解析 令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，所以x2的系数为C×32＝90.故选C.
5．D 解析 展开式中含x2的项为x2·1＋ax·C(－x)1＋(－1)·C(－x)2＝x2－6ax2－15x2＝－(6a＋14)x2，所以－(6a＋14)＝－2，解得a＝－2，故选D.
6．A 解析 解法一：由题意知(x＋y－2z)5＝[(x＋y)－2z]5，展开式的第k＋1项为C(x＋y)5－k(－2z)k，令k＝2，可得第3项为(－2)2C(x＋y)3z2，(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，令m＝2，可得第3项为Cxy2，所以(x＋y－2z)5的展开式中，xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.故选A.
解法二：(x＋y－2z)5相当于5个(x＋y－2z)相乘，含xy2z2的项则是其中1个(x＋y－2z)中取x,2个(x＋y－2z)中取y,2个(x＋y－2z)中取－2z，故系数为CCC(－2)2＝120.故选A.
7．D 解析 解法一：由于(x＋x2)4的展开式中各项系数恰好为相应二项式系数，因此a4＝C，a5＝C，a6＝C，a7＝C，a8＝C，所以a5＝a7.故选D.
解法二：在等式(x＋x2)4＝a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8两边同除以x4，有(1＋x)4＝a4＋a5x＋a6x2＋a7x3＋a8x4，由二项式系数的性质得a5＝a7＝4.故选D.
8．B 解析 因为a＝C·2＋C·22＋…＋C·220＝C＋C·2＋C·22＋…＋C·220－1＝(1＋2)20－1＝320－1，所以a＝320－1＝(32)10－1＝910－1＝(10－1)10－1＝C1010－C109＋C108－…－C10＋C－1＝C1010－C109＋C108－…－C10，所以a能被10整除，从选项可以看出，只有2 020能被10整除，即b的值可以为2 020.故选B.
9．BCD 解析 n的展开式的第三项为T3＝Cn－2()2＝Cxx＝Cx，所以第三项的系数为C＝45，所以n＝10，故A错误；所以二项式为10，令x＝1得展开式中所有项的系数和为210＝1 024，故B正确；展开式中共有11项，则二项式系数最大的项为中间项，故C正确；通项为Tk＋1＝C10－k()k＝Cxx＝Cx，令＝3，解得k＝6，所以含x3的项是第7项，故D正确．故选BCD.
10．AD 解析 对于A，令x＝0，则a0＝25＝32，A正确；对于B，因为5个相同的因式相乘，要得到含x2的项，可以是5个因式中，一个提取x2，其他4个因式均提取2，或是2个因式提取－x，其他3个因式均提取2，所以a2＝C×1×24＋C×(－1)2×23＝160，B错误；对于C，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(12－1＋2)5＝32，因为a0＝32，所以a1＋a2＋…＋a10＝0，C错误；对于D，(x2＋x＋2)5的展开式所有项系数和为|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|，令x＝1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝(12＋1＋2)5＝1 024，因为a0＝32，所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝992，D正确．综上，选AD.
11．70 解析 因为在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，即C最大，所以可得n＝8，此时展开式的通项为Tr＋1＝C(－1)rx8－r，令8－r＝2，解得r＝4，所以展开式中含x2项的系数为C×(－1)4＝70.
12．1 解析 (1＋x)6展开式通项为Tk＋1＝Cxk，则Cxk＝mCxk＋mCxk－2，所以mC＋mC＝30，解得m＝1.
13．5 解析 10的展开式的通项为Tr＋1＝C10－rxr，则各项的系数分别为C10，C9，C8，C7，C6，C5，C4，C3，C2，C1，C0，观察发现二项式系数先增大后减小，且前后对称，指数式递增，分别计算C5，C4，C3，C2，C1，C0，比较可得，C2＝5最大．
14．BCD 解析 对于A，(1＋x)8＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cx8，令x＝1，得28＝1＋C＋C＋…＋C＝1＋，则＝28－1，故A错误．对于B，因为C＋C＝C，所以＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C，故B正确．
对于C，D，解法一：因为－＝，所以＝＝－＋－＋…＋－＝1－，故C正确．(1＋x)16＝(1＋x)8(1＋x)8，对于(1＋x)16，其含有x8的项的系数为C，对于(1＋x)8(1＋x)8，要得到含有x8的项的系数，须从第一个式子取出k(0≤k≤8，k∈N)个x，再从第二个式子取出(8－k)个x，它们对应的系数为C＝(C)2，所以(C)2＝C，故D正确．故选BCD.
解法二：＝＋＋…＋＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋－＝…＝＋－＝1－，故C正确.(C)2＝(C)2＋(C)2＋…＋(C)2＝CC＋CC＋…＋CC＝C，故D正确．故选BCD.
15．9 解析 n(2≤n≤10，n∈N*)的展开式的通项Tr＋1＝Cn－r，令n－r＝1，则r＝n－1，即n的展开式中含x的系数为C＝1，所以2＋3＋4＋…＋10的展开式中含x的系数为1×9＝9.(共22张PPT)
二项式定理
微练(八十二)
基础过关
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